1_第5章 刚体力学基础2
刚体力学基础
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
第二章 刚体静力学基本概念与理论(5学时)
合力偶定理: M=Mi
§2-3 约束与约束反力
一、概念 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。
（这里，约束是名词，而不是动词的约束。） 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。
主动力：促使物体运动或有运动趋势的力，在理论力学 中它作为已知条件给出
在第三象限，如图所示。
§ 2.2力偶
如图所示，用手扳螺母时，作用在扳手上的两个力使扳 手绕O点作转动
力偶：作用在同一平面内，大小 相等、方向相反、作用线 相互平行的两个力。
作用效应
使刚体的转动状态发生改变
力偶(F,F’)两个力所在平面称力偶作用面. 两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂.
力偶矩 m Fd
物体受到的约束力只能沿光滑支撑面的法线方向， 并通过铰链中心。
5. 固定端约束
Fx
m
Fy
FAy
空间 A
FAz
FAx
球铰
FAy
FBy
FAz
A FAx FBz
一对轴承
FAy My
Mz B FAz
A Mx
固定端
§2-4 物体的受力分析和受力图
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选
y
F1 F
y F1 F
y
Fy
F
Fy
F2
F2 F2
o
Fx x
Fy O Fx
x
O F1
Fx x
讨论：力的投影与分力
力F在垂直坐标轴x、y上的投影分量与沿轴分解的 分力大小相等。
力F在相互不垂直的轴x、y上的投影分量与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
吴百诗,大学物理习题解析答案1,2,3,4目录
吴百诗，《大学物理(下册)(第3次修订本B)》荣获国家教委优秀教材一等奖
大学物理习题解析答案2_西安交通大学出版社_吴百诗
文件（一）页码顺序P.1，10；P.100～109；P.11，P.110~119；P.12；P.120~129；P.13；P.130~139；P.14；P.140~149; P.15；P150~159；P.16；P.160~169；P.17。
第2章牛顿运动定律习题
第3章功和能习题（文件四）
第4章冲量和动量习题（文件四）
第5章刚体力学基础动量矩习题（文件四）
第6章机械振动基础习题第11章（文件二）
第7章机械波习题第12章（文件二）
第8章热力学习题第9章（文件二）
第9章气体动理论习题第10章（文件二）
《大学物理(下册)(第3次修订本B)》。
第10章静电场习题第6章（文件一、四）
第11章恒定电流的磁场习题第7章（文件一）
第12章电磁感应与电磁场习题第8章（文件一）
第13章波动光学基础习题（文件三）
第14章狭义相对论力学基础习题（文件三）
第15章量子物理基础习题（文件三）
第16章原子核物理和粒子物理简介习题（文件三）
第17章固体物理简介激光习题（文件三）。
第1章-刚体转动动力学基础
cos cos n Cb sin sin cos cos sin -cos sin cos sin sin
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
-sin cos cos cos
2013-7-17 10
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述 选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。 依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。
两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第 一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。
2013-7-17 11
cos( zb , xn ) c32 cos( zb , yn ) c33 cos( zb , zn )
yb c21 cos( yb , xn ) c22 cos( yb , yn ) c23 cos( yb , zn )
zb c
2013-7-17
31
确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3 的矩阵），可以确定刚体的角位置。
20
§1.2 常用参考坐标系
三 地理坐标系 1. 地固地理坐标系
坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固 结，东北天指向。
(ie ) xn 0 n n ωin ωie (ie ) yn ie cos (ie ) zn ie sin
2013-7-17
