一类Sine-Gordon方程整体吸引子的存在性
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如孤立子理论、场论和统计力学等。
由于该方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，因此对其数值解法的研究具有重要意义。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法，用于求解一维Sine-Gordon方程。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中，U是因变量，t是时间变量，xx表示对空间的二阶导数。
该方程具有孤立子解、周期解等多种解形式，且在物理系统中表现出丰富的动力学行为。
三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积思想的数值方法，通过将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积应用守恒律，得到一组离散化的方程组。
该方法具有高精度、稳定性好、易于实现等优点。
在本研究中，我们将高阶紧致有限体积方法应用于一维Sine-Gordon方程的求解。
具体而言，我们将计算区域划分为一系列等距的网格，每个网格点作为一个控制体积的中心。
在每个控制体积上，我们对Sine-Gordon方程进行积分，并利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化。
通过这种方法，我们可以得到一组离散化的方程组，用于求解Sine-Gordon方程的数值解。
四、数值实验与结果分析我们通过一系列数值实验来验证高阶紧致有限体积方法求解一维Sine-Gordon方程的有效性。
首先，我们设置了一组典型的初始条件，并利用该方法对Sine-Gordon方程进行求解。
通过对比不同时间步长下的数值解与精确解，我们发现该方法具有较高的精度和稳定性。
此外，我们还分析了该方法在不同网格尺寸下的数值误差，结果表明该方法在较粗的网格下仍能保持较高的精度。
为了进一步验证该方法的有效性，我们还对Sine-Gordon方程的孤立子解进行了数值模拟。
Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学
文章编号：1000-1506（2001）03-0041-03Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学刘迎东，何卫力（北方交通大学理学院，北京100044）摘要：证明当扩散系数适当大时Neumann 边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.关键词：全局吸引子；不变曲线；保向同胚中图分类号：O175.2文献标识码：ADynamics of Sine-gordon System Without CapacitanceEffect Under Neumann Boundary ConditionLIU Ying-dong ，HE Wei-li（CoIIege of Sciences ，Northern Jiaotong University ，Beijing 100044，China ）Abstract ：In this paper we prove that the gIobaI attractor for the Sine-gordon system without capacitance effect under Neumann boundary condition is an invariant curve.The behavior of the system on the curve is Iike the orientation preserving homeomorphism on a circIe.Key words ：gIobaI attractor ；invariant curve ；orientation preserving homeomorphism1问题的提出在前文［1］讨论了狄氏边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学，本文继续讨论Neumann 边条件下它的动力行为，将证明此时全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.此时边条件变成了 U i n !X R+=0.记E =（L 2（!））n ， · 为E 中范数.设f i （x ，I ） C （R +，L 2（!））并且f i 关于I 以T 为周期.显然-C 是扇形算子，并且C 可生成强连续半群｛e CI ｝I 0.G （I ，U ）：R +X E E 关于U 一致Lip 连续.Lip 常数为".相应的积分方程为：U （I ）=e CI U 0+Ie C （I -#）G （#，U （#））d #.定义1积分方程的连续解称为温和解.原问题存在唯一温和解U C （R +，E ）［2］.定义S （I ）U 0=U （I ，U 0），U （I ，U 0）是初值为U 0的温和解，由周期性｛S （NT ）｝N 0构成离散半动力系统.根据不可约弱耦合拟增椭圆组的特征值性质，-C 存在主特征值［3］.因为-C 的所有特征值大于等于0，而易知0确为一个特征值，故0为主特征值，其对应主特征向量为（1，1，…，1）.由算子扰动理论易知：引理1-C 是非负自伴算子，其特征值为0=$0<$1 $2 … $m …，当m + 时，$m + 且0为主特征值.收稿日期：2000-08-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（19971004）作者简介：刘迎东（1971—），男，河北高阳人，讲师，博士.email ：Iiuyingdong@第25卷第3期2001年6月北方交通大学学报JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONg UNIVERSITY VoI.25No.3Jun.2001设主特征值0的主特征向量（l ，l ，…，l ）生成的线性子空间为E l ，记 U =lI !I J!E Ii =lU i （x ）c x ，记E 2=｛U E IU =0｝，则E =E l E 2.显然E l 、E 2都是C 的不变子空间，并且V U E 2〈CU ，U 〉<-"〈U ，U 〉.!吸收集定义!称B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g <r ｝为E 中半径为r 的伪球.显然，G （I ，U ）在E 中一致有界，记为c.定理"设B 0为E 中伪球，半径为c /"l ，则V I >0，S （I ）B 0c B 0，并且B 0吸引E 中任意有界集.证明V U 0 E ，记U （I ）=S （I ）U 0，则U （I ）满足：U （I ）=e CI U 0+JIe C （I -#）G （#，U （#））c #.设E 到E l 的投影算子为P ，到E 2的投影算子为O ，则OU（I ）=e CI OU 0+JIe C （I -#）OG （#，U （#））c #，OU （I ） < e CIO OU 0 +JI0 eC（I -#）O G （#，U （#） c #<e -"l I OU 0 +c "l（l -e -"l I ），V U D （（-C ）l /2）= E ，定义 U E = U +（-C ）l /2U ，则 E 为Banach 空间.记 E l =E l E ， E 2=E 2 E.则有：定义#称集合 B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g E <r ｝为 E 中半径为r 的伪球.定理!存在 E 中一个伪球 B 0，半径为r l ，使得对任意E 中有界集B ，存在I l =I l （B ）>0，当I >I l 时，S （I ）B c B 0.证明c Uc I=CU +G （I ，U ），用O 作用后再与OU 作内积得〈O c U c I，OU 〉=〈COU ，OU 〉+〈OG （I ，U ），OU 〉，则c c I OU 2+ （-C ）l /2OU 2<-"l OU 2+2 OG （I ，U ） OU <-"l 2OU 2+c.结合定理l 可知，任给E 中有界集B ，存在I 0=I 0（B ）>0，当I >I 0、r >0时，JI +rI（-C ）l /2OU 2c #<c .又有〈-CU ，Oc Uc I〉=〈-CU ，COU 〉+〈OG （I ，U ），-CU 〉，l 2c （-C ）l /2OU 2c I <-l 2COU 2-"l 2 （-C ）l /2OU 2+ OG （I ，U ） COU ，c （-C ）l /2OU 2c I<-"l （-C ）l /2OU 2+c.