学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习函数的单调性与导数新人教A版选修

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高中数学课时分层作业5函数的单调性与导数新人教A版选修22

课时分层作业(五) 函数的单调性与导数(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图136是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )图136A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]2．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )【导学号：31062041】A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)B[因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)B[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.]4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x e2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －xB [显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1(x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，故选B.]5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )【导学号：31062042】A B C DD [对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )＜0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )＞0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．]二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________.[解析] 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________.【导学号：31062043】[解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2) 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． [解析] f ′(x )＝2a －1x ＋2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12三、解答题9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． [解] f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x.(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x，所以f ′(x )＝4e ，f (1)＝e.所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x. 令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的指区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图137，f (x )＝6ln x ＋h (x )．图137(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.【导学号：31062044】[解] (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x＋2x －8 ＝x －x －x(x ＞0)．∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52. [能力提升练]1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.]2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )【导学号：31062045】A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) C [因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x.又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f x g x 在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f a g a >f x g x >f bg b，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.]3．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．[解析] 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.[答案] (0，＋∞)4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．[解析] 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，325．(1)已知函数f (x )＝ax e kx－1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；(2)已知函数f (x )＝x ＋a x－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间.【导学号：31062046】[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx－1， ∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx，g ′(x )＝1x＋k .∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数，则∀x ＞1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1x，∴k ≤－1.∵g (x )在(0,1)上为增函数，则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1x，∴k ≥－1. 综上所述，k ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －ax 2.①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时，得x 2－2x －a ≥0，则f ′(x )≥0.∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1时，令f ′(x )＝0，得x 2－2x －a ＝0，解得x 1＝1－1＋a ，x 2＝1＋1＋a ＞0. (ⅰ)若－1＜a ≤0，则x 1＝1－1＋a ≥0， ∵x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0,1－1＋a )，(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增，在(1－1＋a ，1＋1＋a )上单调递减．(ⅱ)若a ＞0，则x 1＜0，当x ∈(0,1＋1＋a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减，在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增.。

高中数学课时作业7函数的单调性与导数新人教A版选修2_2

课时作业7 函数的单调性与导数(2)知识点一已知函数单调性求参数的值或取值范围1.函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)答案 B解析 ∵f (x )＝x 3＋ax －2，∴f ′(x )＝3x 2＋a . ∵由已知，f ′(x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥－3x 2在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥－3.2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝__________，c ＝__________.答案－32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，因此b ＝－32，c ＝－6.3．已知f (x )＝2ax －1x2，若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立，而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.4．已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a ＞0，解得a ≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增.知识点二构造函数解不等式5.若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e af (0)的大小关系为( )A ．f (a )<e af (0) B ．f (a )>e af (0) C ．f (a )＝e a f (0) D ．不能确定答案 B 解析令F (x )＝f (x )ex，则F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )ex>0，从而F (x )＝f (x )ex在R 上单调递增，于是当a >0时，F (a )＝f (a )ea>F (0)＝f (0)e＝f (0)，即f (a )>e af (0)．6．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e xf (x )>e x＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1} 答案 A解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x－1，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数．又g (0)＝e 0f (0)－e 0－1＝0，所以e x f (x )>e x＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}. 知识点三含参数的函数的单调区间7.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，求b ，c 的值； (2)已知f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1≤x ≤2是不等式3x 2＋2bx ＋c ≤0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，－1×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程3ax 2＋1＝0有两个不相等实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝02－4×3a ×1>0，∴a <0，即实数a 的取值范围为a <0.一、选择题1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)．令x －9x ≤0，解得0＜x ≤3，即函数f (x )在(0,3]上是减函数，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0.又f ′(x )>2，∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.5．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D 解析令F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )为奇函数， F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).∵当x <0时，F ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)内为增函数．又F (3)＝f (3)g (3)＝0，∴F (－3)＝0. ∴当x <－3时，F (x )<0；当－3<x <0时，F (x )>0.又F (x )为奇函数，∴当0<x <3时，F (x )<0；当x >3时，F (x )>0. 而不等式f (x )g (x )<0和f (x )g (x )<0为同解不等式(g (x )恒不为0)， ∴不等式f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．二、填空题6．函数f (x )＝x ln (ax )(a <0)的递减区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e ，0 解析 ∵f (x )＝x ln (ax )(a <0)， ∴f ′(x )＝x ′ln (ax )＋x [ln (ax )]′ ＝ln (ax )＋x ·1x＝ln (ax )＋1.令f ′(x )<0，得ln (ax )<－1， ∴ax <1e ，又∵a <0，∴x >1a e ，且原函数定义域为(－∞，0)， ∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1a e ，0.7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知π3<x 0≤π2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以－π2≤x 0<－π3也满足条件． 8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－1 1 －x x ＋m的单调减区间是(0,2)，则实数m ＝________. 答案－3解析由题意可知f (x )＝(x 2－1)(x ＋m )－1×(－x )＝x 3＋mx 2－x －m ＋x ＝x 3＋mx 2－m .∴f ′(x )＝3x 2＋2mx ，∵函数f (x )的单调减区间是(0,2)，∴－2m3＝2，解得m ＝－3.三、解答题9．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解解法一：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7.综上，实数a 的取值范围为[5,7]．解法二：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，依题意，得f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，且f ′(x )≥0在[6，＋∞)上恒成立，即a －1≥x 在[1,4]上恒成立，且a －1≤x 在[6，＋∞)上恒成立，解得5≤a ≤7.故所求实数a 的取值范围为[5,7]．10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1，所以a >－1. (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)．所以a ≥－716.。

