第四章 动态系统的典范表达式
自控原理(第四章)
根轨迹方程实质上是一个向量方程，直接使用很不方 便。考虑到：
1 1e j ( 2k 1) ; k 0, 1, 2,
因此，根轨迹方程 (4-8) 可用如下两个方程描述：
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
m
n
k 0, 1, 2,
i 1
（4-9）
和
K*
s pi s zj
j 1 i 1 m
n
（4-10）
方程 (4-9) 和 (4-10) 是根轨迹上的点应该同时满足 的两个条件；前者称为相角条件；后者叫做模值条件。 根据这两个条件，可以完全确定 s 平面上的根轨迹 和根轨迹上对应的 K* 值。应当指出，相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨 迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各 点的K* 值时，才使用模值条件。
3）闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增 益 K * 均有关。
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、 极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出闭 环极点。 一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难 确定，因为闭环零点可由式(4-6)直接得到。在已知闭环 传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反 变换的方法求出。
(s z j )
1
（4-8）
( s pi )
式中， z j 为已知的开环零点； pi 为已知的开环极点， K *从 零变到无穷大。我们把式 (4-8) 称为根轨迹方程。
根据式 (4-8)，可以画出当 K * 从零变到无穷时，系 统的连续根轨迹。应当指出，只要闭环特征方程可以化 成式(4-8)形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位 的实参数，不限定是根轨迹增益 K * ，也可以是系统其它 变化参数。
系统动态特性分析
系统动态特性分析。
（1）时域响应解析算法――部分分式展开法。
用拉氏变换法求系统的单位阶跃响应，可直接得出输出c(t)随时间t 变化的规律，对于高阶系统，输出的拉氏变换象函数为：sden num s s G s C 11)()(⋅=⋅= （21） 对函数c(s)进行部分分式展开，我们可以用num,[den,0]来表示c(s)的分子和分母。
例 15 给定系统的传递函数：2450351024247)(23423+++++++=s s s s s s s s G用以下命令对ss G )(进行部分分式展开。
>> num=[1,7,24,24] den=[1,10,35,50,24][r,p,k]=residue(num,[den,0])输出结果为r= p= k=-1.0000 -4.0000 [ ] 2.0000 -3.0000 -1.0000 -2.0000-1.0000 -1.00001.0000 0输出函数c(s)为： 0111213241)(+++-+-+++-=ss s s s s C 拉氏变换得： 12)(234+--+-=----t t t te e e et c（2）单位阶跃响应的求法：控制系统工具箱中给出了一个函数step()来直接求取线性系统的阶跃响应，如果已知传递函数为：dennums G =)( 则该函数可有以下几种调用格式：step(num,den) (22) step(num,den,t) (23)或step(G) (24)step(G,t) (25)该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图，同时给出稳态值。
对于式23和25，t 为图像显示的时间长度，是用户指定的时间向量。
式22和24的显示时间由系统根据输出曲线的形状自行设定。
如果需要将输出结果返回到MATLAB 工作空间中，则采用以下调用格式：c=step(G) (26) 此时，屏上不会显示响应曲线，必须利用plot()命令去查看响应曲线。
