第一章 控制系统的状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论(刘豹)第一章
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
控制系统的状态空间表达式
式中：x
x2
xn
CT c1 c2 cn
a11
a12
a1n
A
C
若矩对阵caac122n于形1111 一式个 为ccaa多12n22222输入多 输出系ccaa12统n2nnnn， 其m状n态nn空维维间输系表出统 达矩式矩阵的阵
非线性状态方程不可能写成（1-1）的形式，只能一般地表示为：
x f (x, u, t),
其中 f 是 n 维函数列向量。上式也可展开写成
x
1
f1 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
x 2
f 2 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
出方程
输出量：系统需要着重研究的受控量。
输出量的数目不限，而且可以选择某些受控量的线性组 合作为输出量，或是输出量与受控量的线性组合。
在例1-1中，若指定Uc为输出量，即：u=Uc=X1，
则有输出方程：
y 1
x1
0
x2
或 y CT x ; CT 1 0
x n f n (x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, ul ; t)
三、状态空间表达式的系统方块图 参见课本P14
四、状态空间表达式的模拟结构图
与状态空间系统方块图不同，模拟结构图反映的是系统各状态变量 之间的信息传递，而方块图表示的是系统整体信号传递的关系。状 态空间的模拟结构图有助于系统的状态空间表达式的建立。
现代控制理论知识点汇总
１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
第1章控制系统的状态空间表达式
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定 ） （2）状态变量选取的非惟一性 ） 在前面的例子中， 在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 = uC 则其状态方程为
& x1 0 x = − 1 & 2 LC 1 x 0 R 1 + 1 u − x2 L LC
而有： 而有：
d & (sin θ ) = (cos θ ) ⋅ θ dt
d2 & & (sin θ ) = (− sin θ ) ⋅ θ 2 + cos θ ⋅ θ& dt2
d & (cos θ ) = (− sin θ ) ⋅ θ dt
d2 & & (cos θ ) = (− cos θ ) ⋅ θ 2 + (− sin θ ) ⋅ θ& dt2
x1 x x = 2 M xn
a11 L a1n A= M M an1 L ann n×n
c11 L c1n M C = M cm1 L cmn m×n
b11 L b1r M B= M bn1 L anr n×r
电枢回路的电压方程为 diD LD + RD iD + K eω = u D dt dω 系统运动方程式为
K m i D − fω = J D
dt
为电动势常数； 为转矩常数； （式中， K e 为电动势常数； K m 为转矩常数； J D 为折合到电动 式中， 机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。） 机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
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输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之
间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到 时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又
称为状态空间表达式 。一般形式为
c21
c12 c22
cm1 cm2
c1n
c2n
,
cmn
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
d11
D
d21
d12 d22
dm1 dm2
d1r
d2
r
,
dmr
m r维前馈矩阵,又称为直接传递矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
1.1 状态变量及状态空间表达式
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
观测y 反馈控制
被控过程
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器 组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
1、输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵。
由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶 微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选 取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描
述也具有非唯一性。
SISO线性定常系统的状态空间描述： 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为
阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量
y
q
写出状态矩阵 A、控制矩阵 B、输出矩阵 C、直接传递矩阵 D :
a11 a12 a1n
A a21
a2
an1
an2
ann
b11 b12 b1p
B b21
b22
b2
p
bn1 bn2
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1rur y2 a21 x1 a22 x2 c2n xn d21u1 d22u2 d2rur ym cm1 x1 cm2 x2 cmn xn bm1u1 dm2u2 dmr ur
线性系统的结构图 ：线性系统的动态方程常用结构图表示。
图中，I为( n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
注意：
1、状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组 数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理 上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的 一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
写成矩阵形式有： x Ax Bu y Cx Du
其中：x x1 x2 xn T , n 1维状态矢量
u u1 u2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
ur T , r 1维输入矢量
a1n
a2
n
,
ann
2、用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态 空间描述。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合：
（1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学 表达式称为状态方程。
（2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的 函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入 变量的因果关系。
本章要求
要求理解及掌握内容： 控制系统的状态空间表达式及其建立；状态向量
的线性变换；从状态空间表达式求传递函数阵。 要求了解内容：
离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空 间表达式。 难点：
由传递函数建立状态空间表达式。
系统描述中常用的基本概念
• 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间描述
例1 画出一阶微分方程的状态结构图。
再以三阶微分方程为例： 将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成
同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构 图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。
下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一）
建立状态空间表达式的三个途径： 1、由系统框图建立 2、由系统物理或化学机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
绪论 第一章 控制系统的状态空间表达式 第二章 控制系统状态空间表达式的解
第三章 线性控制系统的能控性和能观性 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 第五章 线性定常系统的综合 第六章 最优控制
第1章 控制系统的状态空间表达式
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态矢量的线性变换（坐标变换） 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
y c1x1 c2 x2 cn xn du
式中常系数 a11，L ，ann；b1，L , bn c1，L ，cn；d 与系统特性有 关。
上面2个方程可写成矩阵形式： x Ax bu
y cx du
式中：
x
x1
xM2 :
xn
n维状态矢量，A
a11 a21
L
an1
a12 a22 L an 2
L L L L
a1n
a2
n
:系统矩阵，
L
ann n×n矩阵。
x&1
x&
x&2
M
x&n
b1
b
b2
:输入矩阵，n×1列矩阵。
M
bn
y
x1 y
图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择
积分环节后的变量为状态变量），则有：
x1
k3 T1
x2
x2
1 T2
程，输出方程是向量代数方程。例如，线性连续时间系统动态方 程的一般形式为
x&(t) A(t) x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
线性定常系统：线性系统的A，B，C，D或G，H，C，D中
的各元素全部是常数。即
或离散形式
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
常用符号： 积分器
比例器
ki
加法器
注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为“－”
系统框图：
U
B
D
•
X
A
X C Y
X•
AX
BU
Y CX DU
• 状态空间描述的结构图绘制步骤： ⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。 ⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器； ⑶用箭头将这些元件连接起来。
一、由系统框图建立状态空间描述
1、由系统框图建立
［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换 ［例1］：系统框图如下：
u
k1
T1s 1
k2 T2 s 1
k3 T3 s
等效变换如下：
u
k1
T1
x3
x3 k2
T2
k4
x2
x2 k3 x1
T3
1
1
T1
T2
k4
x&(t) f x(t), u(t), t
或离散形式
y(t) g x(t), u(t), t
x(tk1) f x(tk ), u(tk ), tk
y(tk ) g x(tk ), u(tk ), tk
线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方
bnp
c11 c12 c1n
C c21
c22
c2n
cq1
cq2
cqn
d11 d12 L d1p
D
d21 M
d22 M
L
d2
p
M
dq1 dq2 L
dqp
为书写方便，常把连续系统和离散系统分别简记为S(A,B,C,D) 和S(G,H,C,D)。
c c1，c2，L ，cn :输出矩阵，1×n行矩阵。
d:直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前 馈系数或直接传递矩阵。
MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述 状态空间描述为：
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21 x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur