03-04第1学期文科数学A
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
叫做极点;自极点O引一条 射线
再选定一个 长度
(通常取 弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个 角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念与运算
A∪B={x|x∈A,或 x
合 B 的元素所组成的集合
∈B}
由全集 U 中不属于集合 A 的
∁UA={x|x∈U,且
x∉A}
所有元素组成的集合
Venn 图
微点拨1.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的
条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
2.集合运算的基本性质
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
集合 A 中 任意一个元素 都是集合 B
子集
中的元素
若 x∈A,则 x∈B
符号
表示
A⊆B
(或B⊇A)
真子
如果集合 A⊆B,但存在元素x∈B,且
A⫋B
集
x∉A,就称集合 A 是集合 B 的真子集
(或B⫌A)
Venn 图
或
关系
符号
自然语言
如果集合 A 是集合 B 的 子集
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简
单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求
给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.
衍生考点
核心素养
1.集合的含
义与表示
2.集合间的
1.直观想象
基本关系
2.逻辑推理
3.集合的基
3.数学运算
本运算
4.集合的新
定义问题
(3)A={x|x2+6x+8≤0}={x|-4≤x≤-2},B={x|x<a},因为A⊆B,所以实数a的取值
范围是(-2,+∞).
规律方法 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第1章集合与常用逻辑用语 第3节 命题及其关系、充要条件 (2)
(2)本例3条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?如果存在,
求出m的值,如果不存在,请说明理由.
解:(1)由例题知P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的充分不必要条件,∴P⇒S且S
P.
∴[-2,10]⫋[1-m,1+m].
1- < -2,
1-
≤
-2,
∴
或
1 + ≥ 10,
1 + > 10
∴m≥9,则m的取值范围是[9,+∞).
(2)不存在.理由如下:由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,
则P=S,
= 3,
1- = -2,
∴
∴
这样的 m 不存在.
1 + = 10, = 9,
去判断.
常用结论
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.
(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分
(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
2.若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则
第一章
第三节 命题及其关系、充要条件
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及
其逆命题、否命题与逆否命题,
会分析四种命题的相互关系.
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算
角形的问题,可考虑利用向量知识来求解
对点训练2(2021云南昆明一中高三月考)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,
且a-b=c,则a,b的夹角为
.
答案:60°
解析:设 a=,b=,则 c=a-b=,
则 a,b 的夹角为∠AOB,如图.
||
||
2.向量的线性运算
向量运算
加法
定义
求两个向量
和的运算
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减去一个向
减法
量相当于加
上这个向量
的相反向量
a-b=a+(-b)
向量运算
数乘
定义
法则(或几何意义)
|λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方
形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对
应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、
合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.
对点训练 3(2021 河南新乡二模)在△ABC 中, =
又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则| |=||, ∥ 且, 方向相同,因此 = .
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题(含解析)
四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________． ．． ．．已知实数,x y 满足x a ，则下列关系式恒成立的是（．221111x y >++ln 2(1)x +＞ln 2(yA ．14B ．128．已知函数()sin(4)(0f x A x ϕ=+<于直线π24x =-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间A ．12B ．1二、填空题三、解答题(1)求证：AP CP ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合参考答案：8．C【分析】根据已知条件求得求法求得正确答案.sin πA ϕ⎧=⎪因为M 为双曲线右支上一点，设12,MF m MF n ==，则m -故222224,m n mn a m +-=∴+在12F MF △中，2121|||F F MF =15．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值【详解】解：如图，设()11,,A x y B y y -317．（1）见解析（2）n T =【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：{}n a n -是首项为2，公比为19．(1)可以用线性回归方程模型拟合(2)5722ˆyx =-，种子的发芽颗数为【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；。
2022-2023学年高三文科数学上学期第一次月考试卷(A卷)含答案与解析
