随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
混沌名词解释
吸引子：吸引子是指非线性系统最终形成的运动状态在相空间中的不变流形或点集（例如，平衡，简谐运动和极限环等），相空间中其他点（运动态）都被吸引到这些点集或不变流形中，故称吸引子。
奇怪吸引子；也称为“随机吸引子”·“混沌吸引子”.它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。
人们称混沌这种具有无穷次自相似结构的吸引子为奇怪吸引子。
在状态空间中伸缩和折叠的无穷次变换将形成分数维的奇怪吸引子。
奇怪吸引子在有限的相空间几何体内，具有无穷嵌套的自相似结构。
它对初始条件十分敏感，在参数变化时各层次的”空洞“发生填充和移位等变化。
运动是遍历的，混合的和随机的。
地理信息科学B考试题库以及答案
1.什么是空间插值？空间插值就是利用离散点构建一个连续的曲面。
它的目的是使用有限的观测值，通过估计值对无数据的点进行填补。
（推论1）当只有内蕴量信息时，可通过地统计分析，弥补外蕴量信息缺口，运用HASM 构建高精度曲面。
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。
（百科）尺度转换是指利用某一尺度上所获得的信息和知识来推测其它尺度的现象，包括升尺度和降尺度。
2.什么是空间降尺度？降尺度转换是指将粗分辨率数据向细分辨率转换。
（推论2）当粗分辨率宏观数据可用时，应补充地面观测信息，并运用HASM对此粗粉辨率数据进行降尺度处理，可获取更高精度的高分辨率曲面。
许多模型和数据由于空间分辨率太粗而无法用于分析区域尺度和局地尺度问题。
为了解决这个问题，需要研发降尺度方法，将粗分辨模型输出结果和粗分辨率数据降尺度为高空间分辨率数据。
3.什么是空间升尺度？升尺度是指将细分辨率数据向粗分辨率转换。
在许多情况下，为了节约计算成本，需要将细分辨率数据转换为粗分辨率数据，此过程称之为升尺度。
推论3（升尺度）：当运用HASM将细分变率曲面转化为较粗分辨率曲面时，引入地面细节数据可提高升尺度结果的精度。
4.什么是数据融合？数据融合是将表达同一现实对象的多源、多尺度数据和知识集成成为一个一致的有用形式，其主要目的是提高信息的质量，使融合结果比单独使用任何一个数据源都有更高精度。
推论4（数据融合）：卫星遥感信息可用时，必须补充来自地面观测信息，尚可运用HASM构建地球表层及其环境要素高精度曲面，得到较遥感信息更高精度的结果。
推论5（数据融合）：卫星遥感信息和地面观测信息可用时，可运用HASM构建地球表层及其环境要素高精度曲面，获得较卫星遥感信息和地面观测信息精度都高的结果。
5.什么是数据同化？数据同化就是将地面观测数据并入系统模型的过程，其目的是提高系统模型的精度。
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了"吸引子分为三类：第一类是最简单的吸引子，可以称为定点吸引子或不动点吸引子。
海纳百川，大海就是百川的定点吸引子；落叶归根，树根是一个定点吸引子；热力学系统的平衡态是该系统的定点吸引子。
在相空间中，定点吸引子是一个点，它将周围的轨道全部吸引过来。
第二类是所谓极限环吸引子。
这是比较高级的吸引子。
系统在远离平衡态时，经过若干分叉点之后，由于自组织作用，系统可以进入一个规则而又稳定的周期震荡状态。
极限环吸引子在相空间中是一个封闭的环，它将周围的轨道吸引到这个周期性的循环之中。
这两类吸引子分别描述了系统的两类不同的长期行为：周期性的重复某种运动系列。
其中第二类吸引子正是普里戈金的耗散结构模型所致力于描述的。
它揭示了在非线性系统中，自组织如何从无序中创造出有序结构。
但是，如果系统进一步分叉，更加远离平衡态，有可能达到一种新的稳定态，即第三类吸引子，即各种环面的吸引子。
这种吸引子被称为奇异吸引子或混沌吸引子。
奇异吸引子就是混沌，混沌就是奇异吸引子。
它仍然表征着系统的稳定定态。
它们并不与周期变化相对应，但是，系统从任一初始状态出发，最终都会演化到"相空间"的某一局域上。
混沌吸引子与一般吸引子不同，混沌现象的轨线进入吸引子后，两条距离非常近的轨线将发生指数分离，而两个状态点也迅速分开，此时，吸引子外的所有运动轨线都将进入吸引子之内，而内部的轨线又迅速分开。
从吸引子外部看，是聚集的过程；从吸引子内部看，是分散的过程。
系统在宏观演化上是有规律可循的，而从微观上看，我们又无法指出系统具体的演化轨道。
系统对初始条件依赖的敏感性，使系统运动出现随机偶然性的特点。
"上述整段话，就是从数学语言翻译出来的日常语言同，这个日常语言讲清楚了混沌吸引子吗？所谓"道理是什么"就是指这个道理对应什么现实情况，道理本质是什么，就是更深刻地谈道理，谈出道理的为什么来。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
式中：
f ( x0 ) - f ( y 0 ) df lim dx x 0 x 0 y0 x0 - y 0
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式 由第二次迭代得：
df x2 - y2 dx
经过第 n 次迭代得：
x1
df x1 - y1 dx
df x1 dx
x0 - y0
x0
xn - y n
第四节
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数 2. 埃侬映射与埃侬吸引子 3. 洛伦兹吸引子
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
吸引子 所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极 形态.它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道 ;也可能是继续不 断变化,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线 .前者也 被称为平庸吸引子,后者被称为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数应用
稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远 离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预 示着系统的不稳定性。 研究表明，系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出 现混沌运动。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时， 只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数 ，相空间内初始时刻的两点距离将随 时间(迭代次数)作指数分离：
xn - yn x0 - y0 exp(n )
经过n次迭代
x0 - y0
xn - yn x0 - y0 expn
在一维映射中 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就 有多个 i ，而且沿相空间的不同方向，其 i (i=1,2,…)值一般 也不同。
1.李雅普诺夫指数
随机振动基础知识
多吸引子,跳跃现象,分岔和混沌;
Random Vibration
3
2.1 傅里叶变换
Random Vibration
4
2.1 傅里叶变换
Random Vibration
省略二次高阶小量
Lold ΔH ΔLHold R S yy,old @Eˆ
Random Vibration
31
4.7 随机振动试验：控制算法（续）
11
eˆ11 2l11
j1
eˆ j1
11l
l11
j1
( j 2,..., N )
j 1
eˆjj
(
jil
* ji
* ji
l
ji
)
jj
i 1
2.2 功率谱密度
人体振动反应对频率敏感； 垂直振动敏感区域4~8HZ,水平是2HZ以下；
时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值 就越小
Random Vibration
i •• xຫໍສະໝຸດ S fi 上f下i
••
x
(
f
)df
10
2.2 功率谱密度
0.5
p(x)
1
e
(
x )2 2 2
2
0.4
但是这样的一个觧很少有实用价值, 原因是我们用的
一条记录, 那是以前发生的, 将来发生的记录是不会
和过去的记录一样的.这样,我们不能知道将来的精确
的情况, 但还要估计一个大概可能的结果.
这就是随机动力学要解决的问题.如果结构本身的
吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集
§2 吸引子吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集，它是动力学系统在相空间中最后的稳定态，了解吸引子的描述及特征对认识混沌现象的全局特征从重要意义。
2-1 简单吸引子阻尼振动是一个简单吸引子。
这里，我们将详细分阻尼振动，了解其振动状态和成为吸引子的全部过程。
一、振动的运动分析如图2-1装置，物体在油中缓慢运动为典型的阻尼振子，可以通过改变图片A 的大小来调整阻力。
我们认为，振动速度较小时，阻力与速率成正比：xf &γγυ−=−=阻 按牛顿第二定律x kx xm &&&γ−−= （2-1） 并令：mmk 2,20γβω==。
0ω即振动系统的固有圆频率，β称为阻尼因数，和振动系统的性质以及媒质的性质有关。
于是方程可写为图2-1 阻尼振动 (2-2) 0220=++ωβx x&&&按照微分方程理论，对于一定的振动系统，可根据阻尼因数β大小之不同，由此动力学方程解出三种可能的运动状态。
1、弱阻尼状态：当阻力很小，以致0ωβ<，可由（2-2）式求出质点的运动学方程22')'cos(βωωαωβ−=+=−t Ae x t (2-3)A 与α为待定常数，由初始条件决定，此式中包含两因子，表示不断随时间而衰减的振幅，tAeβ−)'cos(αω+t 则以'ω为圆频率周期地变化，二因子相乘表示质点作运动范围不为缩小的往复运动，这种振动状态称弱阻尼状态。
根据（2-3）式画出的位移时间图线即图2-2（α）。
由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。
不过)'cos(αω+t 是周期变化的，它保证了质点每连继两次通过平稳位置并沿相同方向运动队所需的时间间隔是相同的，于是，我们把函数)'cos(αω+t 的周期叫做阻尼振动的周期，并用'T 表示，2202'2'βωπωπ−==T 显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐振动的周期0/2ωπ=T ，可见由于阻力的影响，振动的节奏变慢了。
蝴蝶效应及其应用
蝴蝶效应及其应用刘铁驹 宋立平蝴蝶效应是复杂数学现象的一个细节,这种现象自发现蝴蝶效应后也称为 确定性混沌 。
一个可以用确定性混沌来刻画的过程,是由完全确定性系统产生的,但按照标准的时间序列方法又表现为随机性。
蝴蝶效应通常用于天气、股市等在一定时段之内,较为难以预测的复杂系统中,被引申为事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性,初始条件的极小偏差将引起结果的极大差异。
现在 蝴蝶效应 已经越来越广泛地出现在物理、天文、气象、社会,以及股票研究、概率等诸多领域的文章及报道中。
蝴蝶效应的起源1963年,蝴蝶效应是美国麻省理工学院气象学家劳伦兹(E.Lorenz)在研究大气对流时,从一个对流模型中发现的,实验装置是一个两维的流体室(两块很大的平板水平放置,之间充满气体),在底部加热、顶部冷却,其中的气体发生对流,采用简化的瑞利-贝纳尔(Rayleigh-Benard)对流模型分析气体的运动状态,x正比于对流运动的强度、y正比于水平方向温度变化、z正比于竖直方向温度变化,参数 、b、r都是正的常数,得到的一组方程现在被称为劳伦兹方程:d x/d t=- (x-y)、d y/d t=-y-x z+r x、d z/d t=xy-bz。
他利用这个模型,原本是想模拟天气的演变,以提高天气预报的准确性,平时只需将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据3个内建的微分方程式,计算出下一刻可能的气象数据,从而模拟出气象变化图。
这一天劳伦兹想更进一步了解某段纪录的后续变化,他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的结果。
