配送时间有学习效应的单机排序问题
极小化两种目标函数的具有学习效应的单机排序问题
［ 关键词］ 排序 ； 间歇批 生产 ； 学习效应 ； 单机排序
［ 中图分类号］ ０ ２ ２３ ［ 文献 标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 】 １ ７ ２ ９ （０ １ ０ ０ ２ ０ ６ ２— ５０ ２ １ ）６— 序问题受到了国内外许多学者的广泛关注． 在经典 的排序理论中， 工件的加工时间通常都被看做是一个固定的常数． 然而 ， 在许多现实情况中， 如机器或工人反复或连续
２ １ 批 与批 之间没 有学 习效应 的传 递 ．
被安排在 日 中的第 ｒ 个位置上加工 的实际的加工时间表示为 Ｐ ＝ ∞ ＋ ． ｐ（ ） 因此 ， Ｂ 在 若
第 ３ 卷第 ６期 ３
２１ ０ １年 １ 月 １
泰 山 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｉ Ｓ Ｎ ＇ ＨＡ ＵＮⅣ Ｅ Ｉ Ｙ ＡＩ ＲＳＴ
Ｖｏ． ３ ＮＯ． １３ ６
Ｎ０ ． ２ １ ｖ Ｏ１
极 ／、 两 种 目 标 函 数 的 具 有 堂 ＞ Ｊ化 － － ４ － ｇ 效 应 的 单 机 排 序 问 题
１ 符 号表 示
ｍ表示批的个数 ， ２ ｍ≥ ； 表示第 ｉ ，＝ ， ， ｍ； 批 ｉ １２ …， ｎ 表示第 ｉ 批的工件个数 ，＝ ， ， ｍ； ｉ １２ …， ｔ Ｉ 表示工件的总个数 ，１ ＋… ＋ Ｉ ｔ Ｉ＋ ２ ｔ ｔ Ｉ＝ ； 表示第 ｉ 批中的第 ． 『 个工件 √ １２ … ， ； ＝ ，，
ｍ
∑∑ｃ 为所有工件的总完工时间． 所有 几 个工件被分成 ｍ批放在一台机器上进行加工 ， 并且所有工件在 ０时刻都是准备就绪 的． 如 果工件被安排在第一批的第一个位置上进行加工 ， 那么它的实际加工时间就是它的正常加工时间． 由于 学习效应的存在 ， 被加工的工件越往后 ， 它所需要的加工时间就越少． 为描述方便 ， 我们用 Ｌ Ｅ表示学习 效应； Ｂ表示间歇的批生产问题． 定义 Ｐ ＝ （ 鲫 ＋ ）其中 ，， Ｊ ， 口 均为常数 ， Ｂ 且满足 ≥ ， Ｏ ＋ Ｏ ≥ ，
具有学习效应和非线性安装时间的单机排序问题
具有学习效应和非线性安装时间的单机排序问题陶明子;赵传立【摘要】讨论了加工工件具有学习效应和安装时间的单机排序问题.文中工件的加工时间不是固定不变的,不仅与工件的加工位置有关,同时还与已加工完成工件的加工时间有关.安装时间分为线性安装时间和非线性安装时间,本文主要讨论的是具有非线性安装时间的情况.工件的安装时间是依赖于已加工完的工件的实际加工时间和工件所排列位置的函数形式.在文中主要证明了极小化最大完工时间,极小化完工时间总和问题是多项式可解的,另外还证明了满足一定条件下的极小化加权完工时间和,极小化最大延误问题是多项式可解的.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)001【总页数】4页(P8-11)【关键词】排序;单机;学习效应;非线性安装时间【作者】陶明子;赵传立【作者单位】沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034;沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034【正文语种】中文【中图分类】O223现在具有学习效应的机器排序问题得到广泛的关注[1-10],Biskup[1]首次提出具有学习效应的排序问题。
Koulamas和Kyparisis[2]给出工件的实际加工时间依赖于时间的学习效应的新模型。
Wu,Lee[3]将以上模型进行一般性的推广。
在传统的排序模型中,加工工件具有一定安装时间的排序问题是必要的。
Koulamas 和Kyparisis在文献[4]中给出了2种安装时间的排序问题,证明安装时间在线性条件下某些问题是多项式可解的,并将他们的结果扩展到安装时间为非线性的形式。
Biskup和Herrmann在文献[5]分析了工件带有安装时间和工期相关的一些问题,证明了极小化延迟和问题是多项式可解的。
Kuo和Yang[6-7]讨论了工件的加工时间与工件在排序中位置相关并且具有Koulamas和Kyparisis[4]中线性安装时间的排序问题。
同时具有学习效应和退化效应的单机排序问题
时 间既 与工 件 所 在 位 置 又 与 其 开 工 时 间 有 关 ， 工 件 在 加 工 之 后具 有 一个 配 送 时 间 。其 中 学 习 效 应 是 工 件 所 在 且
位 置 的 函数 ， 化 效 应 是 工 件 开 工 时 间 的 函数 。证 明 了极 小 化 最 大 完工 时 间 和极 小 化 总 完 ： 时 间 问 题 是 多 项 式 退 亡 可 解 的 ， 满 足 一 定 的 条 件 下 ， 小 化 加 权 总 完 工 时 间 和极 小 化 最 大 延 误 问 题 也 是 多 项 式 可 解 的 。 推 广 了 一 些 在 极