再由一致GrOnwall 不等式［4］，即得结论.#锥性质定义$称Z =｛p +g E I p E l ，g E 2， g < p ｝为E 的锥.定理#设"l >4$，则V x 0、y 0 E.（l ）如果y 0-x 0 Z ，则S （I ）y 0-S （I ）x 0 Z ，V I >0.（2）如果存在I 0>0，使得S （I 0）y 0-S （I 0）x 0 Z ，则OS （I ）y 0-OS （I ）x 0 <e -"l I /2 O （y 0-x 0） ，0<I <I 0.证明记y （I ）=S （I ）y 0，x （I ）=S （I ）x 0，p （I ）=P （y （I ）-x （I ）），g （I ）=O （y （I ）-x （I ））.于是p （I ），g（I ）分别满足：c pc I =P （G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ））p （0）=P（y 0-x 0{），c gc I =Cg +O（G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ）））g （0）=O（y 0-x 0{），所以c c I（ g 2- p 2）<-2"l g 2+2$（ p 2+ g 2）+4$ p g .24北方交通大学学报第25卷由条件O 1>4B 知当 p = g 时，dd t （ g 2- p 2） （-2O 1+8B ） g 2 0，这表明如果y 0-x 0 Z ，则y （t ）-x （t ） Z.若存在t 0>0，使y （t 0）-x （t 0） Z ，则y （t ）-x （t ） Z ，0<t t 0.即 g （t ） > p （t ） ，0<t t 0.因此有d d tg （t ） 2 -O 1 g （t ） 2，即 g （t ） e -O 1t /2 g （0） ，0<t t 0.!不变曲线以下记T 0=（1，1，…，1），p 0=21T 0.定义"设@是从E 1到E 2的Lip 映射，Lip 常数为1，即 p 1、p 2 E 1， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2，称@对应的曲线l =｛p +@（p ）I p E 1｝为E 中的水平曲线，如果@还满足@（p +p 0）=@（p ）， p E 1，则称l 为限制水平曲线.定理!N >0，S （NT ）把水平曲线映成水平曲线，把限制水平曲线映成限制水平曲线.令H =［0，21］·T 0，则H 是E 1中的有界闭集.令M =｛@I @是H E 2的连续映射，@（0）=@（p 0）｝，M 中加法和数乘按通常逐点意义下定义，范数定义为 @ =max p H @（p ） ，于是M 成为Banach 空间，记^M =｛@I @ M ， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2 ， @ r 1｝，r 1是伪球B 0的半径.当t 0>t 1（B 0）时，S （t 0）B 0 B 0，对充分大的N ，构造^M ^M 的映射^S （NT ）如下：^S （NT ）@=1-1S （NT ）1@，1是^M 到M 的自然的一一映射，易知^S （NT ）为紧的，由Schauder 不动点定理，^S （NT ）至少有一个不动点.定理"设O 1>4B ，则对充分大的N ，映射S （NT ）有一条不变限制水平曲线l ，即S （NT ）l =l.引理#设l 是S （NT ）的不变曲线，U 是l 的E 邻域，则存在常数M 0>0，使 y 0 B 0（半径为c /O 1的伪球），当M >M 0时，S （MNT ）y 0 U.设l 是S （NT ）的不变曲线，l'是S （（N +1）T ）的不变曲线.引理$l 即为l'.再由S （（N +1）T ）l =S （NT ）l ，得S （T ）l =l ，即S （T ）有不变曲线l ，并且由吸引性，l 唯一."保向同胚设l =｛p +@（p ）I p E 1｝，定义K ：E 1 l 为p p +@（p ），这样S （T ）在l 上的作用诱导出一个R 上的映射F ：F （T ）=G -1K -1S （T ）K G ，其中G 是由G （t ）=21t T0定义的算子，并且!F （t +1）=F （t ）+1，"F 是严格单调增加的.引理!S（T ）的旋转数V =Iim I F I（t ）I存在，且极限值与t R 无关.F （t ）可看成圆周上一个保向同胚的提升.