小学奥数余数性质(一)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

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四年级常考的奥数题：余数问题

四年级常考的奥数题：余数问题四年级常考的奥数题：余数问题导语：任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的!自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。

行路，还是要靠行路人自己。

下面是小编为大家整理的：奥数题。

希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!小学奥数题【例一】所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。

首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的`数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

小学奥数题【例二】基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数的性质：①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

小学奥数。通项归纳精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

小学奥数。

通项归纳精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)例1：求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。

解析：方法一：令a=1+2+4+8+。

+1024，则2a=2+4+8+16+。

+1024+2048，两式相减，得a=2048-1=2047.方法二：找规律计算得到1024×2-1=2047.答案：2047例2：在一列数：1/3，5/7，9/11，13/15，17/19，21/23中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1/1000？解析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1-从n=1000开始，即从2n-1/2n+1开始，满足条件2n-1/2n+1-1999.5，所以从第n=1000开始满足条件。

答案：2n-1/2n+1，n=1000例3：计算：1+1/11+1/111+1/1111+。

+1/.解析：先找通项公式an=1/(10^n-1)，原式=1/10+1/110+1/1110+。

+1/xxxxxxx，先通项归纳：an=1/(10^n-1)，原式=1/10(1+1/11+1/111+。

+1/)，用等比数列求和公式得到原式=175/264.答案：175/264巩固：计算：1+3/2+5/6+7/12+。

+111/2016.解析：先通项归纳：an=(2n-1)/(n(n+1))，原式=1+3/2+5/6+。

+111/2016=1/1+2/4+3/6+。

+56/2016，化简得原式=1/1+1/2+1/3+。

+1/96，用调和级数求和公式得到原式=111/64.答案：111/64.例4】将原式化简：frac{1\cdot2}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{2\cdot3}{2\cdot3\cdo t4}\cdot\frac{3\cdot4}{3\cdot4\cdot5}\cdots\frac{6\cdot7}{6\cdot7\cdot8}$$frac{1}{3\cdot4}\cdot\frac{2}{4\cdot5}\cdot\frac{3}{5\cdot6 }\cdots\frac{6}{8\cdot9}$$frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{7}\cdot\frac{6}{9\c dot4}$$frac{2}{315}$$例5】将原式化简：frac{n^2+1}{2n(n+1)}$$frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$$巩固】计算：frac{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})\cdots(1+\frac{1}{2^{1 0}})-1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{2^{10}-1}{2^{10}-2}}$$frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdots\frac{1025}{1024}}{\ frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{1023}{1022}}-1$$ frac{1025}{2^{10}}-1$$frac{513}{512}$$例6】计算：$\frac{1+2}{2}+\frac{2+3}{3}+\frac{3+4}{4}+\cdots+\frac{50+1 }{50}$解析】利用通项公式$a_n=\frac{n+(n+1)}{n}=2-\frac{1}{n}$，则原式$=\sum\limits_{k=1}^{50}a_k=\sum\limits_{k=1}^{50}\left(2-\frac{1}{k}\right)$，将其拆开，得到原式$=50\cdot 2-\sum\limits_{k=1}^{50}\frac{1}{k}$。

小学奥数余数性质（一）精选练习例题含答案解析（附知识点拨及考点）

1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×23×1616除以5的余数等于3×3×11＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×23×1919除以5的余数等于3×3×44除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4678967除以9的余数为7知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

奥数数论题库17-余数问题_知识例题精讲

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

知识点拨教学目标5-6余数问题例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

小学六年级奥数题及答案-余数问题

小学六年级奥数题及答案:余数问题
教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
以下是小编为大家整理的【小学六年级奥数题及答案:余数问题】，供大家参考！
把1至_这_个自然数依次写下来得到一个多位数_3456789....._,这个多位数除以9余数是多少?
答案与解析：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。

解题：首先，任意连续9个自然数之和能被9整除，也就是说，一直写到_能被9整除。

所以答案为1
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奥数余数问题知识点(一)