人教A版高中数学选修高二新课程函数的单调性与导数教案新

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+ 当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。

高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修22

第四页，共44页。
自主预习学案
第五页，共44解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过 (chāoguò)三次的多项式函数的单调区间．
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重点(zhòngdiǎn)：利用导数判断函数的单调性．难点：探索发现函数的导数与单调性的关系．
(1)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函
数，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝
1 3
x3－
1 2
ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调
递减，在(6，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[答案(dáàn)] (1)a≤－3 (2)5≤a≤7
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已知函数的单调(dāndiào)性，确定参数的取值范围设函数f(x)＝ax－ax－2lnx. 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围． [分析] f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，即f ′(x)≥0在 (0，＋∞)上恒成立(chénglì)，分离参数转化为求函数值域或数形结合都可以求解．
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新知导学 3．我们注意到若f(x)＝2x，g(x)＝3x，则f ′(x)＝2、g′(x)＝3 有f ′(x)＜g′(x)，从图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x) 增长的快得多．分析图形我们发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某点附近变化的快慢 (kuàimàn) 程度，导数绝对值越大，函数增长(f ′(x)＞0)或减少(f ′(x)＜0)的越快．
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[解析] 若f(x)在定义域上是增函数，则 f ′(x)≥0对x>0恒成立， ∵f ′(x)＝a＋xa2－2x＝ax2－x22x＋a，x>0， ∴ax2－2x＋a≥0恒成立，即a≥x22＋x 1对x>0恒成立， ∵x22＋x 1＝x＋2 1x≤1，当且仅当x＝1时取等号， ∴a≥1.