Ｓｉｇｅ ｍａ ｈ ｎ ｈ ｄ ｌ ｇ Ｐｒ ｂｅ ｔ ｎ ｒ ｌ ｆ ｃ ｓ ｏ ｎ ｌ— ｃ ｉｅ Ｓｃ ｅ ｕｉ ｏ ｌｍｓ ｗｉ Ｇｅ ｅ ａ ｆ ｔ ｆ ｎ ｈ Ｅ ｅ
Ｌ ａ ｎｎ ｎ ｔ ｒ ｒ ｔ ｎ ｅ ｒ ｉｇ ａ ｄ Ｄｅ ｅ ｉ ａ ｉ ｏ ｏ
Ｌ Ｕ Ｙａ ｇ， Ｔ Ｉ ｎ ＡＮＧ ｅ ｇ ｙ ｎｇ，ＺＨＡＯ ｕ ｎ ｌ Ｈ ｎ －ｏ Ｃｈ ａ —ｉ
ｃ ｓｅ ．Ｔ ｅｌａｎｎ ｆ ｃ ｓａｆｎ ｔ ｎ ｏ ｅｓｈ ｄ ｌ ｇｐ ｓｔ ｎ ｏ ｅｊｂ ｉ ｃ ｅ ｕｅ ｈ ｅｅｉｒｔ ｎ ｉ ｅｓ ｄ ｈ ｅ ｒｉｇｅｆ ｔ ｃｉ ｆｔ ｃ ｅ ｕｉ ｏｉｏ ｆｔ ｏ ａｓｈ ｄ ｌ．Ｔ ｅｄ ｔｒ ａｉ ｓ ｅ ｉ ｕ ｏ ｈ ｎ ｉ ｈ ｎ ｏ ｏ ａｆｎ ｔ ｎｏ ｅｓａｔ ｇｔ ｆ ｈ ｏ ｃ ｅ ｕｅ ｕ ｃｉ ｆ ｈ ｔｒ ｎ ｉ ｏ ｅｊｂ ｉ ａｓｈ ｄ ｌ．Ｗｅｓ ｏ ｈ ｔ ｈ ｋ ｓ ａ ｎｒｉａｉｎ ｐｏ ｌｍ ｎ ｈ ｏ ｔ ｉ ｍｅ ｔ ｎ ｈ ｗ ｔａ ｅｍａ ｅ ｐ ｎ ｍｉｉ ｚｔ ｒｂｅ ａ ｄｔｅ ｔ ａ ｏ
带学习效应的单机成组排序问题
二
Ｐ， （十 ｌ ２＋…… ＋ ＿） ：（＋ ｉ １ ｌ ＋ 】 ｒ】 ｌ １
ｋ ＝ｌ
★） ， ）
推广 到具有 安装 时间 的单机 成组 排序 问题 。 这里考 虑在 工件具 有学 习效应 的 条件下 ，学 习效应模 型为 ｐ，＝ ， ，
第２ 期
苑丽华等
带 学 习 效应 的单 机 成 组 排 序 问题
示 原来排 序 中工件 的标准 加 工 时间 ；
表示 工件 排在 第 ｆ 的第 ，个 位 置 的实际加 工 时间 ； 组
】
表示 在第 ， 组排 在第 ｋ个位 置 的 工件 … 的标 准加 工 时 间， ｋ＝１２ … …， ｉ ｋ 表 示在 第 组排 在第 ｋ ，， ｎ； … 个位 置 的工件 舭】 的实 际加 工 时 间 ； 表示 第 ｉ 中工件 的学 习效应 因子 ， ０＜ ｌ， ｆ ， …， ； 组 ， ＝１…
表 工 的 工 间 表 所 工 的 大 工 间 示 件 完 时 ； 示 有 件 最 完 时 ；∑ 表 所 工 的 完 时 。 示 有 件 总 工 间
这 里所 考虑 的的学 习 效应模 型 为 ： ＝ ， ，记该模 型 为 Ｌ ， Ｇ 表 示必 须满 足成 组技术 要求 ， Ｅ
在 经 典的排 序 理论 中， 工件 的加 工 时 间通常 是一 个 常数 ，而 在 一些 实 际排 序 问题 中 ， 由于机 器或 工
人 反复加 工相 同或 类似 的工件 ，他 们 的操 作越 来越 熟练 ，使得 在加 工顺 序 中 排在 后面 加 工的工 件的加 工
时 间缩 短 ，这 类 问题 被称 为具 有 学 习效 应 的排序 问题 。学 习效 应 在生 产 中的影 响 最早 是 由 Ｗｒ ｈ 出 ｉ ｔ提 ｇ 的 。Ｂ ｓｕ 提 出一种学 习效应 模 型 ： ｐ，＝ ， ， ＝１… …， （ 中 ｉ ｐ ｋ ， ， ， 其 因子； ， 为正 常加 工 时 间， ０， 口为常数 ，是学 习效应
具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题
具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题王方;赵传立【摘要】讨论一类加工时间可控的单机排序问题.在这一问题的模型中,机器具有学习效应,工件的实际加工时间为同时依赖于所排位置和所分配的资源量的资源消耗函数,其中资源消耗函数又分为线性资源消耗函数和凸资源消耗函数这两种函数.考虑共同工期分派方法和松弛工期分派方法这两种工期分派方法.极小化一个包含加权总误工数的费用、工期分派的费用、最大完工时间的费用和总资源消耗的费用的目标函数.对于工件加工时间的两种资源消耗函数与工期分派方法的不同组合,算法复杂性为O(n4)的多项式时间算法相应地被给出.创新之处是:在Shabtay研究的基础上增加考虑了学习效应后,计算相关问题的算法复杂性仍保持不变.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(031)004【总页数】5页(P471-475)【关键词】单机;排序;学习效应;资源分配;指派问题【作者】王方;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223带有可控加工时间的排序问题［1－10］，自1980年以来备受关注，并取得了许多研究成果。
本文将学习效应与可控加工时间相结合，拓展了文献［7］的主要结果。
问题可描述如下。
设有n个相互独立的工件的集合，记为｛J1，J2，…，Jn｝，工件在0时都已到达，且加工过程中中断不被允许。
工件J［j］的正常加工时间为P［j］，需要确定工件的加工顺序、划分、工期和资源分配量，极小化一个包含加权总误工数、工期分派、最大完工时间，和总资源消耗的费用函数。