孙炳达 自动控制原理第4章
D(s) Kg N(s) 0
K g1 2.74
j
K g 2 0.06
S1=-1.67 Kg1=2.74
σ
S1=-0.33 Kg1=0.06
15
7.渐近线
根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远的直线。
（1）渐近线条数：n-m条 （2）渐近线会与实轴交于一点(交点)： 坐标为（-σ，j0）
n
m
( p0 ) (z j )
去判断；系统静态性能，由“系统型号” 即开环极点的个数和放大系数值决定， 在根轨迹图中“坐标原点上的开环极点个数”，就反映了“系统型号” ；利用根轨 迹分析动态特性时，往往采用“闭环主导极点”的思想，即认为系统的性能主要 由一对“闭环主导极点” 来决定，从而利用二阶系统相关的公式去分析或综合 系统。下面通过例题说明。
1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了 求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定 常系统的一种图解方法。
2
第一节 根轨迹的基本概念
定义: Gk(s)的某个参数由0→∞时，系统的闭环特征根在S平 面上的变化轨迹。
例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出K由0→∞时的根轨迹。
5
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但 最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）
Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说， 解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。
6
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
i1
j 1
nm
180 (2k 1) nm
16
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。
自动控制原理教学课件-第4章
根轨迹与虚轴交点为 s1,2 j 2 ,求交点处的临界值 k c 及对应的第三个闭环极点
解:
n-m≥2： 3
3
由根之和 sj pj 0123
j1
j1
s 3 3 s 1 s 2 3 j2 j2 3
即闭环第三个特征根为-3 开环有零值极点： 由根之积得 (s1)(s2)(s3)kcb0
121
p3
通信技术研究所
23
该系统的起始角终止角及根轨迹如图所示
Root Locus 3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-5
-4.5 -4
-3.5 -3
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5
0
Real Axis
通信技术研究所
24
8、根轨迹和虚轴的交点： 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环
1 k
j1
相角条件（充要条件）：
m
n
(s zi) (s p j) (2 h 1 ),h 0 , 1 , 2 ...
i 1
j 1
其中 (s： zi)为从开环 zi到 有 s点 的 限向 零量 点角
(spj)为从开p环 j到 s的 极向 点量角 在测量相角时规定以逆时针方向为正。
通信技术研究所
p2
通信技术研究所
14
5、根轨迹的会合点和分离点
若根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。
k
b
k k0 k0 z p2 ap1
GK(s)
k(s+5) (s1)(s4)
如图所示某系统的根轨迹，由
开环极点 p1, p2 出发的两支
动态分析计算公式
动态分析计算公式动态分析计算公式是一种用于估计或预测系统行为的方法。
它通过建立数学模型，使用不同的变量和参数，来描述系统在不同条件下的响应和动态行为。