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2022-2023学年高三上学期第一次月考试题数学（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：集合、简易逻辑、函数、导数、三角、向量。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}}20,ln 1A xx mx B x x =-<=<∣， 若B A ⊆， 则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,e] B ．[e,e]- C ．[e,)+∞ D ．(,e]-∞2．ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正六边形ABCDEF 中，对角线BD ，CF 相交于点P .若AP x AB y AF =+，则x y += ( ) A ．2B ．52C ．3D ．724．下列函数中最小正周期为π的函数的个数（ ）①|sin |y x =；②cos(2)3y x π=+；③tan 2y x =A ．0B ．1C ．2D ．35．函数()f x 与x x g )67()(-=图像关于直线0x y -=对称，则2(4)f x -的单调增区间是（ ） A ．(0,2)B ．(2,0)-）C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞6．把函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移(0)a a >个单位长度，得到函数cos y x =的图象，则a 可以是（ ） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 7．在平面直角坐标系中，角α的终边过点()3,1P -，角β的终边与角α的终边关于直线y x =对称，则()cos βα-=（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．458．设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解9.已知函数()sin f x x x =-，12,0()e ,0x x x g x x -+≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则12x x +的最大值是（ ） A ．0B ．2C ．1ln2+D ．42ln 2+10．已知向量a b c ，，为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得c a -与c b -所成夹角为60︒，则c 的最大值为（ ） A ．31+B ．3C ．1D ．71+11．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =-12．已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………C ．b a c >>D ．a b c >>第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2,P y y x x =≥∈R ，{}2,xQ y y x ==∈R ，则P Q =_______.14．已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____.15．已知函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则实数ω的取值范围为______.16．在ABC 中，()2ABCcSa b =-，其外接圆半径2R =，且()()224sin sin 3sin A B a b B -=-，则sin sin 22A B C-+=___________三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）.已知函数()()21sin 3sin cos R 2f x x x x x =+-∈.(1)若函数()f x θ+的图象过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求θ的值；(2)若()223f α=，且π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求5πsin 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18（12分）．设函数()32f x x ax bx =++，()f x 在1x =处的切线方程为43y x =-.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[]1,1-上的单调区间和最值.19（12分）．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(3sin 2cos )sin (2sin sin )cos C A B A C B -=-. (1)求B 的大小；(2)若2243a c +=+，ABC 的面积为334+，求ABC 的周长.20（12分）．已知函数()2ln af x x x=+，a R ∈． (1)当4a =时，求f （x ）的单调区间；(2)设函数()()2f x g x x-=，若g （x ）在()21,e 上存在极值，求a 的取值范围．21（12分）．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示.小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道匀速运动到某点E 处，经弹射后，以6v 的速度沿EO 的方向匀速运动到BC 上某点F 处.设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T .(1)试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； (2)当θ满足什么条件时，时间T 最短.22（12分）．已知函数2251()e 2,()163x f x x x g x x x =--=--+．(1)设()()()h x f x g x =-，求()h x 在[1,0]- 上的最大值；(2)当11x -≤≤时，求证：1761e ()630f x -≤<．…………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………文科数学·全解全析1．【答案】C【分析】讨论m 的取值，写出A ，使其满足条件即可.【详解】0m >时，()0,A m = ，()0,e B = ，B A ⊆，所以e m ≥，即[)e,m ∈+∞； 0m <时，(),0A m = ，()0,e B = ，B A ⊆不可能；0m =时，A =∅ ，()0,e B =，B A ⊆不可能.故选：C . 2【答案】C【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即sin sin A B > 若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a bA B=，得a b >，根据大边对大角，可知A B > 所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件 故选：C 3．【答案】B【分析】记正六边形ABCDEF 的中心为点O ，连接OB ，OD ，即可得到P 为OC 的中点，从得到32FP AB =，再根据向量加法法则及平面向量基本定理计算可得.【详解】解：如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O ，连接OB ，OD ， 显然OBC 和ODC △均为等边三角形，所以OB OD CD BC ===， 即四边形OBCD 为菱形，且P 恰为其中心，于是3322FP FO AB ==， 因此32AP AF FP AB AF =+=+，因为AP x AB y AF =+， 所以32x =且1y =，故52x y +=.