即目标函数为以下形式：其中，Cj是工件Jj的完工时间是最大完工时间。
Uj 是工件Jj 的延误指示变量，即当Cj＞dj时，置Uj＝1；否则，置Uj＝0，dj≥0是工件Jj的工期。
αj是工件Jj的延误费用，非负参数α和β分别表示工期的单位费用和最大完工时间的费用。
工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题
工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题
任慧敏
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(038)001
【摘要】研究了工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题.机器具有与位置和工件都有关学习效应.同一个组的所有工件在机器上连续加工且每个组在加工之前都有一个组安装时间.工件有两种工期指派规则分别是FML-CON和FML-SLK.目标是确定所有组的加工顺序以及每个组内工件的加工顺序,再对每个工件指派最优工期使所有工件的工期指派费用,提前、延误费用以及总流程时间之和达到最小.本文分别对两种工期指派下的问题做了详细的分析,并给出多项式时间最优算法.另外,对一种具有特殊的学习效应模型的问题,给出O( nlog n)时间最优算法.【总页数】8页(P5-12)
【作者】任慧敏
【作者单位】曲阜师范大学管理学院,276826,山东省日照市
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题 [J], 任慧敏
2.同时具有学习和恶化效应的单机成组排序问题 [J], 杨士梅;闻振卫
3.具有学习效应的单机成组排序问题 [J], 石国春
4.具有共同窗口指派的单机成组排序问题 [J], 胡杨;于文汐;霍旭;赵妍楠;张斯雯;王怡丹;王吉波
5.具有共同窗口指派的单机成组排序问题 [J], 胡杨;于文汐;霍旭;赵妍楠;张斯雯;王怡丹;王吉波
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一类具有学习效应和安装时间的单机排序问题
总完 工 时 间 ， 小 化 最 大 延 误 和极 小 化 总 误 工 问题 在 某 些 条 件 下 具 有 也 极
多项式算 法。 关 键 词 ： 筹 学 ； 序 ； 机 ； 习效 应 ； 装 时 间 运 排 单 学 安 中 图分 类 号 ： ２ ３ ０ ２ 文章标识码 ： Ａ 文 章编 号 ： ０ —２ １ ２ １ ） ３ ０ ５ — ７ １ ７３２ （ ０Ｏ ０ —０ ３ ０ ０
ｌｍ，ｔｅｔｔｌ ｏ ｌｔ ｎ ｔ ｎｍｉａｉｎ ｐｏ ｌｍ ｎ ｈ ｕ ｆｔｅｑ ａ ｒｔ ｏ ｏ ｌｔ ｎｔ ｓｍｉｉ ｚ。 ｅ ｈ ｏａ ｍｐｅｉ ｉ ｍｉｉ ｚｌ ｒｂｅ ａ ｄｔｅｓ ｍ ｏ ｕ ｄ ａｉ ｊｂ ｃ ｍｐｅｉ ｉ ｎｍｉ ｃ ｏ ｍｅ ｏ ｈ ｃ ｏ ｍｅ ａ
ｔ ｎ ｐ ｏ ｌ ｍ ａ ｅ ｓ ｌ ｅ ｎ ｐ ｌｎ ｍｉ ｌｔｍｅ， ｒ ｓ ｅ ｔ ｅｙ Ｗ ｅ ａ ｓ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｔ ｔｌｗｅｇ ｔｄ ｃ ｍ ｐ ｅｉ ｎ ｉ ｒ ｂ ｅ ｃ ｎ ｂ ｏｖ ｄ ｉ ｏ ｙ ｏ ａ ｉ ｏ ｅ ｐ ｃｉ ｌ． ｖ ｌｏ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ａ ｉｈ ｅ ｏ ｌｔｏ ｔｍｅ ｍ ｉ ｉ ‘ａｉ ｎ ｒ ｂ ｅ ， ｔ ｅ ｉ ‘。 ｚ ｔｏ ｐ ｏ ｌ ｍ ｎ ｍｉ ‘ ｈ ｍａ ｉ ｕ ｘｍ ｍ ｌｔ ｎ ｓ ｉ ｍｉａ ｉｎ ｒ ｂ ｅ ａｅ ｅ ｓ ｍ ｎｉ ｚ ｔ ｐ ｏ ｌ ｍ ａ ｄ ｈ ｔｔ ｌ ａ ｄ ｎ ｓ ｍｉ ｉ ｚ ｔｏ ｏ ｎ ｔ ｅ ｏａ ｔｒ ｉ ｅ ｓ ｎ ｍｉａｉ ｎ
ｅａｉｎ ．Ｔ ｅａ ｔａ ｒｃ ｓｉｇｔ ｆａｊｂ ｄ ｐ ｎ ｓｎ ｔｏ ｌ ｏ ｈ ｒｃ ｓｉｇ ｔ ｓｏ ｈ ｏ ｓａｒａ ｙ ｐｏ ｒｔ ｓ ｈ ｃｕ ｌ ｏ ｅｓｎ ｉ ｏ ｏ ｅ ｅ ｄ ｏ ｎｙ ｎ ｔｅｐ ｏ ｅｓｎ ｉ ｆｔｅ ｊｂ ｌ ｄ ｒ－ ｏ ｐ ｍｅ ｍｅ ｅ
具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题