这些模型可以用于分析和优化各种系统和过程，如控制系统、物理系统和经济系统等。
在动态分析计算公式中，通常使用微分方程或差分方程来描述系统的行为。
这些方程可以通过实验数据或系统特性来确定参数和变量的数学关系。
根据问题的具体情况，可以采用不同的建模技术和数学工具，如线性系统分析、非线性系统分析、离散事件系统分析等。
以下是一些常用的动态分析计算公式：1.一阶线性系统的动态响应公式：通常使用微分方程来描述一阶线性系统的动态响应，其一般形式为：dy/dt + a*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a和b是系统的参数，t表示时间。
2.二阶线性系统的动态响应公式：二阶线性系统的动态响应可以由二阶微分方程来描述，其一般形式为：d^2y/dt^2 + a1*dy/dt + a0*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a0、a1和b是系统的参数，t表示时间。
3.离散事件系统的状态转移公式：对于离散事件系统，其状态转移可以由差分方程来描述，其一般形式为：x(k+1)=f(x(k),u(k))其中，x(k)表示系统在第k个时刻的状态，u(k)表示系统在第k个时刻的输入，f是系统的状态转移函数。
4.控制系统的传递函数：控制系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的重要工具，其一般形式为：G(s)=Y(s)/U(s)其中，G(s)是系统的传递函数，Y(s)和U(s)分别是系统的输出和输入的拉普拉斯变换。
5.系统的频域响应公式：系统的频域响应可以通过系统的传递函数和输入信号的频谱进行计算，其一般形式为：Y(w) = G(jw) * U(w)其中，Y(w)和U(w)分别是系统的输出和输入的频谱，G(jw)是系统的传递函数的频域表达式。
以上仅仅是动态分析计算公式的一些常见例子，实际应用中还会根据具体问题和系统特性进行调整和扩展。
动态系统的建模和求解
动态系统的建模和求解动态系统是指随着时间变化而变化的系统。
建模和求解动态系统是一种重要的技术，可以用于预测系统的行为、优化系统的性能以及设计控制策略。
本文将介绍动态系统的建模方法和求解技术。
一、动态系统的建模方法建模是将实际系统抽象成数学模型的过程。
对于动态系统，建模的关键是描述系统的演化规律。
以下是常用的动态系统建模方法：1. 微分方程建模微分方程是描述动态系统中变量之间关系的数学工具。
通过将系统的演化规律表示为微分方程，可以求解系统的状态随时间的变化。
常见的微分方程建模方法包括基于物理定律的建模、经验模型的建模以及系统辨识方法等。
2. 差分方程建模差分方程是离散时间下描述动态系统的数学工具。
对于一些离散事件系统或者时间步长较大的系统，差分方程建模是一种有效的方法。
例如，递推关系式和迭代算法都可以表示为差分方程。
3. 状态空间建模状态空间是描述动态系统状态演化的一种数学工具。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一组状态变量，并通过状态方程和输出方程描述状态变量之间的关系。
状态空间建模方法适用于多变量系统和控制系统设计。
二、动态系统的求解技术求解动态系统的目的是获得系统状态随时间的解析解或数值解。
以下是常见的动态系统求解技术：1. 解析解法对于一些简单的动态系统，可以通过解析方法求解其解析解。
例如，利用微分方程的性质，可以通过积分的方法求解一阶线性微分方程。
2. 数值解法对于一般的动态系统，往往难以得到解析解。
数值解法通过将系统的演化过程离散化，将微分方程或差分方程转化为差分方程或代数方程组，并通过数值算法逼近其解。
常见的数值解法包括龙格-库塔方法、欧拉法、变步长法等。
3. 仿真方法仿真方法可以通过计算机模拟系统的演化过程，以获取系统的状态随时间的信息。
使用数值积分方法，可以模拟连续时间系统的演化；使用离散事件模拟方法，可以模拟离散时间系统的演化。
三、应用案例动态系统的建模和求解技术在各个领域都有广泛应用。
电力系统自动装置原理-第04章_同步发电机励磁自动控制系统的动态特性(1-2)
• 分离角和汇合角恒等于90。
29
根轨迹的渐近线
• 若开环有限极点数n >开环有限零点数m，则将有 nm条根轨迹分支沿着渐近线伸向无穷远处。渐近