高中数学课时练习5函数的单调性与导数课件新人教A版选修22

4．函数 f(x)的导函数 f′(x)满足 f′(x)>f(x)在 R 上恒成立，且 f(1)＝e，则下列判断一定
正确的是( )
A．f(0)<1
B. f(－1)<f(0)
C. f(0)>0
D. f(－1)>0
f（x）【解析】选 A.令函数 F(x)＝ ex ，
f′（x）－f（x）
则 F′(x)＝
【解析】f′(x)＝1－23 cos 2x＋a cos x≥0 对 x∈R 恒成立，故 1－23 (2cos2x－1)＋a cosx≥0，即 a cos x－34 cos2x＋53 ≥0 恒成立，设 t＝cosx，t∈[－1，1]，则－34 t2＋at＋35 ≥0 对 t∈[－1，1]恒成立，构造 f(t)＝－43 t2＋at＋53 ，
2．若 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则( ) A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac≤0 【解析】选 D.由 f(x)为增函数，知 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0. 所以 Δ＝4b2－12ac≤0. 即 b2－3ac≤0.
3．函数 f(x) ＝sin 2x＋2cos x(0≤x≤π) ，则 f(x) ( )
开口向下的二次函数 f(t)的最小值的可能值为端点值，
f（－1）＝31－a≥0，故只需保证f（1）＝13＋a≥0，
解得－13
1 ≤a≤3
.
答案：－13，13
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．已知函数 f(x)＝31 x3－ax2＋1. (1)若函数 y＝f(x)－1 是奇函数，直接写出 a 的值；
10．已知函数 f(x)＝x3＋ax2－1(x∈R). (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)在点(1，1)处的切线方程．【解析】(1)因为 f′(x)＝3x2＋2ax，所以当 a＝1 时，f(x)＝x3＋x2－1，点(1，1)在 f(x) 上，f′(1)＝3＋2＝5，所以 y－1＝5(x－1)，即 5x－y－4＝0，所以函数 f(x)在点(1， 1)处的切线方程为 5x－y－4＝0.

2021年高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课后习题新人教A版选修2-2

2021年高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升1.函数y=x2-ln x的单调减区间是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)解析:函数y=x2-ln x的定义域为(0,+∞),y'=x-,令y'<0,则可得0<x<1.答案:B2.若函数f(x)=x e x,当x1<x2<-1时,则()A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)<f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)f(x2)<0解析:∵f'(x)=e x+x e x=e x(x+1),当x<-1时,有x+1<0.∴f'(x)=e x(x+1)<0.∴f(x)在(-∞,-1)上为递减函数.∵x1<x2<-1,∴f(x2)<f(x1)<0.答案:A3.已知函数f(x)=x3-ax-1,若f(x)在(-1,1)上单调递减,则a的取值范围为()A.a≤3B.a<3C.a>3D.a≥3解析:∵f'(x)=3x2-a,由已知f'(x)≤0在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x2在(-1,1)上恒成立.又∵0≤3x2<3,∴a≥3.检验可得a=3符合题意.答案:D4.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析:由y=f(x)图象可知,x<0时,f(x)是增函数,f'(x)>0;x>0时,函数图象先增后减再增,其对应的导数是,先有f'(x)>0,再有f'(x)<0,最后f'(x)>0,因此D符合条件.答案:D5.函数f(x)=(x2-2x)e x的单调递增区间为.解析:f(x)的定义域为R,f'(x)=(x2-2x)'e x+(x2-2x)·(e x)'=(2x-2)e x+(x2-2x)e x=(x2-2)e x.令f'(x)>0,解得x<-或x>,所以f(x)的递增区间为(-∞,-),(,+∞).答案:(-∞,-),(,+∞)6.若函数f(x)=x3+ax+5的单调递减区间是(-2,2),则实数a的值为.解析:f'(x)=3x2+a,依题意3x2+a<0的解集为(-2,2),故a=-12.答案:-127.求下列函数的单调增区间:(1)f(x)=ln(2x+3)+x2;(2)f(x)=e x-ax.解:(1)函数f(x)=ln(2x+3)+x2的定义域为.f'(x)=+2x=.令f'(x)>0,解得-<x<-1或x>-.所以函数的单调递增区间为.(2)因为f(x)=e x-ax,所以函数的定义域为R,f'(x)=e x-a.因为e x>0,所以当a≤0时,有f'(x)>0在R上恒成立;当a>0时,由f'(x)>0得e x>a,即x>ln a.