具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题任慧敏【摘要】This paper considers the problems of scheduling a single machine with position -dependent learning effects and CON/SLK due date assignment to minimize costs for due date assignment,earliness and penalties of tardy jobs. If the number of non- tardy jobs is fixed,the problems considered can be for- mulated as assignment problems. The assignment problem is solved in O（n3） time and different number of non- tardy jobs is at most n,so the problems can be solved in polynomial time and present optimal al- gorithms. Finally,basing on the scheduling deteriorating jobs with CON/SLK due date assignment,we consider the scheduling with learning effects simultaneously and present polynomial - time optimal algo- rithms to solve the problems.%探讨了工件具有CON／SLK交货期指派且机器具有与位置有关的学习效应目标为极小化交货期指派费用、无误工工件的提前费用以及误工工件的惩罚费用之和排序问题．所探讨的问题在无误工工件数确定的情况下可以转化为指派问题，由于误工工件数最多有n种可能且指派问题能在0（n^3）时间内解决，故排序问题是多项式时间可解的，并给出最优算法；在恶化工件具有CON／sLK交货期指派的基础上同时考虑了机器具有学习效应的排序，并给出了两种问题的多项式时间最优算法．【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2011(027)006【总页数】8页(P42-49)【关键词】排序;学习效应;交货期指派【作者】任慧敏【作者单位】曲阜师范大学管理学院,山东日照276826【正文语种】中文【中图分类】O2240 引言在经典的排序理论中，工件的加工时间通常是固定的常数，而在一些实际排序问题中，由于机器或工人反复加工相同或类似的工件，他们的操作越来越熟练，使得加工顺序中排在后面加工的工件的加工时间缩短，这类问题被称为具有学习效应的排序问题.学习效应在生产中的影响最早是由Wright［1］提出.Biskup［2］提出一种与位置有关的学习效应模型：pjr＝pjra，j，r＝1，…，n（其中a≤0为常数，是学习效应因子；pj和pjr分别为工件的基本加工时间和实际加工时间；r为工件的加工位置），并证明了目标为极小化共同交货期偏差和总完工时间的带学习效应的单机排序问题，是多项式时间可解的.在传统的排序模型中通常假设工件的交货期是给定的，而在实际的加工中，工件的交货期是可以通过制造商和客户协商来确定的，为了避免提前、延误惩罚以及失去顾客的可能性，制造商综合考虑自己的生产能力，选定合适的交货期.很多文献开始将交货期的指派作为排序的一部分，并且研究如何更好地提高系统的性能.最早研究交货期指派的是Panwalkar等［3］和Seidmann等［4］.Panwalkar等研究了所有工件必须指派相同的交货期的排序问题，Seidmann等则研究了每个工件可以指派不同的交货期的排序问题.Gordon等［5］给出了所有工件指派相同交货期的排序问题的一个综述.Shabtay和Steiner［6］研究了单机情况下两个交货期指派的排序问题，证明了一般问题为强NP－难的，并对几种特殊情形给出了多项式时间算法.Shabtay和Steiner［7］还研究了平行机上交货期可指派的排序问题，分析了大量问题的复杂性，并且给出了相应的算法.Gordon和Strusevich［8］研究了交货期可指派且工件加工时间与位置有关的单机排序问题，并给出两种交货期指派下对应问题的多项式时间动态规划算法.Li等［9］研究了交货期可指派且工件加工时间依赖于开工时间的单机排序问题，对所考虑的问题给出了多项式时间算法.本文考虑交货期可指派且机器具有学习效应的单机排序问题，目标为极小化交货期指派费用、提前费用和误工费用之和.由于在无误工工件个数确定的情况下，排序问题可以转化成指派问题，而指派问题是多项式时间可解的，本文证明两种交货期指派下的排序问题都是多项式时间可解的.在本文中指派问题可以理解为：有n个工件可以在机器的n个不同的位置上加工，机器不同位置加工同一个工件所用的时间不同；机器同一位置同一时刻只能加工一个工件，同一个工件同一时刻只能在机器的一个位置上加工；如何安排这n个工件的加工位置，使得总费用最小.而一般的指派问题能在O（n3）时间内最优地解决，故本文的指派问题也能在O（n3）时间内解决.1 问题描述有n个独立的、不可中断加工的工件J1，J2，…，Jn要在一台处理机上加工，所有工件在零时刻可得.