通过旋转数V 可研究F （t ）.定义F（t ）的广义周期点如下：若存在I 、m Z ，I 1，使得F I（t ）=t +m ，其中I 取有这种性质的最小的自然数，则称t 为（I ，m ）型周期点.旋转数为有理数等价于存在广义周期点，旋转数为无理数等价于不存在广义周期点.如果l 模21T 0构成一个拓扑圆，则S （T ）在其上作用为保向同胚［5］.参考文献：［1］刘迎东，何卫力.狄氏边条件无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学［J ］.北方交通大学学报，2001，25（1）：108-110.［2］Pazy A.Semigroup of Linear Operators and AppIications to PartiaI DifferentiaI Eguations ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1983.113-121.［3］Liu Yingdong ，Li Zhengyuan.The PrincipaI EigenvaIue of PeriodicaI Reaction-diffusion System with Time DeIay ［J ］.Beijing Mathematics ，1997，3（1）：143-149.［4］Temam R.Infinite-dimensionaI DynamicaI Systems in Mechanics and Physics ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1988.88-89.［5］张筑生.微分动力系统原理［M ］.北京：科学出版社，1985.27-52.34第3期刘迎东等：Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学作者：刘迎东， 何卫力作者单位：北方交通大学理学院,刊名：北方交通大学学报英文刊名：JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONG UNIVERSITY年，卷(期)：2001,25(3)1.刘迎东;何卫力狄氏边条件无电容效应的Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(01)2.Pazy A Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial D ifferential Equations 19833.Liu Yingdong;Li Zhengyuan The Principal Eigenvalue of Periodical Reaction-diffusion System with Time Delay 1997(01)4.TEMAM R Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and P hysics 19885.张筑生微分动力系统原理 1985引用本文格式：刘迎东.何卫力Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(3)。
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。
在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。
该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。
该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。
三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。
该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。
通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。
四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。
在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。