故选：B 4．【答案】C【解析】利用三角函数的性质和周期公式逐个求解即可【详解】解：对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为π； 对于②，其周期为22T ππ==； 对于③，其周期为2T π=，所以共有2个函数的周期为π， 故选：C 5【答案】A【分析】根据题意求得(76)22l )4og (4()f x x -=--，利用二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 与x x g )67()(-=图像关于直线0x y -=对称， 可得函数()(76)log f x x -=，所以(76)22l )4og (4()f x x -=--，又由240x ->，即24x <，解得22x -<<，即2(4)f x -的定义域为()2,2-， 因为函数24y x =-在区间(2,0)-上单调递增，在区间(0,2)上单调递减， 又因为0761<，所以()(76)log f x x -=在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数2(4)f x -的单调增区间是(0,2). 故选：A. 6． 【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换得到sin 4y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得到sin cos 4x a x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，将该图象向左平移(0)a a >个单位长度，得到sin 4y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，所以sin cos 4x a x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，对于A 中，当8a π=时，sin sin 8cos 48x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 中，当4a π=时，sin sin cos 44x x x ππ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C 中，当π2a时，sin sin 2cos 44x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CCBCADBCCBBB………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………对于D 中，当34a π=时，sin sin 34cos 42x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确． 故选：D ． 7． 【答案】 B【分析】得到点P 关于y x =的对称点，即可求得sin ,cos ββ，再结合余弦的和差角公式即可得到结果. 【详解】由题意得角β的终边过点()1,3-，所以10310310sin ,cos ,sin 101010ααβ==-=-，10cos 10β=， 故()3cos cos cos sin sin 5βαβαβα-=+=-.故选:B. 8． 【答案】C【分析】由题设可得()f x 关于(1,0)-、1x =对称且周期为8，利用对称性和周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断(7)f x +奇偶性及()f x 在(6,8)上的单调性，由()f x 与lg y x =-交点情况，数形结合判断()lg 0f x x +=根的个数.【详解】由题设(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，即()(2)f x f x =---， (1)(1)f x f x +=-+，则()f x 关于1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以(2)(2)x x f f =----，则(2)(2)f x f x +=--，故()(4)f x f x =--， 所以(4)(8)f x f x -=--，即()(8)f x f x =-，故()(8)f x f x =+， 所以()f x 的周期为8，773313(2)()(2)()222224f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确；由周期性知：(1)(7)f x f x -=+，故(7)f x +为奇函数，B 正确；由题意，()f x 在(6,8)与(2,0)-上单调性相同，而(1,0)x ∈-上2()1f x x =-+递增，()f x 关于(1,0)-对称知：(2,1)x ∈--上()f x 递增，故(2,0)-上()f x 递增，所以()f x 在(6,8)上是增函数，C 错误；()lg 0f x x +=的根等价于()f x 与lg y x =-交点横坐标，根据()f x 、对数函数性质得：()[1,1]f x ∈-，lg121lg 6-<-<-， 所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D 正确.故选：C 9.【答案】C【分析】利用导数判断出函数()f x 在R 上递增，转化为存在t ，使得()g x t =有两个相异实根， 作出函数()y g x =的图象，结合图象有12ln 1x x t t +=+-，设()ln 1t t t ϕ=+-，再利用导数可得答案. 【详解】由于()1cos 0f x x '=-≥，故函数()f x 在R 上递增，又(())f g x m =-有两个相异实根，所以存在t ，使得()g x t =有两个相异实根， 作出函数()y g x =的图象，如图所示： 由图以及题意可知，1,2e t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，由()t g x =，解得12x t =-，2ln 1x t =+，即有12ln 1x x t t +=+-， 设()ln 1t t t ϕ=+-，1,2e t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得11()10t t t t ϕ+'=+=>， 所以()t ϕ在1,2e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，max ()(2)ln 21t ϕϕ==+．故选：C.10． 【答案】B【分析】设,,OA a OB b OC c ===，由题设易得，60AOB ACB ∠=∠=︒，OAB 为正三角形，则可构建两等圆，分别为OAB 、ABC 的外接圆，即可由圆的性质得到OC 最长的位置 【详解】∵21a b a b ==⋅=，∴a b ，的夹角为60︒．设,,OA a OB b OC c ===，则c a AC c b BC -=-=，，60AOB ACB ∠=∠=︒．∴OAB 为正三角形，如图所示，作OAB 的外接圆E ，∵60AOB ACB ∠=∠=︒，故ABC 的外接圆F 与圆E 半径相等，点C 均在优弧ACB上，则由圆的性质，当OC 经过EF 时最长，即2cos303c OC OA ==⋅⋅︒=. 故选：B…………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………11． 【答案】B【分析】利用排除法，结合函数图及性质可得出答案. 