产销不平衡的运输问题运筹学
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产销不平衡的运输问题运筹学
50
B
14 13 19 15 60
C
19 20 23
50
最低需要 量
30
70
0
10
最高需要 量
50
70
30 不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 1”
2
3 4’ 4”
产量
16
16
13 22 17 17
50
14
14
13 19 15 15
60
19
19
20
23 M
M
50
M
0
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
解: 本题产量为25，销量为29，是销大于产问题
虚设一个产地 A3，由于并没有生产，所以运 价为零，得运输模型.
如果各销地不满足时，单位缺货费为 4，3，7，
则运输模型为
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
A2
15
638
bj
8 7 14
Bj Ai
6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发 生变化。
运输问题
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
韩伯棠管理运筹学第三版-第七章-运输问题分析ppt课件.ppt
B1 B2 B3 产量
A1 6 4 6
200
A2 6 5 5 销量 250 200 200
300 500
650 23
B1 B2 B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
销量 250 200 200
300 500
650
解：增
B1 B2 B3
加一个 A1 6 4 6
虚设的 A2 6 5 5
产地运 A3 0 0 0 输费用 销量 250 200 200
6
4 6 200
A2
6
5 5 300
销量 150 150 200
B1
B2
B3 产量
A1
x11
x12
x13 200
A2
x21
x22
x23 300
销量 150 150 200
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
§2
运输问题的计算机求解
运行管理运筹学计算机软件：
点击运输问题模块
14
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
§2
运输问题的计算机求解
点击新建
选择Min
输入3
输入4
点击确定
15
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
运筹学 第7章 运输问题
管 理 运 筹 学
6
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相 、 同，有关数据如下表：
A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货， 则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓 储费、维护费为0.2万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6 月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万 元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓 储、维护）最少？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
管
理
运
筹
学
5
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供 应能力分别为1500、4000吨，运价为：
管
理
运
筹
学
12
§3 运输问题的应用
三、转运问题： 转运问题： 在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 → 转运站、转 运站 → 销地、产地 → 产地、产地 → 销地、销地 → 转运站、销地 → 产 地等。 例8、腾飞电子仪器公司在大连和广州 有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产400台，广州分厂每月生产600 台。该公司在上海和天津有两个销售公 司负责对南京、济南、南昌、青岛四个 城市的仪器供应。另外因为大连距离青 岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接 供货，运输费用如图，单位是百元。问应该如何调运仪器， 可使总运输费用最低？图中 1- 广州、2 - 大连、 3 - 上海、4 - 天津、5 - 南京、6 - 济南、7 - 南昌、8 - 青岛
6
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相 、 同，有关数据如下表：
A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货， 则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓 储费、维护费为0.2万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6 月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万 元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓 储、维护）最少？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
管
理
运
筹
学
5
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供 应能力分别为1500、4000吨，运价为：
管
理
运
筹
学
12
§3 运输问题的应用
三、转运问题： 转运问题： 在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 → 转运站、转 运站 → 销地、产地 → 产地、产地 → 销地、销地 → 转运站、销地 → 产 地等。 例8、腾飞电子仪器公司在大连和广州 有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产400台，广州分厂每月生产600 台。该公司在上海和天津有两个销售公 司负责对南京、济南、南昌、青岛四个 城市的仪器供应。另外因为大连距离青 岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接 供货，运输费用如图，单位是百元。问应该如何调运仪器， 可使总运输费用最低？图中 1- 广州、2 - 大连、 3 - 上海、4 - 天津、5 - 南京、6 - 济南、7 - 南昌、8 - 青岛
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
第三节 产销不平衡的运输问题及其
B4 M 0 M M 0 5
产量 6 5 7 4 3
A1′ A1'' A2 A 3′ A 3'' 销量
管理工程学院
12
《运筹学》
13