机器具有与加工位置和工件都有关的学习效应，该学习效应模型为pj＝aj·rαj，其中aj和pj分别为工件Jj的基本加工时间和实际加工时间，r 为工件加工的位置，αj＜0为常数，是与工件Jj有关的学习因子.每个工件Jj（j＝1，2，…，n）有一个相应的交货期dj，由CON或SLK交货期指派方法确定.CON （common due date）：指所有的工件指派相同的交货期；SLK（equal slack）：指所有的工件有一个相同的等待时间q，工件的交货期等于工件的实际加工时间加上q.下面对于给定的排序π，给出本文中要用到的符号和表达式：pj＝aj·rαj：工件Jj在第r个位置加工的实际加工时间；d：CON交货期指派方法下所有工件具有的相同交货期，即dj＝d；q：SLK交货期指派方法下所有工件允许有相同的slk时间q，即每个工件的工期dj＝pj＋q；Cj：工件Jj的完工时间；Ej＝max｛0，dj－Cj｝：工件Jj的提前时间；E＝｛Jj：Cj≤dj｝：无误工工件的集合（包括提前和按时完工的工件）；T＝J＼E＝｛Jj：Cj＞dj｝：误工工件的集合；γj：工件Jj（Jj∈T）的误工惩罚费用；π（j）：排序π中第j个位置加工的工件；F：CON交货期指派方法下的总费用函数，其中，β＞0为常数，θj≥0是与位置有关的常数，表示单位提前费用；F（q，πSLK交货期指派方法下的总费用函数，其中，β＞0为常数，θj≥0是与位置有关的常数，表示单位提前费用.本文所考虑的问题是对所有的工件排序并指派最优的交货期，使得总费用F（d，π）（CON交货期指派）和F（q，π）（SLK交货期指派）分别达到最小.用经典的三元组表示法，所研究的排序问题可表示为和2 CON交货期指派考虑CON交货期指派下的排序问题（1），极小化目标函数对于目标为正则函数的排序，目标值随着工件完工时间的增大而增大，故机器在加工过程中不存在空闲.但由于目标（3）是非正则函数，所以由下面的引理证明了该问题中机器也不存在空闲.引理1 机器在加工过程中不存在空闲.证明（反证法）若否，对给定的最优序π，假设机器在Jj的完工时间Cj之后存在空闲时间Δ.分3种情形讨论：（ⅰ）d≤Cj，（ⅱ）Cj＜d＜Cj＋Δ，（ⅲ）d≥Cj ＋Δ.对这3种情形，都去掉空闲时间Δ，且对（ⅱ）令d′＝Cj，对（ⅲ）令d′＝d －Δ，分别构成3个新的排序π′.显然3种情形下排序π′的目标值均小于排序π的目标值，这与π为最优序矛盾.结论得证.引理2 问题（1）存在最优序，满足所有工件的交货期d等于E中某个工件的完工时间或d＝0.证明（反证法）若否，对给定的最优序σ，如果存在j（1≤j≤n－1）使得Cj＜d ＜Cj＋1，那么，令d＝Cj时，误工工件不变，但所有工件的交货期和不误工工件的提前时间都减少，故目标值减少，这与σ为最优序矛盾，故d为某个工件的完工时间，证毕.由引理1可知只需考虑机器不存在空闲的排序.对任何一个给定的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n）），如果无误工工件集E给定且｜E｜＝m，那么可以令所有工件的交货期d＝Cπ（m）.一般地，对于一个给定的排序π，可令m 和F（d，π，m）分别表示无误工工件数和相应的目标函数.引理3 若问题（1）的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n））确定，且m ＝｜E｜已知，那么目标函数（3）可表示为证明设π为任意给定的排序，由引理1和引理2，假设机器不存在空闲且所有工件的交货期对且由于，故证毕.定理1 如果无误工工件数确定，那么问题（1）可转化为一个指派问题.证明假设E中的工件数m（1≤m≤n）确定.无误工工件在机器的前m个位置上加工，误工工件以任意顺序在剩下的n－m个位置加工.由引理3，可定义为工件Jj（j＝1，2，…，n）指派到第r（r＝1，2，…，n）个位置上加工的排序费用.定义变量该排序问题可转化为如下的指派问题AP（m）：证毕.总结上面的分析得出问题的最优算法.算法1Step1：对m＝0，计算并令所有工件的交货期d＝0.Step2：对1≤m≤n，解指派问题AP（m），计算相应的目标值F（m），且令所有工件的交货期为第m个工件的完工时间.Step3：目标函数（1）的最优值为min｛F（m）：0≤m≤n｝.对应的排序和交货期分别是最优排序和最优交货期.定理2 算法1能在O（n4）时间内最优地解决问题（1）.证明算法1的正确性源于定理1的正确性.由于Step1能在O（n）时间内完成；Step2需要计算n个指派问题，且每个指派问题能在O（n3）时间内完成，因此算法1的时间复杂性为O（n4）.证毕3 SLK交货期指派现研究SLK交货期指派下的排序问题（2），每个工件的交货期为工件的实际加工时间加上相同的q.极小化目标下面给出问题（2）的最优性质.引理4 对问题（2）存在满足如下性质的最优序：（ⅰ）所有不误工工件在误工工件之前加工；（ⅱ）机器零时刻开始加工，直到最后一个工件加工完，中间不存在空闲.