V ωe cos sin K Re ωe cos cos K V sin K ωe sin tg K Re
x 2 0 0 0 C 2 C1 0 C 2 0 1 n 1 y2 z 2 0
第1章 刚体静力学基础
第1篇 静力学引言静力学是研究物体在力系作用下的平衡规律及其应用的科学。
其理论和方法不仅是工程构件静力设计的基础，而且在解决许多工程技术问题中有着广泛应用。
力，是物体间相互的机械作用，这种作用将使物体的运动状态发生变化（称为力的运动效应，即外效应），或使物体发生变形（称为力的变形效应，即内效应）。
力的内、外效应总是同时产生的。
在静力学中，所指的物体都是刚体，这是一种理想化的力学模型，不考虑力的变形效应。
实践表明，力的效应唯一地决定于力的三要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用位置或作用点。
因此，力是矢量，用F 表示，而F 仅仅表示力的大小。
在国际单位制中，力的单位是N 或kN 。
力系，是作用在物体上的力的集合。
对同一物体产生相同作用效应的力系称为等效力系。
如果某力系与一个力等效，则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为此合力的分力。
作用于刚体并使刚体保持平衡的力系称为平衡力系，或称零力系。
静力学主要研究以下三个方面的问题：1、物体的受力分析分析物体受几个力作用，以及每个力的作用位置。
2、力系的等效替换（或简化）将作用在物体上的一个力系用与它等效的另一个力系来替换，称为力系的等效替换。
如果用一个简单力系等效替换一个复杂力系，则称为力系的简化。
3、力系的平衡条件研究作用在刚体（系）上的力系使刚体（系）保持平衡时所需满足的条件。
在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。
第1章 刚体静力学基础本章阐述静力学公理，并介绍工程中常见的约束和约束力分析，以及物体的受力分析。
同时，介绍力学模型及力学建模的概念。
§1.1 静力学公理在力的概念形成的同时，人们对力的基本性质的认识逐步深入。
静力学公理就是对力的的基本性质的概括与总结，它们以大量的客观事实为依据，其正确性已为实践所证实。
公理1 二力平衡条件作用在刚体上的两个力使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
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dA (J d )d J d
dt
dA d(1 J 2 )
2
A 2 dA 2 d( 1 J 2 )
1
1 2
A
1 2
J 2 2
1 2
J12
外力做功等于定轴转动刚体的动能增量 讨论 (1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功； (2) 刚体的内力做功之和为零； (3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
角度？
m
R A
M
解：mR2 1 MR2 0 2m M
2
A
t
t
2mdt M dt
0
0
2m M ， 2
2m M (2 )
2 M
M 2m
，
4 m
M 2m
例：先使小球做半径为 r0 圆周运动，然后
向下拉绳子，使运动半径降为 r1 r0
d
r
mv
r
d(
m
v
)
dr
m
v
dt dt
dt dt
r F v mv MO 0
F
d(mv )
dt
MO
dLO dt
角动量变化的快 慢取决于力矩
说明 1. LO和 M O是对于惯性系中的同一个参考O 点而言的。
2. 力矩决定了质点角动量变化的快慢
M Odt dL
微分形式
冲量矩是质点角
t2 t1
MO
dt
L2
L1
积分形式
动量变化的原因
三. 质点 角动量守恒定律
若 M 0 ， 则 L 常 矢 量 ── 质点角动量守恒
守恒条件 M O rF sin 0
1. r = 0 2. F = 0 3. = 0 或π 即“有心力”问题
一、 角动量（动量矩）
LO
O
r
1. 质点对O点的角动量 LO r mv
mv 方向：垂直 P，r所在平面
大小：LO mrv sin
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
一、角动量（动量矩）
LO
MO
O r
1. 质点的角动量
F
LO
r
P
r
Liz m ivi ri
刚体对z 轴的角动量
z
o ri
v i ri
mi
Lz Liz miviri ( m i ri2 ) J z
Lz J z
说明
角动量与质点动量 P m v 对比， Jz — m， — v
六、 刚体定轴转动的角动量定理
讨论
y 2 L 时，水平方向动量守恒的验证 3
y
Nx
子弹 均质棒
作用前
mv0 + 0
v0
m
=
作用后
m y + ( L/ 2)M (质心)
mv 0
m y+
1 2
ML
mv 0
y
(my 2
+
1 2
MyL)
(my2 + 1 ML2 )
3
mv0 y
1 ML2 my2 3