例：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化 肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相 同，已知各化肥厂年产量，各地区年需要量 及各化肥厂到各地区单位化肥的运价表如表 所示，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
16 14 19 M 16 14 19 0 13 13 20 M
Ⅲ Ⅳ´ Ⅳ´´
22 19 23 0 17 15 M M 17 15 M 0
产 量 50 60 50 50
销量 30
20
70
30
10
50
管理工程学院
15
《运筹学》
16
例：设有A1、A2 、A3三个产地生产某种物资， 其产量分别为7、5、7t，B1、B2 、B3 、B4四 个销地需要该种物资，销量分别为2、3、4、 6t，各产销地之间单位运价见表。又知产地 的物资若有剩余，将发生存储费用，三个产 地单位物资的存储费用分别为2，2，1。试 决定总运费最少的调运方案。
管理工程学院
13
《运筹学》
14
需求地区 化肥厂
Ⅰ
16 14 19 30 50
Ⅱ
13 13 20 70 70
Ⅲ
22 19 23 0 30
Ⅳ
17 15 — 10 不限
产 量(万t)
A B C 最低需求(万t) 最高需求(万t)
50 60 50
管理工程学院
14
《运筹学》
15
销地 产地 A B C D
Ⅰ´ Ⅰ´´ Ⅱ
产销不平衡的运输问题
盐城师范学院运筹学期末论文题目: 产销不平衡的运输问题姓名: 许凯波二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 114 班学号: 11211434成绩评定:产销不平衡的运输问题在实际生产生活中，会经常碰到把某种东西从某地运到另一个地方，比如：把一批衣服从上海运到盐城，采用哪种运输方式更节约成本？这就是一个最简单运输问题。
解决运输问题，找到其最优方案有很大使用价值或者说可以带来很大的经济利益。
下面主要看一类运输问题：产销不平衡的运输问题。
所谓产销不平衡的运输问题是指：某种物品有m 个地点生产，n 个地点需要，物品从不同的产地运往不同的需要地运费也不相同，其次该物品的总产量与总的需要量也不正好相等。
如何分配才能既满足需要又使成本最少，即最优分配方案。
解决该问题主要有以下几步：1.初始方案的给定最小元素法：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价处开始确定供需关系，依次类推，一直到给出全部方案为止。
下面将以具体的例子来进一步说明此方法。
2.最优性检验与方案的调整位势法:首先将最小元素法确定的初始调运方案表有数字格的地方换上单位运价表中对应格的运价；然后在得到的新表格的右面和下面增加一行和一列，并填上一些数字，使表中各个数刚好等于他所在行和列的这些新填数字之和。
通常用iu （i =1，2，…）和iv （j =1,2，…）来代表这些新填的数字。
iu 和iv 分别称为第i 行和第j 列的位势。
任一空格的检验数为：גij =)(ijij ij v u c +-如果表中出现有负的检验数时，对方案进行调整，用闭合回路法，下面将以具体例子作详细说明。
例.已知运输问题的产销地的供需量与单位运价表如下图，求出最优解。
表1B1B2B3B4产量产地销地A18 4 1 2 7A2 6 9 4 7 25A3 5 3 4 3 26销量10 10 20 15〖解〗产地总产量为58，销地总销量为55,这是一个产大于销的运输问题。
运筹学 第11讲-运输问题(产销不平衡运输问题)
销地
产地
B1
A1
3
A2
4
A3
2
销量
4
表 3-26
B2
B3
1
3
6
2
8
5
8
6
B4
产量
0
5
0
6
0
8
1
利用表上作业法求解，结果如下：
销地 加工厂
表 3-27
B1
B2
B3
B4 产量
A1
4
1
5
A2
0
6
6
A3
44
8
销量
48
6
1
表 3-29
销地
加工厂
B1
B2
B3
B4
ui
A1
8
4
10
1
0
A2
0
-4
6
-9
9
A3
4
4
5
-7
7
vi
-5
1
-7
0
销地
产地
B1
A1
3
A2
4
A3
2
销地
加工厂
B1
A1
8
A2
9
A3
4
vi
-5
表 3-28
B2
B3
B4
1
3
0
6
2
0
8
5
0
表 3-30
B2
B3
B4
ui
4
1
1
0
5
6
0
0
4
-4
-7
7
《运筹学教学资料》运筹学第3章第3节[2014]
![《运筹学教学资料》运筹学第3章第3节[2014]](https://img.taocdn.com/s3/m/eec739652b160b4e767fcfc4.png)
min Z cij xij
i 1 j 1 m n
不平衡的运输问题
n 1 i 1, 2, , m xij ai j 1 m j 1, 2, , n 1 xij b j i 1 xij 0, i 1, 2, m；j 1, 2,
运 筹 学
销地 产地 A B C D 销量 Ⅰ ' Ⅰ '' Ⅱ Ⅲ Ⅳ' Ⅳ' ' 产量 17 15 M 0 50 50 60 50 50
不平衡的运输问题
16 16 13 22 17 14 14 13 19 15 19 19 20 23 M M 0 M 0 M 30 20 70 30 10
销地 Ⅰ 产地 A 16
14 B
19 C 30 D 50 销量
利用表上作 业法可以求 得上述问题 的最优方案。
电厂 煤矿 A
Ⅱ Ⅰ ' Ⅰ '' 13
产量 Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ' Ⅳ' ' 产量
50 22
19 20
0
17
50 50
50 50 50
B
C 最低需要量 最高需求量
13
70
15 10
-
3060 60 20 50
20 20 23 30 0
-9China University of Mining and Technology
运 筹 学
供不应求运输问题运价表：
B1 A1 A2 … Am Am+1 销量 c11 c21 … cm1 M b1 B2 c12 c22 … cm2 M b2
n
不平衡的运输问题
… … … … … … …
i 1 j 1 m n
不平衡的运输问题
n 1 i 1, 2, , m xij ai j 1 m j 1, 2, , n 1 xij b j i 1 xij 0, i 1, 2, m；j 1, 2,
运 筹 学
销地 产地 A B C D 销量 Ⅰ ' Ⅰ '' Ⅱ Ⅲ Ⅳ' Ⅳ' ' 产量 17 15 M 0 50 50 60 50 50
不平衡的运输问题
16 16 13 22 17 14 14 13 19 15 19 19 20 23 M M 0 M 0 M 30 20 70 30 10
销地 Ⅰ 产地 A 16
14 B
19 C 30 D 50 销量
利用表上作 业法可以求 得上述问题 的最优方案。
电厂 煤矿 A
Ⅱ Ⅰ ' Ⅰ '' 13
产量 Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ' Ⅳ' ' 产量
50 22
19 20
0
17
50 50
50 50 50
B
C 最低需要量 最高需求量
13
70
15 10
-
3060 60 20 50
20 20 23 30 0
-9China University of Mining and Technology
运 筹 学
供不应求运输问题运价表：
B1 A1 A2 … Am Am+1 销量 c11 c21 … cm1 M b1 B2 c12 c22 … cm2 M b2
n
不平衡的运输问题
… … … … … … …
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表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