（ⅲ）只有E中最后一个工件是按时完工的工件，且q等于按时完工工件之前所有工件的实际加工时间之和.证明见Li等［9］引理4.1和Gordon等［8］引理2.由引理4只需考虑机器不存在空闲的排序.q依赖于按时完工之前的工件而与按时完工工件本身无关，且至少有一个工件是按时完工的，即｜E｜≥1.故对给定的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n）），如果E中工件数h（1≤h≤n）已知，那么工件Jπ（h）是按时完工的工件，且下面，对于给定的排序π，可令h和F（q，π，h）分别表示无误工工件数和相应的目标函数.引理5 对于问题（2），如果排序π给定，且h＝｜E｜（1≤h≤n）已知，那么目标函数（4）可表示为证明设π为任意给定的排序，由引理4可假设机器不存在空闲且所有工件的交货期对且由于故证毕.定理3 如果无误工工件数确定，那么问题（2）可转化为一个指派问题.证明假设E中的工件数h（1≤h≤n）确定.无误工工件在机器的前h个位置上加工，误工工件以任意顺序在剩下的n－h个位置加工.由引理5可定义为工件Jj（j＝1，2，…，n）指派到第r（r＝1，2，…，n）个位置上加工的排序费用.定义变量该排序问题可转化为如下的指派问题AP（h）：证毕.定理4 问题（2）能在O（n4）时间内最优地解决.证明当无误工工件数固定时，问题（2）可以转化为指派问题，而每个指派问题AP（h）（1≤h≤n）能在O（n3）时间内最优地解决.解这n个指派问题，并从中找出目标值最小的一个，对应的排序即为问题（2）的最优序，相应的可得到每个工件的最优交货期.故问题（2）能在O（n4）时间内最优地解决.证毕.4 同时考虑学习效应和恶化效应在Li等［9］的基础上，考虑机器具有学习效应，即同时考虑学习效应和恶化效应.工件Jj的实际加工时间pj＝（aj＋bt）·rα，其中aj为工件Jj的基本加工时间，t 为工件Jj的开工时刻，所有工件具有相同的恶化率b（b＞0），r为工件Jj加工的位置，α＜0为学习因子.所研究的问题用经典的三元组表示法，可表示为和那么第j个位置加工的工件的实际加工时间为：引理6 若问题（5）的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n））确定，且m ＝｜E｜已知，那么它的目标函数可表示为其中，而ωj，j＝1，2，…，n，可由引理6的表达式中的m增加到n即可.如果将ωj，j ＝1，2，…，n看作是位置j的权重，那么将所有工件按基本加工时间不减的顺序排在ωj（j＝1，2，…，n）不增的位置上加工，可使目标值（7）达到最小，而这个过程能在O（nlgn）时间内完成，故结论成立.证毕定理5 如果无误工工件数确定，那么问题（5）可转化为一个指派问题.证明过程类似于定理1，只是为位置r（r＝1，2，…，m）的权重，证明过程类似引理3.推论1 对于问题（5），如果所有的工件都不误工，那么能在O（nlgn）时间内找到最优序.证明在这种情形下，m＝n.由引理6目标函数可写为其中ωr，r＝1，2，…，m的值由引理6的表达式计算可得.下面给出问题（5）的最优算法.算法2Step1：对m＝0，计算并令所有工件的交货期d＝0.Step2：对1≤m≤n＋1，解指派问题AP（m），计算相应的目标值F（m），且令所有工件的交货期为第m个工件的完工时间.Step3：对m＝n，可由推论1得到最优序，且令d为最后一个工件的完工时间. Step4：目标函数（1）的最优值为min｛F（m）：0≤m≤n｝.对应的排序和交货期分别是最优排序和最优交货期.定理6 算法2能在O（n4）时间内最优地解决问题P3.证明算法2的正确性主要在于推论1和定理5的正确性.算法的Step1能在O（n）时间内完成；Step2需要计算n－1个指派问题，而每个指派问题能在O（n3）时间内完成，Step3能在O（nlgn）时间内完成，因此算法2的总的时间复杂性为O（n4）.证毕.引理7 对于问题P4，如果排序π给定，且h＝｜E｜（1≤h≤n）已知，那么其目标函数可表示为其中ωj，j＝1，2，…，n－1的表达式同引理7.如果将ωj，j＝1，2，…，n－1看作是位置j的权重，那么将剩余的n－1个工件按基本加工时间不减的顺序排在ωj（j＝1，2，…，n－1）不增的位置上加工，可使目标值（8）达到最小，而这个过程能在O（nlgn）时间内完成，而按时完工的工件有n个可能，故总的时间复杂性为O（n2lgn）.证毕定理7 如果无误工工件数确定，那么问题（6）可转化为一个指派问题.证明过程类似于定理3，只是其中ωj，j＝1，2，…，h－1与引理6中的表达形式一样，只是表达式中的ωj＝β＋jθ，j＝1，2，…，h－1.证明过程类似引理5，此处从略.推论2 对于问题（6），如果所有的工件都不误工，那么能在O（n2lgn）时间内找到最优序.证明在这种情形下h＝n，由引理4可将每个工件作为按时完工的工件，然后找剩下n－1个工件的最优序.