2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。
常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。
在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。
3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。
通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。
4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。
一类广义非线性的Sine—Gordon型方程弱解的存在及唯一性
引理 ２ （ ｒｎ ａ 不 等式 ）设 口 ￡ ０， １ Ｇｏｗ ｌ ｌ （）≥ Ｑ（）＞０ Ｙ（）≤ 口 １ ， １ （）＋Ｑ ｔｙ １ ， ： （） （）则
，） ， ） 上（州ｅ（Ｑ下 ） ， ， ＋ 口 ） ｘ上（ 曲・ （ ｔ （ ０ 下 ｐ ）
引理 ３ 设 与Ｙ Ｈｌｅ 空间或可分的 Ｂ ｎｃ 空间 ， 为 ｉ ｒ ｂｔ ａ ａｈ 其对偶空间分别为 ， ｌ ｌ， ， ，设 连续稠密地嵌入 到 中， 若
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第２ ９卷第 ｌ 期
王银珠 ， 一类广义非线性的 Ｓ ｅ ｏ ｏ 型方程弱解的存在及唯一性 等： ｉ— ｒ ｎ ｎＧ ｄ
４ ７
（） ８
ｇｏ （ ）＝０ ｇ ｓ ， （ ）∈ Ｃ （ Ｒ）
Ｉ （ ）Ｉ Ｃ （ ； ｓ ｓ ≤ ｌ１＋Ｉ Ｉ ｇ ）≤ ｃ（ Ｉ （ 中 Ｃ ， ２ ｇ ｓ ） ２ １＋ Ｉ 其 ｓ ） ２Ｃ 为大 于或 等于零 的 常数 ）
文章 编号 ：６ ３２ ５ （０ ８ ０ —０ ４ ０ １ ７ －０ ７ ２ ０ ） １ ０ ６— ５
一
类广 义 非 线性 的 Ｓｎ ． ｏｄ ｎ型 方 程 ｉｅＧ ｒｏ 弱 解 的存 在 及 唯 一 性
王 银珠 ， 利 军 郭
（ 太原科 技 大 学应 用科 学学 院数 学 系， 太原 ００ ２ ） ３０ ４
（） ２ （） ３
ｌ 基本假设及 引理
对于方程（ ）我们有如下假设 ： Ｑ ＝ １， 设 力×［ ， ］ ＞０ ０Ｔ ， 为阻尼系数 ， ＞０ 为常数
项。 设 ， ｔ 足： ）满 ０ ｔ ＝ Ｚｔ ，） ，）＝０
，
， 为外力扰动 ｔ ）
（） ４
（） ５
ｔ ）∈ Ｌ ０ ； （ ， 日）ｎ Ｌ （ ； ２ ０， 日）
一类半线性退化抛物方程在无界区域上全局吸引子的存在性
一类半线性退化抛物方程在无界区域上全局吸引子的存在性齐渊【摘要】讨论了一类带有退化算子的抛物方程当非线性项满足多项式增长条件时,在无界区域上的全局吸引子的存在性问题.【期刊名称】《陇东学院学报》【年(卷),期】2018(029)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】退化算子;无界区域;全局吸引子;尾估计方法;渐进先验估计【作者】齐渊【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O19现代数学物理的一个重要分支是探讨动力系统的长时间渐进行为，而研究这个问题的方式之一就是考虑耗散动力系统的全局吸引子。
一大类非退化偏微分方程的全局吸引子的存在性已经被证明[1-3]。
尤其是近些年来，含有Grushin型算子：Gku=Δxu+|x|2kΔyu,k≥0的半线性抛物方程的解的长时间行为在自治和非自治的情况下都有被研究[4-8]。
该算子首次由Grushin在[9]中讨论过，注意到G0=Δ，是Laplacian算子，而当k>0时，算子Gk在与面x=0相交的区域内不再是椭圆的。
Anh,C.T.等人在文献《Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator》中，讨论了非线性项满足次临界增长条件和任意多项式增长条件下，含有Grushin型算子的抛物方程在有界区域上的全局吸引子的存在性问题。