运输问题
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
产大于销
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从 产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由 于实际并不运送，它们的运费为
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n, n 1
i 1
xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n, n 1
运输问题
注决最意策后：变一用量列最x的小ij 表零元示运素由价法最求A后i初到考始B虑调i 的。运物方品案数时量，。
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B2（12+2B ）103 4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
运筹学--产销不 平衡运输问题
1 运输问题 2 运输问题的表上作业法 3 运输问题的进一步讨论
产销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij 0, 此时的解为最优解。
z 8 2 145 12 4 411 29 8 6 244 246 2
B1 B2 Bn Bn1 产量
A x x c11
c12
1 11 12
x x a c1n
0
1n 1n1 1
A x x c21
c22
2 21 22
x x a c2n
0
2n 2n1 2
A x x cm1
cm 2
m m1 m2
b 销量 1 b2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
பைடு நூலகம்
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1
bj
ai
j 1
i 1
仿照上述类似处理。
销量
8
0
140
12 14 48
10 0
60
运输问题
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2 A3
销量
82
10
3 2 9 10
8 14 5 11 用8最小6 元2素2法
求出的目标函
8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z ，12伏格4 尔4法1得1出8的 2 初始解 2的质9 量1最4 好5， 8常用6 来2作44 为运输问题最优解的近似解。
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
运输问题
表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解 表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数 计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解 检验是否所有检验数非负
运输问题
？是
最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
运输问题
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从 产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡 的问题。
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
运输问题
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
产大于销
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从 产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由 于实际并不运送，它们的运费为
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n, n 1
i 1
xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n, n 1
运输问题
注决最意策后：变一用量列最x的小ij 表零元示运素由价法最求A后i初到考始B虑调i 的。运物方品案数时量，。
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B2（12+2B ）103 4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
运筹学--产销不 平衡运输问题
1 运输问题 2 运输问题的表上作业法 3 运输问题的进一步讨论
产销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij 0, 此时的解为最优解。
z 8 2 145 12 4 411 29 8 6 244 246 2
B1 B2 Bn Bn1 产量
A x x c11
c12
1 11 12
x x a c1n
0
1n 1n1 1
A x x c21
c22
2 21 22
x x a c2n
0
2n 2n1 2
A x x cm1
cm 2
m m1 m2
b 销量 1 b2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
பைடு நூலகம்
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1
bj
ai
j 1
i 1
仿照上述类似处理。
销量
8
0
140
12 14 48
10 0
60
运输问题
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2 A3
销量
82
10
3 2 9 10
8 14 5 11 用8最小6 元2素2法
求出的目标函
8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z ，12伏格4 尔4法1得1出8的 2 初始解 2的质9 量1最4 好5， 8常用6 来2作44 为运输问题最优解的近似解。
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
运输问题
表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解 表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数 计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解 检验是否所有检验数非负
运输问题
？是
最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
运输问题
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从 产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡 的问题。
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产