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(ln a,+∞).8.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范围.解:f'(x)=2x-.要使f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,则f'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,即≥0在x∈[2,+∞)上恒成立.∵x2>0,∴2x3-a≥0.∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.∴a小于2x3在定义域内的最小值.∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,∴y=2x3在定义域内的最小值为16,∴a≤16.当a=16时,f'(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f'(2)=0,∴a的取值范围是a≤16.B组1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则()A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤解析:f'(x)=3ax2-1.∵f(x)在R上为减函数,∴f'(x)≤0在R上恒成立.∴a≤0,经检验a=0符合题意.答案:A2.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>g'(x),则当a<x<b时,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)解析:∵f'(x)-g'(x)>0,∴(f(x)-g(x))'>0,∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x<b时f(x)-g(x)>f(a)-g(a),∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).答案:C3.已知函数f(x)=在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围为.解析:f'(x)=,由题意得f'(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,所以解不等式得a≤,但当a=时,f'(x)=0恒成立,不合题意,应舍去,所以a的取值范围是.答案:4.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是.解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),又f'(x)=4x-,由f'(x)=0,得x=.据题意,解得1≤k<.答案:5.求证:当x>1时,x>ln(1+x).证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x>1),则f'(x)=1-.∵当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴当x>1时,f(x)=x-ln(1+x)>f(1)=1-ln 2>1-ln e=0,∴f(x)>0,即x>ln(1+x)(x>1).6.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,求a的取值范围.解:由f(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=-ax-2.因为f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>有解.设G(x)=,所以只要a>G(x)min即可.而G(x)=-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞).7.已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行.(1)用关于m的代数式表示n;(2)求函数f(x)的单调增区间.解:(1)由已知条件得f'(x)=3mx2+2nx,又f'(2)=0,∴3m+n=0,故n=-3m.(2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2,∴f'(x)=3mx2-6mx.令f'(x)>0,即3mx2-6mx>0,当m>0时,解得x<0或x>2,则函数f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞);当m<0时,解得0<x<2,则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m>0时,函数f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞);当m<0时,函数f(x)的单调增区间是(0,2).ZN37952 9440 鑀33209 81B9 膹23833 5D19 崙+37228 916C 酬2 % 29637 73C5 珅33487 82CF 苏h25981 657D 敽。

