在高考中数学表格题分类解析
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考真题与模拟训练 专题26 计数原理与概率统计(解析版)
专题26 计数原理与概率统计第一部分 真题分类1．（2021·天津高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．4253=；则在3次活动中，甲至少获胜22．（2021·江苏高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A．14条B．12条C．9条D．7条【答案】B3条路径，由④→⑥有22条路径，根据分步乘法.故选：B3．（2021·40A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】()()222221nC x n n x-=-，所以()21405n n n-=⇒=.故选：A.4．（2021·个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、 、A B C D ．80【答案】D故选：D.5．（2020·天津高考真题）从一批零件中抽取809组：A ．10B ．18C ．20D ．36【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，故选：B.6．（2020·A B ．5C D ．10【答案】C展开式的通项公式为：()()515522rrrr r r T CC -+=-=-1r =故选：C.7．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;8．（2021·的二次函数()24f x ax bx a =-+.（1}的概率;（2[]0,2b ∈.【答案】（12【解析】（1）根据题意有：0a >，且对称轴21bx a =…．(2,1)5个，A（2）方程240ax bx a-+=无实根，则22(4)40ab a≠⎧⎨--<⎩，又[1a∈，2]，[0b∈，2]，如图，11(1)1322()28B+⨯==．9．（2021·全国高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p====，求()E X；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的一个最小正实根，求证：（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1（2）设()()3232101f x p x p x p x p=++-+，因若()1E X≤，则123231p p p++≤，故2302p p p+≤.因，()230120f p p p '=+-≤，1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，，因()12,x x因1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，34,x x ，且3401x x <<<，上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，故当()1E X >时（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.10．（2020·海南高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽空气（1）估计事件“该市一天空气不超过75，且不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成联表：（3）根据（2）中的列联表，判把握认为该市一天空气有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（12）答案见解析；（3）有.【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过1500.64=；（2）由所给联表为：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -==++++36007.4844 6.635481≈>，因为根据临界值把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度有关.第二部分 模拟训练1．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用+（股-勾实+黄实=弦实，化简，得股2=勾股中勾股比向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参 1.732≈≈）A ．866B ．500C ．300D ．134【答案】A【解析】不妨设则朱色面积大正方形的边长积为224=，所以落在红（朱）色图形内的图钉数大约故选：A2．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD ．715【答案】C【解析】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种，琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻故选：C3．造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（ ）ABCD ．14【答案】C【解析】从8个发明中任取两个发明两个都是新四大发明的有24C 6=种，∴故选：C4．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.25yx k =+x （次数/分钟）2030405060y （℃）2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫60次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33℃B ．34℃C ．35℃D ．35.5℃【答案】C40=，30y =，则0.25300.254020k y x =-=-⨯=；，35y =.故选：C.5．将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．图中在ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC 内任取一点M ，则点M落在AB2C．14D【答案】B【解析】由几何概型公式知，故选：B.6．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小【答案】D【解析】由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．故选：D7．某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．60元与性别有关．不小于60元小于60元合计男40女18合计90（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．参考公式及数据：附表：【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）分布列见解【解析】（1联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计3060902290(12204018)1440 5.830 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关． （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==．由题意知：30328(80)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X657075808．一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝､京东､天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装(百件)与获得的纯利润y (单位：百元)之间的一组数据关系如下表：（1）若y （2）试性回归方程；（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装(百件)与获得的纯利润y (单位：百元)之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计算精确到小数点后两位)参考公式与数据：【答案】（1）y 2）ˆ 4.7551.36yx =+；（3）结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.【解析】解：（1）由题目中的数据表格可以看出，y而增大，∴判断（2）由题设知，721280i i x==∑，6669738189909155977++++++==，∴线性回归直线方程为ˆ 4.7551.36yx =+；（3）由（1）知，， 4.751451.361ˆ17.86y=⨯+=(百元)，∴11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元；由（1）知，前一周的平均利润百元)，故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.。
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。
2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。
尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。
若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。
此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。
全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。
其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。
大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。
2024 高考数学真题及解析(新课标Ⅰ卷)
2024高考数学真题解析新课标Ⅰ卷一、选择题1.已知集合A={x|−5<x3<5},B={−3,−1,0,2,3}，则A∩B=()A.{−1,0}B.{2,3}C.{−3,−1,0}D.{-1,0,2}=1+i，则z=()A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3.已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b b丄(−4a)，则x=()A.-2B.-1C.1D.24.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α−β)=()A.−3mB.−C.D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为()A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数为在R上单调递增，则a的取值范围是()A.(−∞,0]B.[−1,0]C.[−1,1]D.[0,+∞)7.当x∈时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是()A.f(10)>100B.f(20)>1000C.f(10)<1000D.f(20)<10000二、多选题9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差S2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,S2)，则()（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.8413）A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.810.设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2)C.当1<x<2时，−4<f(2x−1)<0D.当−1<x<10时，f(2−x)>f(x)11.造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2；到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则()A.a=−2B.点(2,0)在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C上时，y≤三、填空题12.设双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若F1A=13,AB=10，则C的离心率为13.若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析
主席派人来》4 首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2 首合唱歌曲
中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（
A．14
B．48
C．72
）
D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法，
专题 13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理 T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
令 x＝﹣1，则 f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得 a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
排方案的种数为（
A．126
）
B．360
C．600
D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排 4 个活动（上午 2 个，下午 2 个）分配给甲，乙，故有 A62A42
＝360 种，
第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲，
2023 高考数学分类解析汇总彩色版
2023高考数学分类解析汇总2023集合运算与逻辑术语 1 2023复数 3 2023算法与程序框图 4 2023平面向量 5 2023数列 6 2023排列与组合 8 2023概率与统计 9 2023三角函数 14 2023解三角形 16 2023解析几何初步(直线与圆) 18 2023圆锥曲线 19 2023函数 22 2023线性规划 24 2023立体几何 25 2023导数 30 2023参数方程 32 2023不等式 332023集合运算与逻辑术语1.【2023甲卷理科T1】设集合A={x∣x=3k+1,k∈Z}，B={x∣x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)=()A.{x∣x=3k,k∈z}B.{x∣x=3k-1,k∈z}C.{x∣x=3k-2,k∈Z}D.ϕ2.【2023甲卷文科T1】设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪(C∪M)=()A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}3.【2023乙卷理科T2】设集合U=R, 集合M={x x<1},N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=()A.C U(M∪N)B.N∪C U MC.C U(M∩N)D.M∪C U N4.【2023乙卷文科T2】设全集U={0,1,2,4,6,8}, 集合M={0,4,6},N={0,1,6}, 则M∪C U N=()A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U5.