奥数余数问题知识点(一)奥数余数问题什么是奥数余数问题？奥数余数问题是奥数或数学中常见的一个问题类型，要求计算一个数除以另一个数的余数。

通常给定两个整数，求它们相除的余数。

如何计算余数？余数是一个剩余部分，当一个数不能整除另一个数时，所剩下的部分就是余数。

例如，10除以3的余数是1，因为10可以被3整除3次，余下1。

奥数余数问题的常见类型在奥数中，有一些常见的余数问题类型，包括但不限于：1.除数为2或10的倍数的情况：当除数是2的倍数时，余数只能是0或1；当除数是10的倍数时，余数只能是0。

2.关于两个整数除法结果的关系：例如，给定两个整数a和b，求a和b相除的余数。

如果a除以b的余数是r，那么可以得出结论：(a + n * b)除以b的余数也是r，其中n是任意整数。

3.求余数的特殊方法：例如，假设我们要计算一个较大的数除以10的余数，我们可以观察这个数的个位数是多少，因为一个整数除以10的余数就是它的个位数。

奥数余数问题的解决方法解决奥数余数问题通常需要一些数学技巧和观察力，以下是一些常见的解决方法：1.利用除法原理：根据除法原理，我们可以将一个数的余数变为0，然后再加上余数，得到原问题的答案。

例如，计算123除以7的余数，我们可以先将123减去它除以7的余数，得到116，再加上余数4，得到120，即为所求余数。

2.利用模运算性质：模运算是一种求余数的方法，可以用符号%表示。

利用模运算的一些性质，如(a + b) % n = ((a % n) + (b % n)) % n，我们可以在求余数的过程中简化计算。

3.利用数的性质：例如，当一个数末尾有0时，它必然可以被10整除，所以余数为0；当一个数的各个位上的数字之和能被3整除时，它也能被3整除，所以余数为0。

总结奥数余数问题是奥数或数学中常见的问题类型之一，在解决这类问题时，我们可以利用除法原理、模运算性质和数的性质等方法进行求解。

通过掌握这些解决方法，我们可以更好地应对奥数余数问题的挑战。

小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题

1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

小学奥数中国剩余定理及余数性质拓展精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a b ca，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

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-3. 余数性质（三）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b的和除以c 的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以 c 的余数。

例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23+16＝39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。

例如：23，19除以 5 的余数分别是 3 和4，所以23+19＝42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数为22. 余数的加法定理a 与b的差除以c 的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23－16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以 5 的余数分别是 3 和4，23－14＝9 除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43. 余数的乘法定理a 与b的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23 ×16 除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。

例如：23，19除以5 的余数分别是3 和4，所以23 ×19 除以5的余数等于3×4 除以5 的余数，即2. 乘方：如果 a 与 b 除以m 的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以9 的余数为11898除以9 的余数为818922 除以9 的余数为4678967 除以9 的余数为7178902 除以9 的余数为0 这些余数的和除以9 的余数为 2 而等式右边和除以9 的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9 的余数的和再除以9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9 时，等式两边的除以9 的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

例题精讲模块一、余数的加减法定理例1】幼儿园的老师给班里的小朋友送来40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。

平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。

这班里共有_________ 位小朋友。

考点】余数的加减法定理【难度】 1 星【题型】填空关键词】走美杯， 4 年级，决赛，第 3 题，8 分解析】 4 0-4=36 ，200-20=180 ，120-12=108 。

小朋友的人数应是36 ，180 ，108 的大于20 的公约数，只有36 。

答案】36例2】在1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被9 除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______ 组．考点】余数的加减法定理【难度】 2 星【题型】填空关键词】少年数学智力冬令营解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以9 的余数依次是6，0，2，3，5．因为 2 5 2 5 0 7， 2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9 ，所以这样的数组共有下面 4 个：200 0, 2 0，03 1998,2000,2003 ，2000,2003,2001,1995 ，1998,2000,2003,2001,1995 ．答案】4例3】号码分别为101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?考点】余数的加减法定理【难度】 2 星【题型】解答解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。