例 一长为 l 的匀质细杆，开始时杆静止于水平位置。一质量 与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距中点 l /4 处的杆上 ，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆 以匀角速度转动，
求 昆虫沿杆爬行的速度。
解 昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆构成的系统，昆虫重
力忽略，系统角动量守恒
求 θ角及着陆滑行的速度v多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒 质点的角动量守恒
r0
mv R
O
1 2
mv02
GMm r0
m v 0 r0 sin m v R
1 mv 2 GMm
2
R v
v 0r0sin
R
4v 0sin
M
1/ 2
v
v 0 1
3GM 2 Rv 0 2
O
ml
解一 机械能守恒( 以初始位置为0势能点)
h
c
0 0 = 1 J 2 mgh
2
h l sin J 1 ml 2
2
3
2 3g sin
l
解二 定轴转动动能定理 m 动能的增量等于重力做的功
重力矩
Md 1 J2 0
0
2
M 1 mgl cos
mv0
l 4
[1 12
ml
2
m ( l )2 ] 4
12 v0
7l
定轴转动刚体的角动量定理
M
z
d(J z )
dt
O
l 4
v0
昆虫的爬行，会改变系统的 转动惯量和受到的外力矩
定轴转动刚体的角动量定理
恒定
M
z
dJ z dt
M z mgr cos
Jz
(1 12
ml 2
棒。
y
求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y J
v0
m
其中
J
J棒
J子
1 3
M L2
my 2
说明
mv0 y 1 ML2 my2
3
系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用力在水平
方向的投影Nx是否等于0。
例
y
2 3
L
(打击中心)时，Nx=0，则动量守恒。
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
四. 质点系角动量定理
fi
质点系角动量 LO LiO
根据质点角动量定理，对于第 i 个质元
M 外iO
M 内iO
d LiO dt
求和
M 外iO
M 内iO
ri h o ri '
m v
mv
方向：垂直 P，r所在平面
大小：LO mrv sin
2.
力矩 方向：
垂M直 OF，rr所在F平面
大小 M O rF sin
例 质点m，速度v，如图所示，A、B 、C 分别为三个参考点,此时m 相
对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
求 质点对三个参考点角动量的大小
例 行星运动的开普勒第二定律
r
mv
|
m
vr
sin
r
m r sin
t
r
r
sin
/2
2m
t
F力对太阳中心O点的力矩为0，
2m S t
行星的角动量守恒
Lo守恒 单位时间扫过面积相等
讨论
(1) 有心力问题：F 过 O 点, MO=0, 角动量守恒
(2) 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适 用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范 围均适用
例 卫星绕地球作椭圆轨道运动
在近地点A 处， rA= 6809 km 在远地点B 处， rB= 8754 km 求 远地点B 处速度vB
vA=8.12 km/s； vB = ？
A
O
rA
rB
摩擦力。
求 重物下落高度 h 时重物的速度v 。
解 m 的重力势能转化为滑轮和m 的动能
mgh 1 mv 2 1 J 2
2
2
J 1 mr 2 2
v r
O
mg
h
v 2 mgh M 2m
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 。
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体动能
第 i 个质元的动能
E ki
1 2
mivi2
刚体转动动能
o ri
v i ri
mi
Ek
(1 2
mivi2 )
(1 2
mi ri 2
2)
1 2
mi ri 2 2
Ek
1 2
J2
转动惯量 J m i ri 2
b
A a F dr
(2) 合力矩的功
A
2 1
i
M id
i
2 1
M id
i
Ai
(3) 力矩的瞬时功率
P
dA dt
Md
dt
M
力的瞬时功率 P F
(4) 功的正负
M与 同向，A>0
M与 反向，A<0
三、定轴转动动能定理
dA M d M J d
质点系角动量定理
MO
dLO dt
M O — 外力矩， LO — 质点系角动量
向 z 轴投影 刚体定轴转动的角动量 定轴转动刚体的角动量定理