【2023新一卷T1】已知集合M={-2,-1,0,1,2}，A={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.0,1,2C.{-2}D.{2}6.【2023新一卷T7】记S n为数列a n的前n项和，设甲：a n为等差数列；乙：S n n为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.【2023新二卷T2】设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则a=()A.2B.1C.23D.-18.【2023上海卷T13】已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x∉Q},则M=()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}9.【2023天津卷T1】已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则C U(B∪A)=()A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}10.【2023天津卷T2】“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2023复数1.【2023甲卷理科T2】若复数(a+i)1-a i，则a=()A.-1B.0C.1D.22.【2023甲卷文科T2】51+i32+i2-i=()A.-1B.1C.1-iD.1+i3.【2023乙卷理科T1】设z=2+i1+i2+i5, 则z=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i4.【2023乙卷文科T1】2+i2+2i3=()A.1B.2C.5D.55.【2023新一卷T2】已知z=1-i2+2i，则z-z=()A.-iB.iC.0D.16.【2023新二卷T1】在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.【2023上海卷T6】已知当z=1+i,则|1-i·z|=8.【2023天津卷T10】已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为2023算法与程序框图1.【2023甲卷理科T3】执行下面的程序框圈，输出的B=()A.21B.34C.55D.89开始n=1,A=1，B=2n≤3?A=A+BB=A+Bn=n+1输出结束2.【2023甲卷文科T6】执行右边的程序框图，输出的B=()A.21B.34C.55D.89开始n=3,A=1，B=2,k=1k≤n?A=A+BB=A+Bk=k+1输出B结束2023平面向量1.【2023甲卷理科T4】向量|a |=|b |=b ，|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ，b-c ›=()A.-15B.-25． C.25D.452.【2023甲卷文科T3】已知向量a =(3,1),b =(2,2),则cos ‹a +b,a -b ›=()A.117B.1717． C.55D.2553.【2023乙卷理科T12】已知⊙O 的半径为1, 直线PA 与⊙O 相切于点A , 直线PB 与⊙O 交于B ,C 两点, D 为BC 的中点,若|PO |=2, 则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+24.【2023乙卷文科T6】正方形ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点, 则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.55.【2023新一卷T3】已知向量a =(1,1)，b =(1,-1). 若(a +λb )⊥(a+μb )，则()A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-16.【2023新二卷T13】已知向量a ,b 满足a -b =3，a +b =2a -b，则b =.7.【2023上海卷T2】已知a =-2,3 ,b =1,2 , 求a ⋅b =.8.【2023天津卷T14】在△ABC 中.∠A =60°,点D 为AB 的中点,点E 为CD 的中点,若设AB =a ,AC =b , 则AE 可用a、b表示为.若BF =13BC ,则AE ⋅AF 的最大值为.2023数列1.【2023甲卷理科T5】已知数到a n中，a1=1，S n为a n前n项和，S5=5S3-4，则S4=()A.7B.9C.15D.302.【2023甲卷文科T5】记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=()A.25B.22C.20D.153.【2023甲卷文科T13】记S n为等比数列{a n}的前n项和.若8S6=7S3,则{a n}的公比为.4.【2023乙卷理科T10】已知等差数列a n的公差为2π3, 集合S=cos a n∣n∈N∗, 若S={a,b}, 则ab=()A.-1B.-12C.0D.125.【2023乙卷理科T15】已知a n为等比数列, a2a4a5=a3a6,a9a10=-8, 则a7=6.【2023新二卷T8】记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=()A.120B.85C.-85D.-1207.【2023上海卷T3】已知{a n}为等比数列，且a1=3,q=2,求S6=8.【2023天津卷T6】已知{a n}为等差数列, S n为数列{a n}的前n项和,a n+1=2S n+2, 则a4的值为()A.3B.18C.54D.1529.【2023甲卷理科T17】已知数列a n中，a2=1，设S n为{a n}前n项和，2S n=na n．(1)求a n的通项公式；(2)求数列a n+12n的前n项和Tn．10.【2023乙卷文科T18】记S n为等差数列a n的前n项和, 已知a2=11,S10=40.(1)求a n的通项公式;(2)求数列a n的前n项和T n.11.【2023新一卷T20】设等差数列a n的公差为d，且d>1. 令b n=n2+na n，记S n,T n分别为数列a n，b n的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求a n的通项公式；(2)若b n为等差数列，且S99-T99=99，求d.12.【2023新二卷T18】若等差数列{a n}，数列{b n}满足b n=a n-6,n为奇数，2a n,n为偶数，记Sn，T n分别为{a n}，{b n}的前n项和，S4=32，T3=16.(1)求{a n}的通项公式；(2)证明：n>5时，T n>S n.13.【2023天津卷T19】已知{an}是等差数列,a2+a5=16, a5-a3=4.(1)求{an}的通项公式和n-1i=2n-1a i(2)已知{b n}为等比数列,对于任意k∈N*,若2k-1≤n≤2k-1, 则b k<a n<b k+1i.当k≥2时,求证:2k-1<b n<2k+1ii.求{b n}的通项公式及其前n项和.1.【2023甲卷理科T9】有五名志愿者参加社服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.302.【2023乙卷理科T7】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种, 则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种3.【2023新一卷T13】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).4.【2023新二卷T3】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有()A.C45400∙C15200种B.C20400∙C40200种C.C30400∙C30200种D.C40400∙C20200种5.