【详解】解：对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==， 所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ； 对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-， 则()()cos πf x x x f x -==-，所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C. 故选：B. 12． 【答案】B【分析】观察0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x xf x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e x x g x x x x x x x '=-++-=-⋅-， 当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >， 所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111xh x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<， 令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <， 所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <，所以b c a <<. 故答案为：B.13【答案】()0,∞+.【分析】由二次函数和指数函数值域可求得集合,P Q ，由交集定义可得结果. 【详解】20x ≥，[)0,P ∴=+∞；20x >，()0,Q ∴=+∞；()0,P Q ∴=+∞.故答案为：()0,∞+. 14．【答案】(],1-∞-【分析】根据p 是真命题可得()2min 1a x ≤+，再分析当q 是真命题时()min 12121a x >-=-=-，进而求得q 是假命题时a 的取值范围即可【详解】命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥恒成立，若p 是真命题， 则：()2min 12a x ≤+=，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立， 若命题q 为真命题， 则()min 12121a x >-=-=-. 所以命题q 是假命题时，1a ≤-， 综上，参数a 的取值范围为：1a ≤-， 即(],1a ∈-∞- 故答案为：(],1-∞- 15．【答案】416,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用余弦函数图象和性质，求得ω的范围.【详解】解：由函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，且π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令5π6x αω=-则5ππ5π,646αω⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故函数cos y α=在区间5ππ5π,646ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点所以ππ5ππ2462ω-<-≤，解得41633ω<≤. 故答案为：416,33⎛⎤⎥⎝⎦.16． 【答案】1【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解【详解】因为2R =，所以())224sin sin sin A B b B -=-)22a b bb ⇒-=-a ⇒因为()2ABCcSa b =-， 所以()sin sin 1ac bcbc A c a b A bc-=-⇒=, 进而有sin 1B ==，于是22sin sin sin cos 2222A B C A B A B --+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2sin cos 2222A BA B A B A B -+-+=++ ()()111cos cos sin sin 22A B A B A B =--+++-1sin sin sin sin A B A B =-+- ))11111⎛⎛=-+- ⎝⎭⎝⎭1=因为0π,0πA B C <-<<<， 所以sinsin122A B C-+=. 故答案为：117．【答案】(1)π4【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简()f x ，根据题意代入整理得cos20θ=，结合角θ的范围求解； （2）根据题意代入整理，以5π12α+为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号． （1） 因为()1cos21πsin 2226x f x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 所以()πsin 226f x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x θ+的图象过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2πππsin 2sin 2cos20362θθθ⎛⎫⎛⎫+-=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π0,2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()20,πθ∈，所以π22θ=，解得π4θ=.（2）因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ2,662α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.因为()πsin 26f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭π1cos 263α⎛⎫-== ⎪⎝⎭.所以5πππ1cos 2cos 2πcos 26663ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又25π5πcos 212sin 612αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25π2sin 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5π5π3π,12124α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5πsin 12α⎛⎫+=⎪⎝⎭. 18．【答案】(1)1,1.a b =⎧⎨=-⎩(2)单调递增区间为1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦，单调递减区间为11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，最大值为1，最小值为527-.【分析】（1）由题意先求()f x 的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立,a b 的方程求解即可. （2）求()f x 的导函数，确定函数的单调性，即可求函数()f x 在[]1,1-上的最值.