由引理7，目标函数可表示为其中ωr，r＝1，2，…，h－1的值由引理6的表达式计算可得.当无误工工件数h（1≤h≤n－1）确定时，问题（6）可转化为一个指派问题.每个指派问题需要O（n3）时间求解，而h的可能的取值最多为n－1个，所以解这n －1个指派问题，得到目标函数（8）的n－1个最优值.当h＝n时，由推论2得到目标函数（8）的n个最优值.从所有的2n－1个目标值中找一个最小的，对应的排序即为问题（6）的最优序，相应的交货期为每个工件的最优交货期.整个过程最多需要O（n4）时间来完成，故有下面的定理成立.定理8 问题（6）能在O（n4）时间内最优地解决.5 结束语本文研究了交货期可指派且机器具有与工件和位置都有关的学习效应的单机排序问题，目标为极小化交货期指派费用、提前和误工惩罚费用.在两种交货期指派（CON／SLK）下，问题都是多项式时间可解的.在文献［9］研究的基础上考虑了机器具有学习效应，得到两种交货期指派下的问题仍然是多项式时间可解的.参考文献：［1］ Wright T P.Factors affecting the cost of airplanes［J］.Journal of Aeronautical Sciences，1936，3：122－128.［2］ Biskup D.Single－machine scheduling with learning considerations ［J］.European Journal of Operational Research，1999，115：173－178. ［3］ Panwalkar S S，Smith M L，Seidmann mon due date assignment to minimize total penalty for the one machine scheduling problem［J］.Operations Research，1982，30：391－399.［4］ Seidmann A，Panwalkar S S，Smith M L.Optimal assignment of due dates for a single processor scheduling problem［J］.International Journal of Production Research，1981，19：393－399.［5］ Gordon V S，Proth J M，Chu C B.A survey of the state－of－the－art of common due date assignment and scheduling research［J］.European Journal of Operational Research，2002，139：1－25.［6］ Shabtay D，Steiner G.Two due date assignment problems inscheduling a single machine［J］.Operations Research Letters，2005，34（6）：683－691.［7］ Shabtay D，Steiner G.Optimal due date assignment in multi－machine scheduling environments［J］.Journal of Scheduling，2008，11：217－228.［8］ Gordon V S，Strusevich V A.Single machine scheduling and due date assignment with positionally dependent processing times［J］.European Journal of Operational Research，2009，198：57－62.［9］ Li S S，Ng C T，Yuan J J.Scheduling deteriorating jobs with CON／SLK due date assignment on a single machine［J］.Int.J.Production Economics，2011，131：747－751.。
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王成飞 （９３ ）男 ， １８一 ， 山东临沂人 ， 曲阜师范大学运筹与管理学院博士研究生． 研究方 向： 运筹学与控制论．
第 ３期 把 ７ 中 ｒ ’ 和
王淑 青 ， ： 等 配送 时间有 学 习效应 的单机 排序 问题 的位置调换 ， 持其 他工件 的位 置不变 ， 保 把排 序方 案 ７变 成 仃 ． ｒ
第 ｌ 第 ３期 ３卷
２１ ０ ０年 ７月
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西安 文理 学院 学报 ： 自然科 学版