线与实轴的交点和交角分别为：
交点
n
m
pj zi
a j1
i1 (n m)
交角 = (2k+1) /(nm) ( k = 0, 1, 2, nm1 )
第四章 同步发电机励磁自动控制系统的动态特性
1
第1节 概述
一、同步发电机励磁自动控制系统动态特性应满足 的基本要求
二、同步发电机励磁自动控制系统的动态特性指标
2
动态特性应满足的基本要求
①控制系统应能稳定运行（自身空载和带载情况下稳 定运行、对电力系统的稳定运行具有积极作用或负 面影响较弱不致影响电力系统的稳定运行）；
②动态特性要良好。
3
动态特性指标
①励磁电压响应比：励磁电压在最初0.5秒内上升的平均速率。
②由励磁电压响应曲线定义的指标：发电机空载、额定转速条 件下，突然加入励磁使发电机端电压从零升至额定值时的时间
响应曲线的上升时间（tr）、超调量（p）和调整时间（ts）可
以作为动态特性指标 。
上升时间（tr）：由稳态值的10%上升到90%（或5%至95%或 0%至100%）的时间 。通常，对欠阻尼二阶系统，取0%至 100%；对过阻尼二阶系统， 取10%至90% 。
19
第3节 励磁自动控制系统的稳定性
一、概念回顾 二、励磁控制系统空载稳定性分析 三、励磁控制系统空载稳定性的改善
20
概念回顾
1．基本概念 ①控制理论分类 ②古典控制论的分析方法 ③根轨迹的定义 ④根轨迹的求取方法 2．根轨迹的直接作法（设以开环放大倍数K为参变量） 作图规则包括：
动态控制原理范文
动态控制原理范文动态控制原理是一种用于描述动态系统行为的原理。
动态系统是指随时间变化的系统，例如，机械系统、电气系统、化学反应系统等。
动态控制原理主要包括了动态系统建模、传递函数、频域分析、稳定性分析、性能指标和控制器设计等方面。
动态系统建模是研究动态系统行为的第一步。
它通过对系统的输入和输出之间的关系进行数学建模，以描述系统的动态特性。
常用的建模方法有物理模型、状态空间模型和传递函数模型等。
物理模型是根据系统的物理特性，通过运动方程或能量守恒等原理，建立系统的微分方程。
状态空间模型是将系统的状态量表示为一组状态变量，通过矩阵形式的状态方程描述系统的动态行为。
传递函数模型是通过输入输出的关系，用复频域函数表示系统的行为。
传递函数是描述动态系统输入输出关系的一种重要工具。
它通过对系统的输入信号和输出信号之间的关系进行数学表达，反映系统对输入的处理过程。
传递函数通常采用Laplace变换来表示系统的动态特性。
传递函数包含了系统的极点和零点，可以通过分析传递函数的性质来了解系统的稳定性、阻尼特性、动态响应速度等信息。
使用传递函数可以方便地进行频域分析和控制器设计。
频域分析是动态控制原理中的一个重要方法。
它通过将系统的输入和输出信号进行频谱分析，研究系统对不同频率的输入信号的响应特性。
常见的频域分析方法有傅里叶变换、拉普拉斯变换、频率响应函数等。
频域分析包括幅频特性分析、相频特性分析和极坐标表示等，可以用来描述系统的幅频特性、相频特性和稳定边界等特性。
稳定性分析是动态控制原理中一个重要的研究方向。
稳定性分析主要研究系统是否具有稳定性、渐进稳定性以及稳定边界等特性。
常用的稳定性分析方法有根轨迹法、Nyquist稳定判据、频率响应法等。
稳定性分析可以用来确定系统的稳定域，以及给出设计控制器的参数范围。
性能指标是评价控制系统质量的标准。
常见的性能指标包括超调量、响应时间、稳定精度、系统增益等。
这些指标可以反映系统的控制性能，用于对比不同控制器的优劣，并进行系统设计和调优。
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2、状态空间模型
❖ 考虑一个单输入－单输出线性定常系统，用如下高 阶微分方程描述：
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
❖ 为便于讨论，引入微分算子符号 p d / dt，则上式可 表示为
y
bm p m bm1 p m1 b1 p b0 p n an1 p n1 a1 p a0
y b0 x1 b1 x2 bm xm1
❖ 令 x x1, x2 , , xn
❖ 则有
0
.
x
0
a0
1
a1
0
1
x
u 0
an1
1
y b0 , ,bm ,0, ,0x
❖ 则系统的状态空间方程为
.