（1）因为()32f x x ax bx =++，所以()232f x x ax b '=++，又()f x 的图象在1x =处的切线方程为43y x =-，所以()()12341143f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=-'⎪⎩解得1,1.a b =⎧⎨=-⎩ （2）由（1）可知，()()()2321311f x x x x x '=+-=-+， 则当11,3x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≤；当1,13x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦，单调递减区间为11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，…………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………又()1511,(1)1,()327f f f -===-，所以()f x 在[]1,1-上的最大值为1，最小值为527-. 19．【答案】(1)3B π=62332++【分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的大小.（2）利用三角形的面积公式结合题意求出,ac a c +的值，再由余弦定理求出b ，即可求出ABC 的周长. （1）因为(32cos )sin (2sin sin )cos C A B A C B -=-， 3sin 2cos sin 2sin cos sin cos C B A B A B C B -=-， 所以sin (3cos )2sin cos 2cos sin C B B A B A B +=+， 所以sin (3cos )2sin()C B B A B +=+， 因为sin (3cos )2sin C B B C +=， 因为sin 0C ≠，3cos 2B B +=，所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为ABC 33+133sin 2ac B += 因为3B π=，所以31ac =，因为2243a c +=632a c ++= 在ABC 中，由余弦定理得，222cos b a c ac B =+-(43)2(31)cos33π=+-+所以ABC 的周长为62332a b c ++++=.20．【答案】(1)减区间为()0,2，增区间为()2,+∞(2)()0,e【分析】（1）当4a =时，求出导函数，解不等式，即可得到结果；（2）利用极值的定义，结合二次求导即可得到结果. （1）当a ＝4时，()42ln f x x x =+，其定义域为()0,∞+，可得()f x '222424x x x x -=-=． 当()0,2x ∈时，()0f x '<，f （x ）单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，f （x ）单调递增．所以f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为()2,+∞． （2） 由()()222ln 2f x x a g x xx x x-==+-，()2e x ∈1,， 可得()g x '223322ln 2242ln 2x a x x x a x x x x ---=+-=． 设()42ln 2h x x x x a =--，则()h x '()422ln 22ln x x =-+=-， 令()0h x '=，即22ln 0x -=，解得x e =．当()1,x e ∈时，()0h x '>；当()2,x e e ∈时，()0h x '<．所以h （x ）在区间（1，e ）上单调递增，在区间()2,e e 上单调递减，且()142h a =-，()22h e e a =-，()22h e a =-，显然()()()21h e h h e >>，若g （x ）在()21,e 上存在极值，则满足()()20,0,h e h e ⎧>⎪⎨<⎪⎩解得0a e <<，所以实数a 的取值范围为（0，e ）． 21．【答案】(1)()11566sin T vv v θθθ=++，π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)当2cos 3θ=时，时间T 最短 【分析】（1）连接CO 并延长交半圆于M 可得π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，过O 作OG BC ⊥于G ，可得1sin OF θ=，进而求得小球从A 到F 所需时间； （2）由（1）()11566sin T vv v θθθ=++，再求导分析函数的单调性与最值求解即可. （1）连接CO 并延长交半圆于M ，则π4AOM COD ∠=∠=，故π4θ≥，同理可得3π4θ≤，………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………∴π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，π2GOF θ∠=-，∴11πsin cos 2OF θθ==-， 又AOE θ∠=，∴()11566sin T vv v θθθ=++，π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）()222221cos 6sin 5cos 6cos 5cos 656sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ---+'=-==， 令()0T θ'=可得26cos 5cos 60θθ--+=，解得2cos 3θ=或3cos 2θ=-（舍）.设02cos 3θ=，0π3π,44θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当0π4θθ≤<时，()0T θ'<，当03π4θθ<≤时，()0T θ'>，故函数()T θ在0π,4θ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在03π,4θ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴当0θθ=，()T θ取得最小值.故当2cos 3θ=时，时间T 最短. 22．【答案】(1)0； (2)证明见解析.【分析】（1）利用导数分析函数()h x 在区间[]1,0-上的单调性，由此可求得函数()h x 在区间[]1,0-上的最大值； （2）利用导数分析函数()f x 在[]1,1-上的单调性，可求得()min f x ，再由()6130f x <可证得所证不等式成立.（1）解：因为()()()21e 12xh x f x g x x x =-=---，则()e 1x h x x '=--，其中R x ∈，令()e 1x k x x =--，则()e 1xk x '=-，当0x <时，()0k x '<，此时函数()k x 单调递减，当0x >时，()0k x '>，此时函数()k x 单调递增，所以，()()00k x k ≥=，所以，()0h x '≥对任意的R x ∈恒成立，且()h x '不恒为零， 所以，函数()h x 在[]1,0-上单调递增， 所以，当[]1,0x ∈-时，()()max 00h x h ==. （2）证明：因为()25e 26xf x x x =--，则()5e 23x f x x '=--，令()5e 23x m x x =--，则()5e 3xm x '=-，当5ln 3x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当5ln 3x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，函数()m x 在51,ln 3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5ln ,13⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，因为5555ln ln 203333m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()010m =-<，()1110e 3m -=->，()111e 03m =-<，由零点存在定理可知，函数()m x 在区间()1,0-上必有一个零点0x ，且005e 203xx --=.