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ ３ １ １ ．
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｎＵ ｉ ｒｉ ｆ ｒ ｏ ｒａ ｏ Ｘ ’ ｎｖ ｓｙｏ ｔ Ｓ ｉ ｃ （ ａ Ｓ ｉ ｄ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ＆ ｃ ｎｅ Ｎ ｔ ｃ Ｅ ） ｅ
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就有 Ｂ‘ ｊ ， 样 的排序 只有两种 ： 一种 是 ｛ 由小 到 大排 序 ， ｝ 。≥曰‘ 这 第 Ａ｝ ｛ 由大到 小 排
序； 第二 种是 ｛ ｝ 由大 到小排序 ， ｝ ｛ 由小 到大排 序． 理得 证． 定 定 理 １ 定理 ２分别考 虑加 工时 间相 同配送 时间 不 同 、 和 配送 时 间 相 同加 工 时 间不 同 的配送 有 学 习
中 图分 类号 ：２ ３ ０ ２ 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
排 序论是 组合 优化 的一个 分支 ， 带配送 的排序 问题 是排序论 与供 应链管 理 的一座桥 梁． 我们 考虑这 样一种 排序 问题 ： ｎ个 工件要 在一 台机器 上加工 ， 有 记这 ／个 工件分别 为 ．， ， ， 机 器在 同一时刻 ７ ， ， … ．， 。 ， 只能加 工一个 工件 ， 加工过 程不 允许 中断 ， 个工件 完工后 都要 被配送 ， 每 这里假 设 配送 的工具足 够多 ， 使 得每个 工件在 完工后 能立 刻被 配送． 设 Ｐ＂ 假 ｉ 分别 为工件 的标准加 工时 间和标 准配送 时 间． ， ｑ 用 三 参数 ＯＩ ’表示 一个 排 序 问题 ， 中 Ｏ、 ｙ分 别 表 示 机器 环 境 、 件 特 性 、 ｌ ， Ｉ 其 ｌ 、 工 目标 函数． 比如 １ｐ ＝ ， ｉ Ｉ ｐ ｑ ＝ｑ ∑Ｄ 表示 单 台机 器 、 工 时 间都 等于 Ｐ 配送 时 间 为 ｑ ＝ｑｒ、 Ｉ ｒ 加 、 ｉ 目标 是 极 小 化 总 配送
完 成时 间．
１ 引理 与 两个 特 殊 问题
引理 １ 两个非负序列 ｛ ， 曰 都含 ｎ个数 ， Ａ｝ ｛ ｝ 记兀为序列 ｛ ｝ ｛ ｝ 个元 素配对方式的集合 ， 和 ｎ
即 ：Ｉ 仃Ｉ ｛ 和｛ 的一种配对方式 ｝对于问题吨ｎ １ ＝｛ 仃是 Ａ ｝ 曰 ｝ － ，
Ａ ＝啦 Ａ Ｉｎ
不妨 设最 优方案 为 ７， ｒ如果 ７不 是按 照 如上 排 序 ， 定 存 在 ＜ ， 得 ： ’ 且 Ｂ ’ ’ ｒ 一 使 Ａ ≤Ａ ≤Ｂ‘ 仃 或者 Ａ‘ ≥ ‘ 且 Ｂ‘ ≥ ‘ ， 明可 以调 整成如上 的排序 且保 持最优 ． ’ 证
收 稿 日期 ：０ ０ ２０ ２ １ － －６ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ ０７ ０６ ７ ９ １７ ）
作者简介 ： 王淑青（ ９ ５ ） 女 ， １７ 一 ， 山东临沂人 ， 曲阜 师范大学运 筹与管理学 院硕士研究 生 ； 山东沂蒙学 院数学 系讲
师．研究方 向： 组合最优化．
＿
１
因 是 值，＞ …＞ 据 理１ ｇ｝由 到 排 ｑｉｉ， Ｑ顺 是 为耋 定 １ ２＞ ｎ根 引 知｛ 按 小 大 序， ｔＩ即ＳＴ 序 ， Ｃ ． ／
摘
要 ： 出一种带有配送 时间的单机排序 问题 ， 提 配送时间具有 学习效应 ， 目标 为极小化 总配送完
成时间． 明了两个特殊 情形 下的最优序 ； 证 分析一般情形 下排序 问题 的性质 ， 由此 得到一致性 条件下 并 该问题 的最优序 ． 关键词 ： 配送时间 ； 学习效应 ； 单机 ；排序 问题
由大 到／｛序． Ｊｊ 、｝ 证明
’ ’其中 Ａ 和 Ｂ ’ Ｂ ， 。 分别表示
排序 仃下第 ｉ 配对 位置是 Ａ ’ 组 和 。 配对 ． ’ 存在 这样 的最优排 序方式 ７ ｛ 由小 到大排 序 ， ｝ ｒ Ａ｝ ： ｛ 假设 经过 重新 编号 ，Ａ ｝ ｛ 由小到 大排序 ，Ｂ ｝ ｛ 由大到小 排序 ， 要证 明 ：
Ｊ１ ０ ０ ｕ．２ １
文 章 编 号 ：０ ８５ ６ ２ １ ０ －０ ４０ １０ —５４（００）３０ ０ － ３
配 送 时 间有 学 习效 应 的单 机 排 序 问题
王淑 青 王成飞 一，
（． １ 曲阜师范大学 运筹 与管理 学院，山东 日照 ２ ６ ２ ； ７ ８６ ２ 山 东沂蒙学院 数 学系，山 东 临沂 ２ ６ １ ） ． ７０ ７
效 应 的排 序 问题． ’
定理 １ ｂ ０时 ，Ｑ ＜ Ｓ Ｔ顺 序是 问题 １ｐ ＝ ． ＝ ｉ Ｉ 的最优 序． ｐ ｑｒ ∑ ｔ
证明 设最优序是 ７ ： ， ２…， 则 Ｄ ｆ ／＋ ｒ ．。， ， ‘ ， ． ， ， ＝ｐ
， ＝∑ ＋∑ｑ ｉ ∑Ｄ ｉ