人教A版数学高二选修1-1课时3.3.1函数的单调性与导数

课时达标训练（十七）[即时达标对点练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3 2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－35．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <126．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫－13，1，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32 4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．答案即时达标对点练1. 解析：选Cf ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2. 解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3. 解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③4. 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5. 解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6. 解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7. 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3.8. 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．能力提升综合练1. 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内递减，在⎝⎛⎭⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内． 2. 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3. 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4. 解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，排除A.取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5. 解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或2 6. 解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127. 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点．解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ；在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。

人教新课标版数学高二-A版选修2-2课时作业 1-3-1函数的单调性与导数

课时作业(七)一、选择题1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值答案 A2．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调递减区间是( ) A ．(15，＋∞) B ．(－∞，15) C ．(－15，＋∞) D ．(－∞，－15)答案 B3．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，1)上是增函数 D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，1)上是减函数答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(0)<0；当1e <x <1时，f ′(x )>0.4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－12)答案 B解析 y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，得8x －1x 2＞0，即x 3＞18， ∴x ＞12.5．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33.∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a ·(x 3－x )的递减区间为(－33，33)． ∴a ＞0. 6.已知f ′(x )是f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的图像只可能是( )答案 D解析从y ＝f ′(x )的图像可以看出，在区间(a ，a ＋b2)内，导数值递增；在区(a ＋b 2，b )内，导数值递减，即函数f (x )的图像在(a ，a ＋b2)内越来越陡峭，在(a ＋b2，b )内越来越平缓．7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝e x (x －2)，由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数．二、填空题8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.9．若函数f (x )＝x －p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 f ′(x )＝1＋px 2≥0对x >1恒成立，即x 2＋p ≥0对x >1恒成立，∴p ≥－x 2(x >1)．∴p ≥－1.10．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.11．f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a ∈________.答案 [－1,1]解析 y ′＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2，∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴y ′在(－1,1)上大于等于0，即2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0. ∵(x 2＋2)2＞0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈(－1,1)恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎨⎧g (－1)≤0g (1)≤0，即⎩⎨⎧1＋a －2≤01－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x －1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，又f (x )在R 上递减， ∴f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立．即3ax 2＋6x －1≤0对x ∈R 恒成立，显然a ≠0.∴⎩⎨⎧3a ＜0Δ＝36＋12a ≤0，∴a ≤－3.即a 的取值范围为(－∞，－3]．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数 f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2，要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x >0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16. 当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0. ∴a 的取值范围是a ≤16.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．解析 (1)对f (x )求导，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝3x (x ＋23a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0恒成立． ∴f (x )的递增区间是(－∞，＋∞)；②当a >0时，由于f ′(x )分别在(－∞，－23α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f (x )的递增区间是(－∞，－23a )，(0，＋∞)；由于f ′(x )在(－23a,0)上恒为负，所以f (x )的递减区间是(－23a,0)；③当a <0时，在x ∈(－∞，0)和x ∈(－23a ，＋∞)上均有f ′(x )>0，∴f (x )的递增区间是(－∞，0)，(－23a ，＋∞)；在(0，－23a )上，f ′(x )<0，f (x )的递减区间是(0，－23a )．(2)由(1)知，(－23，－13)⊆(－23a,0)， ∴－23a ≤－23.∴a ≥1.15．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．分析本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．解析 ∵f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．而当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0；当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. ∴a 的取值范围是[5,7]．16．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a2x 在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析因为f (x )＝x －a x ＋a 2，所以f ′(x )＝1＋a x 2. 又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[1，＋∞)时，恒有f ′(x )＝1＋ax 2≥0，即a ≥－x 2，x ∈[1，＋∞)．所以a ≥－1. 故所求a 的取值范围是[－1，＋∞)．17．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝0. (1)试用含a 代数式表示b ； (2)求f (x )的单调区间．分析可先求f ′(x )，再由f ′(－1)＝0，可得用含a 的代数式表示b ，这时f (x )中只含一个参数a ，然后令f ′(x )＝0，求得两根，通过列表，求得f (x )的单调区间，并注意分类讨论．解析 (1)依题意，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b .由f ′(－1)＝0，得1－2a ＋b ＝0.∴b ＝2a －1. (2)由(1)，得f (x )＝13x 3＋ax 2＋(2a －1)x .故f ′(x )＝x 2＋2ax ＋2a －1＝(x ＋1)(x ＋2a －1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1－2a . ①当a >1时，1－2a <－1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：由此得，函数f (x )的单调增区间为(－∞，1－2a )和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a ，－1)．②当a ＝1时，1－2a ＝－1，此时f ′(x )≥0恒成立，且仅在x ＝－1处f ′(x )＝0，故函数f (x )的单调增区间为R .③当a <1时，1－2a >－1，同理可得函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a )．综上：当a >1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，1－2a )和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a ，－1)；当a ＝1时，函数f (x )的单调增区间为R ；当a <1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a )．►重点班·选做题18．设函数f (x )＝1x ln x (x >0且x ≠1)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知2 1x>x a 对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x . 若f ′(x )＝0，则x ＝1e .当f ′(x )>0，即0<x <1e 时，f (x )为增函数；当f ′(x )<0，即1e <x <1或x >1时，f (x )为减函数．所以f (x )的单调增区间为(0，1e )，单调减区间为[1e ，1)和(1，＋∞)． (2)在2 1x >x a 两边取对数，得1x ln2>a ln x . 由于0<x <1，所以a ln2>1x ln x .①由(1)的结果知：当x ∈(0,1)时，f (x )≤f (1e )＝－e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当aln2>－e ，即a >－eln2.。

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学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习函数的单调性与导数新人教A版选修文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)[答案] B[解析] 令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )[答案] C[解析] 当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π [答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 6．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数 [答案] B[解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( ) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a<b，则必有( )A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)[答案] C[解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－f(x)x，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)[答案] C[解析] 由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为( ) [答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案] b<－1或b>2[解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案] a≥1[解析] 由已知a＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋ln xx，则g′(x)＝－ln xx2＜0 (x＞1)，∴g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋ln xx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1)[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．14．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.三、解答题15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．16．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0.[证明] 设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x ＞0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0.17．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－bx的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b3a＜x ＜0.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ，0时，函数为增函数．令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a，或x ＞0. ∴在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2b 3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数．18．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．[解析] (1)a＝12时，f(x)＝x(e x－1)－12x2，f′(x)＝e x－1＋xe x－x＝(e x－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)．令g(x)＝e x－1－ax，则g′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．。