在本文中，我们考虑了下列含有G算子的半线性退化抛物方程解的长时间渐进行为：(1)在这里，λ>0,u0∈L2(RN)，非线性项f和外力项g满足以下条件：(F)f:RN×R→R是连续函数，并且，f(X,u)u≥α1|u|p-C1(X)(2)|f(X,u)u|≤α2|u|p-1+C2(X)(3)fu(X,u)≥α3(4)其中，α1,α2,α3是正常数，C1(·)∈L1(RN)∩L2(RN)，C2(·)∈Lq(RN)是非负函数，且记F(X,s)=f(X,τ)dτ，并假定F满足：-C4(X)+α4|u|p≤F(X,u)≤α5|u|p+C3(X)(5)式子中的α4,α5是正常数，且C3(·),C4(·)∈L1(RN)均为非负函数。
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一个具有非线性特性的偏微分方程，在物理学和工程学等多个领域具有广泛的应用。
传统的数值求解方法往往涉及复杂的计算过程，而且有时无法保证计算精度和稳定性。
为了更有效地求解这一类方程，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法（HOCFVM），通过此方法我们可以提高求解的效率和精度。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中U为因变量，t为时间，xx表示空间二阶导数。
此方程具有孤立波解等特性，广泛应用于物理中的各种现象模拟。
三、传统数值方法的问题传统的数值方法如有限差分法、有限元法等，在求解Sine-Gordon方程时，往往存在计算复杂度高、精度低、稳定性差等问题。
为了解决这些问题，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法。
四、高阶紧致有限体积方法（HOCFVM）1. 方法概述HOCFVM是一种基于有限体积法的数值求解方法，它通过构造高阶紧致格式的离散化方案，提高了计算精度和稳定性。
该方法在离散化过程中，将空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上应用局部的离散化公式。
2. 方法实现（1）空间离散化：将空间划分为一系列等距或不等距的控制体积。
（2）时间离散化：采用合适的离散化格式对时间进行离散化。
（3）构造高阶紧致格式：在每个控制体积上，根据Taylor 级数展开和待求量的性质，构造高阶紧致格式的离散化公式。
（4）求解方程组：根据离散化后的方程组，采用适当的数值求解方法（如迭代法、线性代数方法等）求解。
五、HOCFVM在Sine-Gordon方程中的应用我们将HOCFVM应用于一维Sine-Gordon方程的求解中，通过与传统的数值方法进行比较，发现HOCFVM具有更高的计算精度和稳定性。
具体来说，HOCFVM能够更好地捕捉到Sine-Gordon方程的孤立波解等特性，且计算复杂度相对较低。
一类非线性波动方程的整体吸引子
Ｅｘｓｅ ｃ ｆｇｏ ａ ｔｒ ｃ ｏ ｓｆ ｒ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｖ ｑ ｔｏ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｌ ｂ ｌａ ｔ ａ ｔ ｒ ｏ ｏ ｌ ｎｅ ｒ ｗａ ｅ ｅ ｕａ ｉｎ
（ ． ｅａｔｅ ｔ ｆ ａ ｍａｅ ，ｉ ｇｕＵ ｉ ｒｉ ，ｈｎｉｎ ｉ ｇｕ２ ２ １ Ｃ ｉａ ２ Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ￣ｅ ｔ ｓＪａ ｓ ｎｖ ｓｙＺ ｅｊ ｇＪ ｎ ｓ １０ ３，ｈｎ ） ｍ Ｍ ｉ ｎ ｅ ｔ ａ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｒ ｅ ｎ ｉ ｇ ｏ ｔｍｏ ｅ ｃ ａａ ｔ ｒ ｔ ｓｏ ｏｕ ｉｎ ｆ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｗ ｖ ｑ ａｉｎ，ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｃ ｎ ｓｒ ｃ ： ｎ ｏｄ ｒｔ ｆ ｄ ｎ ｕ ｒ ｈ ｒ ｃｅ ｓ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｏ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｏｉ ｉ ｉ ｏ ｏ题 ： 在引用 Ｋ ｒ ｏ ｓｉ 度 的定 义并 对 其 基 本性 质 进 行 讨 论 的 基 础 上， 过 渐 近先 验 估 计 ， 明 了解 半 群 ｕａ ｗ ｋ 测 ｔ 通 证 ｛ （） 在 Ｋ ｒ ｏ ｓｉ Ｓｔ｝ ｕａ ｗｋ 测度下 的渐进光滑性 ， ｔ 从而得到 了这类含有混 合导数项 的非线性 波动方程在 （２ １）×Ｌ （ 上 ＂ ２ ｎ） 的整体吸引子的存 在性定理 ． 关键词 ：吸引子 ； 动方程 ；先验估计 波