【2023上海卷T10】已知1+2023x10+2023-x100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100, 其中a0,a1,a2⋯a100∈R,若0≤k≤100且k∈N,当a k<0时,k的最大值是6.【2023上海卷T12】空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥,求方案数为7.【2023天津卷T11】在2x3-1 x6的展开式中,x2项的系数为1.【2023甲卷理科T6】有50人报名足球倶乐部，60人报名乒乓球倶乐部，人报名足球或与丘球倶乐部，若已知某人报足球倶乐部，则其报乒乓球倶乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.12.【2023甲卷文科T4】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.233.【2023乙卷理科T5，文科T7】已知O是平面直角坐标系的原点, 在区域(x,y)∣1≤x2+y2≤4内随机取一点A, 则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.124.【2023乙卷文科T9】某学校举办作文比赛, 共6个主题, 每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文, 则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A.56B.23C.12D.135.【2023新一卷T9】有一组样本数据x1,x2,⋯,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,⋯,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,⋯,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,⋯,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯,x6的极差6.【2023新二卷T12】在信道内传输0，1信号,信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输,单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如：若依次收到1，0，1，则译码为1)()A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)2D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率7.【2023上海卷T9】国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为.8.【2023上海卷T14】根据身高和体重散点图，下列说法正确的是()A.身高越高，体重越重B.身高越高，体重越轻C.身高与体重成正相关D.身高与体重成负相关9.【2023天津卷T7】忘了。
高考数学试卷分类解析汇总
高考数学试卷分类解析汇总
高考数学试卷分类解析汇总可以根据试题类型进行分类，以下是一些常见的分类：
1. 选择题解析：包括单选题和多选题的解析，解析重点在于选项的比较和解题思路的讲解。
2. 填空题解析：解析重点在于如何得到正确答案的求解过程，包括代入法、分析法等思路的讲解。
3. 解答题解析：包括解方程、证明、计算等类型的解析，解析重点在于步骤的讲解和解题思路的引导。
4. 应用题解析：包括几何问题、函数问题、概率问题等应用题的解析，解析重点在于模型的建立和求解过程的讲解。
5. 考点解析：从不同的数学知识点出发，解析常考的考点，包括函数、三角函数、数列、概率等知识点的解析。
6. 解题技巧解析：介绍一些解题的常用技巧，如凑微分法、换元法、构造法等，解析重点在于技巧的应用和实践。
通过对这些不同类型的试题进行分类解析和总结，可以帮助考生更好地理解数学知识，提高解题能力，为应对高考数学备考提供有效的帮助。
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在高考中数学表格题分类解析
近年来,涉及表格类的试题经常出现在全国各地的高考和模拟试题中,它们不仅情境新颖,而且与生活实际联系紧密，充分体现了表格的工具性和数学的适用性。
这类问题主要考查学生能否根据所学知识在新情景中吸收、处理信息的能力和分析、解决问题的能力。
本文结合实例对表格在高中数学试题中的应用作一些分析和归纳，期望对广大读者有所帮助。
一、在题设中直接以表格反映条件
例1 下表给出了x 与x
10的七组对应值：
假设上表数据中,有且仅有一组是错误的,它是第________组。
思路：由上表可知第六组一定正确，由此判断第一、三组都是正确的（因为它们不可
能全错）由第一组正确得到第五组也正确，剩下第二、四、七组必有一组错的，若第二组正确，推出第四、七组都是错的，因此第二组是错的。
评注：这是一题以指对数互化和对数的运算法则为背景的表格信息题，要求要能根据
表中信息找到突破口，进行推理和假设，作出正确判断。
此类问题对考查学生的逻辑思维能力能起到很好的作用。
例2 二次函数x c bx ax y (2++=∈R )的部分对应值如下表： 则不等式ax 2+bx+c>0的解集是________________
思路一：由表格可知，原函数图象过三点（－1，－4）、（0，－6）、（1，－6）， 由()()4112-=+-+-c b a ①,6002
-=+⋅+⋅c b a ② 6112-=+⋅+⋅c b a ③，解得6,1,1-=-==c b a ，∴不等式ax 2+bx+c>0的解集是｛x|x<-2或x>3｝
思路二：由表格可知，方程02
=++c bx ax 的两根为3,2-，再由函数值的变化规律
可知二次函数图象开口向上，∴不等式ax 2+bx+c>0的解集是｛x|x<-2或x>3｝。
评注：上述两种解法都是合理选用了表格中的信息，分别从函数与方程，数形结合两
方面处理了问题。
特别是思路二，不需要计算就能得到答案，如果信息选择不当，会导致运算相对繁琐。
例3 )
(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象，在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数（ ）
（A ）]24,0[,6sin 312∈+=t t y π （B ）]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππ （C ）]24,0[,12sin 312∈+=t t y π
（D ）]24,0[),212sin(312t t y π
π
++=
思路一：考虑到是选择题，可用赋值验证法，令0=t ，排除答案D ，再令3=t ，
排除答案B 、C ，得到答案A
思路二：考虑到函数()ϕω++=x A k y sin 的图象特征，两个相邻深度最大值对应的
时间差可看成函数()ϕω++=x A k y sin 的一个周期，得到该函数的一个周期为12，从而排除答案A 、D ，再赋3=t 检验，即可得到答案A 。
评注：这是一个提供数据，寻求“近似”解析式的问题，关键是把握好近似的度，
正面解决有困难时，可根据表格信息，借助图象特征，合理筛选，间接的将问题处理。
例4 在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.
公差的等差数列，第一个应填140，舒张压随着年龄的增长，奇数项构成一个以70为首项，5为公差的等差数列，偶数项构成一个以73为首项，5为公差的等差数列，第二个应填85。
评注：这是一个以医学知识作为背景，考察等差数列的表格题，读者要能跟据所学
知识将一组数据信息化归为一个数列问题。
例5 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )
(A) 计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.
(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.
