初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生掌握数学竞赛中常用的构造方法，提高解题技巧。
2. 通过实例分析，让学生学会如何运用构造法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 构造法的定义及作用2. 常见构造方法介绍3. 构造法在数学竞赛中的应用实例4. 构造法与其他解题方法的结合运用5. 创新构造法的训练题目及解析三、教学重点与难点：1. 教学重点：构造法的定义、作用及常见构造方法的掌握。
2. 教学难点：构造法在实际问题中的应用和创新构造法的训练。
四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何利用构造法解决。
2. 讲解：介绍构造法的定义、作用及常见构造方法，并通过实例进行分析。
3. 练习：让学生尝试运用构造法解决实际问题，教师进行指导。
4. 拓展：讲解构造法与其他解题方法的结合运用，提高解题效率。
五、课后作业：1. 完成创新构造法的训练题目，巩固所学知识。
3. 结合所学构造方法，尝试解决其他数学问题。
六、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业的完成情况，评估学生对构造法的理解和掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能够灵活运用构造法，以及构造的合理性和创新性。
七、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体的数学竞赛题目，让学生直观地理解构造法的应用。
2. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提出问题，师生共同探讨，提高学生的参与度和理解力。
3. 循序渐进：从简单的构造方法开始教学，逐渐过渡到复杂的创新构造，让学生逐步掌握。
4. 反馈与激励：及时给予学生反馈，表扬他们的进步和创造性思维，激发学习兴趣。
八、教学资源：1. 数学竞赛题目库：用于提供实例分析和课后作业。
2. 教学PPT：展示构造法的定义、例子和训练题目。
3. 参考书籍：提供额外的构造法知识和解题策略。
4. 在线资源：利用互联网资源，如教育平台和讨论区，为学生提供更多学习材料和交流机会。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
【例5】已知实数 、 、 、 互不相等，且 ，试求 的值.思路点拨：运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值.
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
11、已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为.
12、已知 是方程 的一个正根.则代数式 的值为.
13、对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2 C、 D、2．5
14、自然数 满足 ，这样的 的个数是()
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知 、 都是负实数，且 ，那么 的值是()
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数.
参考答案
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是.(广西中考题)
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生掌握数学竞赛中常见的构造方法，提高解决问题的能力。
2. 培养学生创新思维，锻炼逻辑推理和空间想象能力。
3. 通过实例分析，让学生了解构造法在解决数学竞赛题目中的应用。
二、教学内容：1. 构造法的定义和意义2. 构造法的基本原理3. 常见构造方法介绍4. 构造法在数学竞赛中的应用实例5. 构造法解题步骤和技巧三、教学重点与难点：1. 重点：构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
2. 难点：构造法在解决实际问题中的应用和灵活运用。
四、教学过程：1. 引入：通过一个简单的数学问题，引发学生对构造法的兴趣。
2. 讲解：介绍构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
3. 示范：分析一个数学竞赛题目，展示构造法的应用过程。
4. 练习：让学生尝试解决几个构造法相关的数学问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
2. 分析课后练习题，运用构造法解决问题。
教学目标：1. 让学生掌握几何构造法的基本概念和技巧。
2. 培养学生运用几何构造法解决几何问题的能力。
3. 通过实例分析，让学生了解几何构造法在数学竞赛中的应用。
教学内容：1. 几何构造法的定义和意义2. 几何构造法的基本原理3. 常见几何构造方法介绍4. 几何构造法在数学竞赛中的应用实例5. 几何构造法解题步骤和技巧教学重点与难点：1. 重点：几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
2. 难点：几何构造法在解决实际问题中的应用和灵活运用。
教学过程：1. 引入：通过一个简单的几何问题，引发学生对几何构造法的兴趣。
2. 讲解：介绍几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
3. 示范：分析一个几何竞赛题目，展示几何构造法的应用过程。
4. 练习：让学生尝试解决几个几何构造法相关的数学问题。
课后作业：1. 理解并掌握几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生理解创新构造在数学竞赛中的重要性。
2. 培养学生运用创新思维解决数学问题的能力。
3. 通过实例分析，让学生掌握几种常见的创新构造方法。
二、教学内容：1. 创新构造的定义与意义。
2. 常见的创新构造方法：换元法、构造法、赋值法、不等式法等。
3. 创新构造在数学竞赛中的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：创新构造方法的讲解与运用。
2. 教学难点：如何引导学生运用创新思维解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过一个有趣的数学故事，引发学生对创新构造的兴趣。
2. 新课导入：讲解创新构造的定义与意义，引导学生认识到其在数学竞赛中的重要性。
3. 实例分析：分析几个数学竞赛题目，讲解如何运用创新构造方法解决问题。
4. 方法讲解：详细讲解换元法、构造法、赋值法、不等式法等创新构造方法。
5. 练习巩固：让学生独立解决一些数学竞赛题目，运用所学的创新构造方法。
6. 总结提升：引导学生总结创新构造的优点与注意事项。
五、课后作业：1. 复习本节课所学的创新构造方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 搜集一些数学竞赛题目，尝试运用创新构造方法解决。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体的数学竞赛题目，让学生了解创新构造的方法和技巧。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时的创新构造思路。
3. 练习巩固：提供丰富的练习题，让学生在实践中运用和创新构造方法。
4. 激励评价：对学生在解决问题时的创新构造给予积极的评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
七、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论和练习中的积极性，评价其对创新构造方法的掌握程度。
2. 练习成果：评估学生在课后作业和练习题中的表现，检验其对创新构造方法的运用能力。
3. 竞赛成绩：关注学生在数学竞赛中的表现，从中了解创新构造方法对其竞赛成绩的促进作用。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题
第三十讲 创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算； 2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．例题【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ⋅，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ⋅”和“C A ⋅”的是( ) ．A ．(a)，(b)B ．(b)，(c)C ． (c)，(d)D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题)思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆．【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x －21(全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：(1)x=[x]+r ，0≤r<l ； (2) [x]≤x ＜[x]+1； (3)x －1＜[x]≤x ； (4)[n+x]＝n+[x]； (5)[x+y]≥[x]+[y]其中当n 为整数，当且仅当x 为整数时等号成立．【例5】 如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a 一d)(b 一c)>0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作．(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0 ?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a 一d)(b 一c)>0的四个数，按题设条件操作， 直至符合结论的要求；(2)略．注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法．【例6】 假设a#a+b 表示经过计算后a 的值变为a 的原值和b 的原值的和，又b#b.c 表示经过计算后b 的值变为b 的原值和c 的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a 、b 、c 同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c ；(3) c#a+b+c(即c 的值变为所得到的a 、b 的值与c 的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a 、b 、c 三个数值之和是几位数?思路点拨 对a 、b 运算次数1 2 3 a 1 2 5 b 1 3 24 c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数．学力训练1．现定义两种运算： ，对于任意两个整数a ，b ， ＝a+b －1，=a b －1，那么 = ．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad dc b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是 ． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有 个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