ｓｄ ｒ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｇｏ ａ ｔｒ ｃｏ ｒｔ ｏ ｌｎ ａ ｖ ｑ ａｉ ｎ ｉ ｖ ｌｉ ｇ ｔ ｅ ｍｉ ｅ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｅ ｔ ｉ ｅ ｓｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｌｂ ｌａｔａ ｔｒｆ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｗａ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｏ ｖｎ ｈ ｘ ｄ ｄｆ ｒ ｎｉｌｑ ｏｉｎ ｏ ｆ
一类模式演化方程的指数吸引子
连续 的． 即若 Ｍ ｆ ， ￡ 是 问 题 （ ． ） （） （） １ １ 的两 个
解 ， 值分 别为 “ ，Ｏ 初 。 Ｖ ∈织 则
为书 写 方 便 ， 们 记 Ｈ ＝ Ｌ （ ， 我 。 ｎ） （・，
・
） １ 分 别表示 Ｌ （ 中的 内积 和范 数 ； 和 ．１ 。Ｑ）
ｒ
ｆ （） （）ｌ 【 ｏ ｏｌ ｌ ￡－ｖｔ ｊ “ ≤ｅ Ｉ —Ｖ ． “ Ｉ
Ｊ ｎ
＿， 有如下 紧嵌 入 ＶＣ Ｈ＝Ｈ Ｉ且
分 别是 Ｈ ， 的对 偶空 间．
， Ｈ 而 ，
两端用 Ａ Ｗ 作 用 ， 得 。 可 １ ｌ 叫 ｌ＋Ｉ ２ 『 ２１ ｗ 。 ｄ △ 。 叫 ＋ Ａ Ｉ Ａ
由文 献 Ｉ － 采 用 标 准 的 Ｆ ｅｏＧ ｌ ｋｎ －Ｉ ３， ａｄ－ ａ ｒｉ ｅ 方 法证 明了方程 （． ） １１ 的解 的存 在 唯一性及 解 关 于时间和初值的连续 性 ， 而可 以定 义连 续 从
关键词： 式演化方程 ； 模 指数 吸 引 子
中 图 分 类 号 ： ２ １６ ０ １ ．７
１ 引 言
由上述 引 理 可 知 ： 给 定 ｕ ， 在 ７一 对 ｏ存 、
在对 贝纳 尔对 流现 象等 一 系列 问题 的研
Ｔ ｕ） ， 任意 的 ≥ Ｔ， ｌ Ｕ Ｉ （ｏ＞Ｏ对 有 ｌ ）ｏ ｌ ｓ（ ≤
Ｈ： Ｑ） （ 中的 指 数 吸 引 子 （ 义 见 文 献 ［ ］ ， 定 ４）
只需 证 明相应 的 ｌ ｓｈｔ 连 续性 和挤 压性 成 ｉ ｃｉ ｐ ｚ 立 （ 于 ｌ ｓｈｔ 关 ｉ ｃｉ ｐ ｚ连续 性 和挤 压性 的定 义 参 考 文献［ ］ ． ４）
３ Ｖ 中的指 数 吸引子 引理 ３ １ 半 群 Ｓ ￡ 在 助上 是 ｌ ｓｈｔ ． （） ｉ ｃｉ ｐ ｚ
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Ｈ 作 积 专 ｛“ ＋ ｌ＋＿ｌ （ ￡ Ｉ ￡－） ｌ （ｓ））（ 由 中 内得 叠 ｌｌ ｌ ｝ｓ ｌ ａ ） 。 （ ￣ ｇｉ ，一厂） Ｉ ｌ 。 一 Ｉ 一 ａ Ｉ ＋ （ ， ＋ ｎ
ｅ“ ＋ａ ｅ ｆ ｅ－） ｆ 号ｉ ｌ 号 。ａ ｆ ｆ ｆ ） 中 号 ｌ （ ） （ ｅ ｆ ｌ ｆ ≥ ｆ Ｉ ， ａ 得 ｆ ｌ － ｆ２ ａ ｆ ≥ “ ＋ ｆ （ 。 ｆ 其 一 ｆ － ＋
０１ ５ ２ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ ７．７ 文
０ 引 言
本 文讨论 动力 系统
—— ＋ ａ ８ ３ ２十 ｇ ｓ ｕ）： ８ ２十 ａ—ｔ一 ＋ （ ｉ ｔ ｘ ｓｎ 一＝ｆ １ ＝
Ｕ ０， ）一 ０ （ ， ）一 ０ （ ， Ｚ “ ｚ， ）一 Ｕ （ ， （ ， ）一 Ｕ （ （ ｏ ｏ ｚ） ｏ ｌ ｚ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符 号 （・， ， ．１ ・） １ 分别 表示 Ｈ 中的 内积 和范 数 ， （ （・， ） ｌ １ ・） ，ｌ・Ｉ分别 表 示 中的 内积 和范 数 ， 文 中 本 “ 整体 吸引子 ” 的概念 与 Ｈａｅ１ Ｔ ｍａ ［ 定义 的一致 ， 了方便起 见 ， ｕ “ ｌ［ 和 ｅ ｎ２ ３ ３ 为 记 为 ， ， Ｏ