x
Ax
Bu
y Cx Du
❖ 将上式离散化，则有线性定常确定性离散系统的 状态方程：
❖ 此处AR表示自回归部分（Autoregressive）,即模 型中 A(z 1) y(k) ；MA表示滑动平均部分（Moving Average），模型中 C(z1) (k) ；x表示外界输入， 即 B(z 1)u(k)
❖ 假设 u(k) 0 则有
A(z 1 ) y(k) C(z 1 ) (k)
1、线性系统的差分方程
❖ 1）单输入－单输出系统
❖ 可用下列n阶差分方程表示
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n)
❖ 或写成
n
n
y(k) ai y(k i) bi y(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：tk 表示第k个时刻；ai (i 1,2, , n) 和 bi (i 1,2, , n) 都是常系数。
❖ 采用典范差分方程，需要辨识的参数数目将比上述 数目少得多。
3）随机模型
❖ 设 { (k)} 是白噪声序列，则下述随机差分方程称 为外源自回归滑动平均（ARMAX）模型
A(z 1 ) y(k) B(z 1 )u(k) C(z 1 ) (k)
❖ 式中
A(z 1 ) a0 a1 z 1 an z n B(z 1 ) b0 b1 z 1 bn z n C(z 1 ) c0 c1z 1 cn z n
❖ 系统需要辨识的参数数目为
N n2 nr mn mr (n m)(n r)
3、确定性典范状态方程
❖ 主要有可控型典范状态方程和可观测型状态方程。
❖ 对于单输入－单输出系统来说，非典范状态方程
的参数可达
个，而典范状态方程的参数仅
为2n个。 n2 2n
第四章 动态系统的典范表达式
❖ 经典控制理论中常用的模型有：传递函数和差分方 程。
❖ 待估参数
❖ 待估结构参数
❖ 根据节省原理，可辨识的模型结构中，未知参数较 少的模型结构将有较高的模型精度。
❖ 同时，未知参数越少，进行参数估计时运算就越简 单。
❖ 典范状态方程和典范差分方程。
❖ 优点：可用较少的或最少的参数数目表征系统的动 态特性。
u
❖ 假设 m n
❖ 将上式改写为
~
y
pn
1 an1 p n1 a1 p a0
u
y
bm p m bm1 p m1 b1 p b0
~
y
❖ 或将其表示为如下形式
~ (n)
~ (n1)
~ (1)
~
y an1 y a1 y a0 y u
y
bm
~ (n)
y bm1
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k) Du (k)
❖ 式中：x(k) 为n维状态向量，u(k)为r 维输入向量或控 制向量；y(k)为m维输出向量或观测向量；A为 n n 系统矩阵，B为 n r 输入矩阵；C为 m n 输出矩 阵；D为 m r 输入－输出矩阵。
❖ 为了简化表示，引入单位延时算子 z1 ，其定义为
z 1 y(k) y(k 1)
❖ 设多项式
a(z 1 ) 1 a1z 1 an z n b(z 1 ) b0 b1z 1 bn z n
❖ 则方程式（1）或（2）可表示为
a(z 1 ) y(k) b(z 1 )u(k)
❖ 上式就是系统辨识中经常采用的基本方程。 ❖ 需要辨识的参数数目为： N 2n 1
（7）
❖ 称为自回归滑动平均（ARMA）模型 ❖ 假设上式中 A(z 1) 1则有
y(k) C(z 1 ) (k)
❖ 称为滑动平均（MA）模型。 ❖ 假设（7）中，C(z 1) 1 ，则有
A(z 1 ) y(k) (k)
❖ 称为自回归（AR）模型。
❖ 对于计算机控制系统，由于经常存在随机干扰， 所以ARMAX是最基本的数学模型。
2）多输入－多输出系统
❖ 设系统有r个输入和m个输出，定义向量
u1 (k) u(k) u2 (k)
y1 (k) y(k)来自y2(k)
ur (k)
y
r
(k
)
❖ 分别为系统的输入和输出向量，则系统可用差分
方程表示
n
n
y(k) Ai y(k i) Biu(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：Ai 为 m m 矩阵，Bi 为 m r 矩阵。
❖ 引入单位时延算子 z1 ，则上式可表示为
A(z 1 ) y(k) B(z 1 )u(k)
❖ 式中
A(z 1 ) I A1z 1 An z n B(z 1 ) B B1z 1 Bn z n
❖ 需要辨识的参数数目为
N n m m (n 1) m r nm2 (n 1)mr
~ (m1)
y
b1
~ (1)
y b0
~
y
❖ 选取状态变量为
~
~ (1)
~ (n1)
x1 y, x2 y , , xn y
❖ 于是，由此可得到
.
~ (1)
x1 y x2
.
~ (2)
x2 y
x3
.
~ (n1)
x
n
1
y
xn
.
x
n
a0 x1 a1 x2
an1 xn
u
❖和