所以005e 23xx =+.所以，当01x x -<<时，()0f x '>，当01x x <<时，()0f x '>， 所以，函数()f x 在()01,x -上单调递增，在()0,1x 上单调递减， 所以，()()(){}min 171717min 1,1min ,e e e 666f x f f ⎧⎫=-=+-=-⎨⎬⎩⎭，()()02200000max 551=e 22663x f x f x x x x x =--=--+，()01,0x ∈-.对称轴为015x =-，所以当015x =-时，161(530f -=，所以，()6130f x <， 综上所述，当11x -≤≤时，()1761e 630f x -≤<.。
四川省成都市郫都区2024届高三上学期第一次阶段考试文科数学试题
四川省成都市郫都区2024届高三上学期第一次阶段考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．228-B ．7．已知函数()2,x f x a x x⎧-⎪=⎨⎪⎩A ．(],1-∞-B ．8．已知33log 2a =，log b =A ．a c b<<B ．9．已知函数()y f x =的导函数（）A ．．C ．．10．给出定义：设()f x '是函数的导函数，()f x ''是函数y f =程()0f x ''=有实数解x x =为函数()y f x =的“拐点的三次函数3()f x ax bx =+拐点”，且该“拐点”也是函数二、填空题三、解答题(1)若F为BC的中点，求证：(2)若CD与底面ABC所成角为20．配速是马拉松运动中常使用的一个概念，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略是某次马拉松比赛中一位跑者的心率的散点图，图②是本次马拉松比赛的频率分布直方图.(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；(2)在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间及他能获得的名次.参考公式： y bxa =+ 中，121ni ni x nx yb nx==-=-∑∑ ， ˆay bx =-，其中x ，y 为样本平均值．21．已知函数()()21ln 02f x x a x a =+->.(1)当3a =时，试讨论函数()f x 的单调性；(2)设函数()f x 有两个极值点)112,x x x x <，证明：()()12ln 10f x f x a +>-.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[)()1sin 0,2πρθθ-∈．(1)求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 的交点（异于极点）的极径；(2)若曲线3C 的参数方程为πcos 6πsinx t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M 、N 两点，求线段MN 的长度．。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章导数及其应用 解答题专项 第1课时 利用导数证明不等式
-x
2
-e .
设函数 g(x)=xln x,则 g'(x)=1+ln x.
所以当
当
1
x∈(0,e)时,g'(x)<0;
1
x∈( ,+∞)时,g'(x)>0.
e
1
1
故 g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)的最小值为
1
1
g( )=- .
e
e
设函数 h(x)=xe
1
x+1+ -2x.
1
3
1
3-1-22
x+1+ -2x,h'(x)= − 2 -2=
2
当
1
1
x∈(0, )时,h'(x)<0,h(x)在(0, )上单调递减;
2
2
当
1
1
x∈( ,1)时,h'(x)>0,h(x)在( ,1)上单调递增;
2
2
1
1
∴h(x)≥h(2)=3ln2+1+2-1=2-3ln
x+ − >0.
e
e
设函数 g(x)=ln
1
2
g'(x)= − 2
e
2
1
x+e − e(x>0),只需证明
1
+
e
=
e (e-2)+e2
,
e2 e
g(x)min>0.
ln
令 h(x)=ex(ex-2)+ex2(x>0),则 h'(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,故 h(x)在(0,+∞)上单调
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03-04学年第一学期大学文科数学试卷(A)
使用班级：03111401-3，03131401-3，
基本要求：①卷面整洁，字迹工整。
②写出解题步骤。
60分）
1、（5分）求函数x
x y 21
2-=的定义域。
2、（15分）求下列极限： (1))1(lim x x x --+∞
→
(2)20cos 1lim x
x
x -→
(3)m n n n +∞→+)1
1(lim )(N m ∈
3、（20分）求下列函数的导数或微分：
(1)32
)32
(1x e
y x x ++=，求y '。
(2))1sin(2+=x y ，求)1(y '。
(3)x x x y ln sin ⋅⋅=，求dy 。
(4)6)10()(+=x x f ，求)0(f ''。
4、（10分）求下列不定积分：
(1)⎰-dx x
x 2
)1( (2)⎰
-dx x
x x
cos sin 2cos
5、（10分）求下列定积分：
(1)dx x x ⎰π
⋅20
2cos )(sin
(2)⎩
⎨⎧≤<≤≤=-311
0)(x e x x x f x ，求⎰03)(dx x f 。
20分）
1、（6分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=130********
10213A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=7513612379154257B ，且B X A =+2，求B X '。
2、（6分）利用行列式的性质计算行列式的值：3
21421431432
4321
=
D
3、（8分）用消元法求解线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-+=+-+-=+-+=-+-0
97154034705320253432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
20分） 1、（6分）一个口袋装有50个外形相同的球，其中有45个白球，5个红球，现“无放回”地从袋中取出3个球，求其中至少有一个红球的概率。
2、（5分）已知随机变量)1,0(~N ξ，则ξ的概率密度函数)(x ϕ= 。
3、（9分）从某班文科数学的期末考试成绩中，随机地抽取10名同学的成绩分别为：99，85，70，65，90，95，63，49，77，86
则样本容量n = ，样本均值x = ，样本标准差S = 。