，
为 ．
下面 ， 我们 给 出系统解 的存在 唯一性 ． 引理 １ 令 ａ ＥＲ， Ｕ ， 满足 ｆ （ Ｏ Ｔ］ Ｈ） “ ＥＶ， 则 （ ） （ ） （ ） ｆ，。 。 Ｅ ｃ ［ ， ； ，。 “ ＥＨ １ ， ２ ，３ 存在 唯一解 “满足 Ｕ Ｅ Ｃ（ ０ Ｔ ｉ ， ［ ， ］ Ｖ） “ Ｅｃ（Ｏ 丁］ Ｈ） ［， ； ． 如 果 ， 一 步 ， 进 厂 ∈Ｃ（０ Ｔ ； ，。 Ａ） ＥＶ， “满足 Ｕ ［ ， ； Ａ） ， （ ０ 丁 ｉ ． ［ ， ］ Ｈ） Ｕ ＥＤ（ ， 则 ｃ（ Ｏ Ｔ］ Ｄ（ ） “ ＥＣ ［ ， ］ Ｖ） Ｅ
条 件 下 整 体 吸 引予 的 存 在 性 ．
［ 键 词 ］ Ｓｏ ｌｖ 空 间 ； 嵌 入 ； ｉ — 关 ｂｏ ｅ 紧 ｓｎｅ Ｇｏｒ ｏ 整 体 吸 引 子 ｄ ｎ；
［ 章 编 号 ］ １ ７ —０ ７ ２ １ ） １０ ５ —３ ［ 图 分 类 号 ］ 文 ６ ２２ ２ （ ０ ２ ０ —０ ００ 中
引理 ２。 设 Ｅ为 Ｂ ｎ ｃ Ｅ ａ ａ ｈ空 间 ， （） 连续 的算子半 群 ， Ｓ ￡为 即有 ：
ｓ ： （） Ｅ— Ｅ， （ ＋ ｒ Ｓ ｔ ）一 Ｓ ￡ ｓ ｒ ， ， ≥ ０ ｓ ０ （ 等算子 ） （）・ （ ） Ｖｔｒ ， （ ）一 恒
设 半 群 Ｓ 满 足 以下条 件 ： （）
（ １ ｌ）
（） ２ （ ） ３
其 中， Ｅ［ ， ，∈［ ， 。 ，＞Ｏ ｇ ） 足 ｇ ＾ ≤ｃ １ Ｉ Ｉ） ， ｆ是 关于 ３ 的已知 函数． ０ ｚ ｔ ０ ＋。 ）ａ ， （・ 满 ］ （ ） （ ＋ 。 ，。 “ ， ７
本 文 记 Ｈ ＝Ｌ （ ， ２Ｑ） ｖ— Ｈ１ Ｑ） ＡＭ 一 （ ， 一 ， Ａ） Ｈ Ｑ） （ ， 。 Ｄ（ 一 （ Ｎ Ｈ２ Ｑ） Ｅ 一Ｖ × Ｈ ， Ｄ（ ×Ｖ． Ｅ 一 Ａ） 用
第１卷 第 １ １ 期 ２１ ０ ２年 ３月
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｙ Ｉ ＵＡＮ Ｎ ＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｓ Ｔ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ＯＲ Ｉ Ｒ Ｉ Ｙ（ ｔ ｒｌ ｃｅ ｅ ｉｏ ） ｎ Ｅ ｉ
｛ｌ ＋Ｉ ｌ｝ ２ ｌ ｌ ≤ ２ ｆ— ｇ “ ， ≤ ２ Ｉ Ｉ ２ｌ （ｉ“ Ｉ ｌ ｌ ｌ ＋ ￡ｌ ｌ Ｍ （ （ ） ） － Ｉ ＋ ｇ ｓｎ ）Ｉ 厂ｌ Ｉ ≤
Ｖｏ． １ Ｎ ． １１ ｏ １ Ｍａ． ２ １ ｒ ０２
一
类 Ｓｎ — ｏｄ ｎ方程整体吸 引子的存在性 ｉｅ ｒｏ Ｇ
罗虎啸 吴 高芬
（ 原 理 工 大学 数 学 学 院 ， 西 太 原 ００ ２ ） 太 山 ３ ０ ４
（ 要 ］ 文 章 在 Ｓ ｂ ｌｖ 空 间 里 利 用 紧 嵌 入 定 理 ， 明 了 一 类 ｓｎ — ｒ ｏ 方 程 在 一 定 初 边 值 摘 ｏ ｏｅ 证 ｉｅＧｏ ｄ ｎ
１ Ｓ ￡在 Ｅ 中 一 致 有 界 ； ） （）
２ 存 在 Ｅ 中的有 界吸 收集 Ｂ。 ） ； ３当 ｔ ） ＞０时 ， （） Ｓ 为全 连续算 子 ；
则半 群有 紧 的整 体 吸引子 Ａ． 如果 不能 满足第 三个 条件 ， 满足 下面 的第 四个 条 件 ， 吸引子 也存 在． 其
４ Ｓ 一Ｓ （） ， 中 Ｓ （） ） （） ￡ ＋Ｓ （） 其 对充 分大 的 ｔ 一致 紧 ， 。 ￡是 Ｅ Ｅ连续 映 射 ， Ｓ （） — 且对 任 意有 界集 ＣＣ Ｅ，ｕ Ｓ （） ｌ — Ｏ ￡ ｓ ｐｌ ２ ｌ ｌ Ｅ ， 一∞ ．
收 稿 日期 ： ０ １０ — ２ ２ １－９１ 作 者 简 介 ： 虎 啸 （ ９９） 男 ， 西 上 饶 人 ， 原 理 工 大 学 数 学 系 在读 硕 士 研 究 生 ， 要从 事 非 线 性 偏 微 分 方 程 研 究 罗 １８ 一 ， 江 太 主
第 １ 期
罗 虎 啸 等 ： 类 Ｓｎ —Ｇ ｒｏ 一 ｉｅ ｏｄ ｎ方 程 整 体 吸 引 子 的 存 在 性
５ １
１ 主 要 结 果
引理 ３ 系统 （ ） （ ） １ ～ ３ 在 中存 在有 界吸 收集．
证 明
， ｍ （，） 设 固 ｅ 得 ＜≤ （式 边 ＋ 在 ｅ ｉ ， 并 定 ， 。ｅｅ ）两 与 一 ｅ 。 ｎ 一 号 假 使 。 １ Ｍ