思路：根据题意，某行业的就业形势由该行业的招聘人数
应聘人数来决定，比值越小，就业形势越好。
因计算机行业的应聘人数与招聘人数比值为
>>70430
65280124620215830化工行业的比值，可排除A ，又因建筑行业的比值 <<<70430
652807651665280物流行业的比值，故选B 。
评注：本题是以统计为背景的表格应用题。
不仅要看到表中的信息，而且要能发
现隐含信息，如应聘人数统计表中的物流、贸易在招聘人数表中没有出现，说明其排在前5名之后，同样招聘人数统表中的建筑、化工两行也业的应聘人数也排在前5名之后，如若发现不了上述信息，本题做起来就会有困难。
二、在解决问题的过程中使用表格
例6 旅馆里住着6位旅客，他们分别来自：北京（B ）、天津（T ）、上海（S ）、扬州（Y ）、
南京（N ）、和杭州（H ），他们分别姓赵、钱、孙、李、周和吴，他们的职业各不相同，还知道：（1）老赵和北京人都是医生，老周和天津人都是教师，老孙和上海人都是工程师；（2）扬州人和老钱、老吴都是退伍军人，而上海人从未参过军；
（3）南京人和扬州人都比老赵岁数大，杭州人比老钱的岁数大，老吴最年轻；（4）老钱和北京人一起去扬州，老孙和南京人要去广州。
试根据条件确定每位旅客的籍贯。
思路：本题是一道典型的逻辑推理题，由于每位旅客的姓名和籍贯是一一对应的，
职业不同可判断：老周和老孙都不是北京人，老赵和老周都不是上海人，老赵和老孙都不是天津人，在表中相应的空格打上“×”表示不可能，根据条件（2）：可划去钱（Y ）、吴（Y ）、钱（S ）、吴（S ），根据条件（3）：可划去赵（N ）、赵（Y ）、钱（H ）、吴（N ）、吴（H ），根据条件（4）：划去钱（B ）、孙（N ）、钱（N ）。
最后再观察表上空格，可判断老赵是杭州人，老钱是天津人，就可划去李（T ）、孙（H ）和吴（T ），同理，可判断老李是上海人，就可划去李（B ）、
李（N ）、李（Y ）、李（T ）、李（H ），依此类推，不难得到正确的结论。
所以，老赵是杭州人，老钱是天津人，老孙是扬州人，老周是南京人，老吴是北京人。
评注：制表是解决类似逻辑推理题的有效途径之一，能真正反映数学解题过程是对信
息的获取、处理、输出过程。
例 7某工厂生产甲，乙两种产品。
已知生产甲种产品1t ，需耗A 种矿石10t 、B 种矿
石5t 、煤4t;生产乙种产品需耗A 种矿石4吨、B 种矿石4t 、煤9吨，每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种
产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360t,B 种矿石不超过200t,煤不超过300t,甲乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润种额达到最大？ 思路：由于条件较多，为了使条件更加清晰且具有条理性，可采用列表反映条件：
消耗量 产品 甲产品 乙产品 资源限额
资源 （1t ） （1t ） (t)
A 种矿石（t ） 10 4 300
B 种矿石（t ） 5 4 200
C 种矿石（t ） 4 9 360
利润 600 1000
设生产甲乙两种产品分别为x t,y t,利润总额为z 元，那么
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0
03609420045300410y x y x y x y x 目标函数.1000600y x z +=
作出可行域，借助线性规划的内容得到；当t y t x 4.34,4.12≈≈时能使利润达到最
大。
评注：线性规划问题中的条件的反映在很多时候往往可列表，通过表格来理清解题思
路和方向。
例8 已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3'-=，且图象过定点（0，－5），求函数)
(x f 的单调区间及极值。
思路：利用题中已知),('
x f 可直接求单调区间及导数为0的点，但无法求出极值，要
求极值，须求出)(x f 的解析式。
由x x x f 44)(3'-=,可设 m x x x f +-=242)(，由,5,5)0(-=∴-=m f 52)(24--=x x x f 。
令
,0)('=x f 即得0443=-x x ，解得1,0,1==-=x x x ，列表讨论：
1，+∞）上单调递增，在1±=x 处有极小值－6，在0=x 处有极大值－5。
评注：在画函数的图象，研究一元高次函数单调性，极值和最值时，经常会采用列表
的方法去处理。
通过以上各例可以看出，表格类试题内容主要涉及逻辑初步、函数与导数、数列、线性规划、概率与统计等方面，处理这类问题关键是应根据表中数据信息实施转化与化归，使它们对应于数学中的数、形、式，并辅助计算、推理、假设、验证等方法去求解；同时由于表格是信息的良好载体，能集中给出解题信息，给人的感觉直观通俗，在解题时应注意使用。
随着高考“深化数学理性思维”的要求，用表格作为信息源和处理手段的新试题，将是高考试题新的生长点，正确求解这类题既是高考取胜的需要，也是新课程标准下素质教育的内在要求。