计算101，126，173，193 除以 3 的余数分别为2，0，2，1。

那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。

显然126 运动员打5盘是最多的。

答案】5例4】有一个整数，用它去除70，110，160 所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______ ．考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空关键词】小学数学奥林匹克解析】(70 110 160) 50 290 ，50 3 16 ................... 2，除数应当是290 的大于17 小于70 的约数，只可能是29 和58，110 58 1 ......... 52，52 50 ，所以除数不是58．70 29 2 ............ 12，110 29 3 ....... 23，160 29 5 15，12 23 15 50，所以除数是29答案】29巩固】用自然数n去除63，91，129 得到的三个余数之和为25，那么n= ______ ．考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空关键词】小学数学奥林匹克解析】n能整除63 91 129 25 258．因为25 3 8...1，所以n是258 大于8的约数．显然，n不能大于63 ．符合条件的只有43.答案】43例5】如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！⋯⋯1×2×3×⋯⋯×99×1＝00100！那么1！+2！+3！+⋯⋯+100 ！的个位数字是多少？考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答解析】从5！开始个位数字都是0 了因此只需要计算前 4 个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 所以末位数字一定是3答案】3例6】六名小学生分别带着14元、17 元、18元、21元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买 1 本．这种《成语大词典》的定价是_________________ 元．考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空关键词】小数报解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余1．易知，这个钱数只能是37 元，所以每本《成语大词典》的定价是(14 17 18 21 26) 3 32 (元) ．答案】32巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________________ 千克．考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空关键词】小学数学奥林匹克解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(15 16 18 19 20 31) (1 2) 119 3 39...2 ，剩下的一箱货物重量除以 3 应当余2，只能是20 千克．答案】20巩固】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取 3 张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是_______ ．（第五届小数报数学竞赛初赛）【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2 倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是 3 的倍数．计算这六个数的总和是1193 1258 1842 1866 1912 2494 10565，10565 除以3 余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以 3 余2．六个数中只有1193 除以 3 余2，故丙手中卡片上的数为1193．【答案】1193【例7】从1，2，3，4，⋯，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15 整除．N 最大为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第8 题【解析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15 的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在 1 2007中，除以15的余数为0 的有15 1，15 2，⋯，15 133，共有133个；除以15 的余数为5的有15 0 5，15 1 5，⋯，15 133 5，共有134 个；除以15 的余数为10 的有15 0 10，15 1 10，⋯，15 133 10，共有134 个．所以N 最大为134．【答案】134【例8】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数，100 除以3余1，就知四个岁数都是3k 1型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43 岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．【答案】37【例9】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196 人．有一所学校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么 A 校总人数是________________ 人．【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】三所学校的高中生分别是：A校742人， B 校732 人，C 校722 人．如果A校或 C 校初中人数是高中人数的 1.5 倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480 是偶数矛盾，因此只能是 B 校的初中人数是高中人数的 1.5 倍．三校初中的总人数是5480 21963284 ，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2 2 1 5，1 2 2 4，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是 C 校．所以，A 校总人数是742 742 1484 （人）．【答案】1484模块二、余数的乘法定理例10】求2461 135 6047 11的余数．考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答解析】因为2461 11 223...8，135 11 12...3，6047 11 549...8，根据同余定理（三），2461 135 6047 11的余数等于8 3 8 11的余数，而8 3 8 192 ，192 11 17...5，所以2461 135 6047 11的余数为5．答案】5巩固】求478 296 351除以17 的余数．考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答关键词】华杯赛解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以17 的余数．478,296,351 除以17 的余数分别为2，7 和11，（2 7 11） 17 9 .......................... 1．答案】1巩固】求437 309 1993被7 除的余数．考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答解析】方法一：先将437 309 1993算出以后，即437 309 1993 269120769．再求得此数被7 除的余数为1．方法二：因为473除以7 的余数为3，309除以7 的余数为1，由“同余的可乘性”知：（437 309）除以7 的余数为（3 1）．又因为1993 除以7 的余数为5，所以（437 309 1993）除以7 的余数等于（3 1 5）即15 除以7 的余数，算出437 309 1993 被7 除的余数为1．方法三：利用余数判别法⑹ ，算出437 309 1993 269120769，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差即（2 6 9）（7 6 ）9（1 2 ）0 17 22 3 ，3636 除以7 的余数为1，即437 309 199被3 7 除的余数为1．答案】1例11】求478 2569 352除以9的余数．考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答分析】 4 7 8 19 2 9 1，2 5 6 13 9 4，3 5 2 10 9 1，478 2569 351除以9 的余数等于1 4 1 4．答案】4例12】一个数被7除，余数是3，该数的 3 倍被7除，余数是。