1小时之后结果出来了,令他目瞪口呆 新结果和原结果比较,虽然初期数据差不多,但是越到后期数据差异就越大。
他考虑后认为问题并不出在电脑,而是他输入的数据差了0 000127,正是这细微差异造成了天壤之别。
由于天气变化十分复杂,在预测天气时,不可能把所有的影响因素考虑进去,而被忽略的那些因素却可能对计算结果产生重大影响,以致得出错误的结论。
含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子
西南大学硕士学位论文含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子姓名：曾雪萍申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：李扬荣20080401含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子作者：曾雪萍学位授予单位：西南大学1.学位论文李劲非自治及随机时滞抛物型方程的吸引子2008本文研究一类具有外力项及随机扰动项的时滞半线性抛物型偏微分方程的动力学性态.证明了当时滞满足一定条件时，由时滞抛物方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子和pullback吸引子，由时滞随机抛物方程生成的随机无穷维动力系统存在随机吸引子.全文由五章组成.第一章简述无穷维动力系统的研究现状、主要问题、方法和进展，重点介绍一致吸引子、pullback吸引子和随机吸引子的概念及存在性判定定理. 第二章研究一类外力项具有平移紧性质的时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了弱解的存在唯一性，并且当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子，并且吸引子属于L2(O)×C([-r，0]；L2(O)).第三章研究外力项是α-平移指数增长函数的时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在pull-back吸引子，并且吸引子属于L2(O)×C([-r，0]；L2(O)).第四章研究具有加性白噪声扰动项的随机时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了当时滞满足一定条件时，由随机时滞偏微分方程生成的随机动力系统存在随机吸引子，并且吸引子是L2(O)×C([-r，0]；L2(O))上的随机集.第五章研究受概周期外力影响并具有选择性时滞的非局部单种群PDE模型，证明了当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子.2.学位论文吕艳几类随机动力系统的渐近行为2007随机偏微分方程作为描述受随机影响的复杂系统的数学模型越来越来引起数学工作者的注意，并且在力学、化学、生物学、地球物理学、大气海洋气候学等中都得到了广泛的应用．本论文主要研究几类线性半群不具有光滑性质的随机动力系统的渐近行为．全文分成四个部分：第一章简单回顾随机动力系统、随机吸引子、随机偏微分方程的基本知识和理论．主要包括随机动力系统、随机吸引子的基本定义和性质；一些全局随机吸引子存在性结果，特别是利用α-contracting性质在随机动力系统中的推广得到随机吸引子的存在性；白噪声驱使的随机偏微分方程解的定义和基本性质，特别介绍了分布的胎紧(tight)性质以及由解生成的Markov半群的不变测度等重要概念．第二章研究一维复Ginzburg—Landau格点系统在满足平移不变性的白噪声驱使下的渐近行为．平移不变性是统计力学中对粒子相互作用的基本假设，这种假设下系统在通常的Hilbert空间中的解无法定义。
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随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。
格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。
吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。
对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。
本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的
Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。
首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。
第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。
本文的研究工作由两部分组成。
第一部分内容由第三、四章构成。
第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。
得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。
而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。
也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。
第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。
通过引入加权
范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。
特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
第二部分由第五、六章构成。
本部分在R．Temma所构建的无穷维动力系统理论框架的基础上，对一维KGS 无穷格点系统与高维耗散的Zakharov无穷格点系统进行了研究。
通过引入加权内积与新范数以及应用“Tail End”建立了对方程解的一致估计，克服了无界区域内Sobolev紧嵌入的缺乏而带来的困难，分别证明了全局吸引子的存在性；在目前还无法找到有效的方法来估计格点系统的吸引子的维数的。