初中数学创新题讲解教案
初中数学创新题讲解教案教学目标：1. 让学生掌握创新题的基本解题技巧和方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对数学学习的兴趣和积极性。
教学内容：1. 创新题的定义和特点2. 创新题的解题技巧和方法3. 典型例题解析4. 课堂练习和总结教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍创新题的定义和特点，让学生对创新题有一个初步的了解。
2. 强调创新题的重要性，激发学生的学习兴趣。
二、讲解创新题的解题技巧和方法（15分钟）1. 引导学生理解创新题的解题思路，让学生明白创新题并不是无规律可循的。
2. 讲解创新题的常见解题方法，如转换法、归纳法、构造法等。
3. 通过具体例题，演示解题过程，让学生掌握解题技巧。
三、典型例题解析（15分钟）1. 选择具有代表性的典型例题，进行分析和解题。
2. 引导学生参与解题过程，让学生亲身体验解题的乐趣。
3. 通过例题解析，让学生加深对创新题解题方法的理解和运用。
四、课堂练习（15分钟）1. 设计一些与讲解内容相关的练习题，让学生进行实际操作。
2. 引导学生独立思考，自主解决问题，培养学生的自主学习能力。
3. 对学生的练习结果进行及时反馈，指导和帮助学生纠正错误。
五、总结（5分钟）1. 对本节课的内容进行简要回顾，让学生巩固所学知识。
2. 强调创新题解题技巧和方法在实际应用中的重要性。
3. 鼓励学生在日常生活中多思考、多动脑，培养学生的创新思维能力。
教学评价：1. 对学生的课堂练习进行评价，了解学生对创新题解题方法的掌握程度。
2. 关注学生在课堂上的参与情况和表现，了解学生的学习兴趣和积极性。
3. 收集学生的反馈意见，不断改进教学方法和策略，提高教学质量。
教学反思：本节课通过讲解创新题的解题技巧和方法，让学生对创新题有了更深入的了解，提高了学生的解题能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够有效地掌握所学知识。
第30讲 从创新构造入手
第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程；2．构造函数；3．构造图形；4．对于存在性问题，构造实例；5．对于错误的命题，构造反例；6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例2】 求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即ax b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是 ．2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ．6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求ts st 14++的值．7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．9．求所有的实数x ，使得xx x x 111-+-= ．10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132>++c b a ．11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．12．设10<<z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；(2)求点P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P 点?。
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第三十讲 从创新构造入手
有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．
所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．
构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：
1．构造方程；
2．构造函数；
3．构造图形；
4．对于存在性问题，构造实例；
5．对于错误的命题，构造反例；
6．构造等价命题等．
【例题求解】
【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．
思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．
注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．
【例2】 求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．
思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．
222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．
【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．
思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．
【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．
思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即a
x b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条
件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．
思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．
注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：
(1)几何问题代数化；
(2)利用图形图表解代数问题；
(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．
利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．
特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．
有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．
对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．
学历训练
1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是 ．
2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．
3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．
4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．
5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ．
6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求
t
s st 14++的值．
7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．
8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．
9．求所有的实数x ，使得x x x x 111-+-= ．
10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132>
++c b a ．
11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．
12．设10<<z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．
13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．
14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．
15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．
(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；
(2)求点P 到两底边的距离；
(3)在什么条件下可作出P 点?
参考答案。