§2.2.1 直接开平方法
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
直接开平方法
①
把方程①写成x =9， 这表明x是9的平方根， 因此 或 x 9 x 9 ， 即 x=3 或 x=-3．
这种解一元二次方程的方法，叫作直接开平方法．
例1 解4x2 -25=0.
解:
原方程可以写成 x2 25 . 4 直接开平方，得 x 25 或 x 25 , 4 4 即
x1 5 , x2 5 . 2 2
x2 36
-36=0.
2
解: 原方程可以写成
x 3
直接开平方，得
2
36
x 3 36 或 x 3 36 x1 6 3 x2 6 3
即
x1 3
或 x2 9
（4） 解9(1-2x) -16=0. . 解: 原方程可以写成
例2
解:
(x+1)2 -2=0.
原方程可以写成 = 直接开平方，得 x+1 或 解得 x+1 = =
2 -2
(x+1)2
2 ， .
.
x1= -1+ 2 ，x2= -1- 2 .
练习一
解下列方程： （1）9x2-49=0； （3）(x+3)2-36=0； （2）36-x2=0； （4）9(1-2x)2-16=0.
（1） 解9x2 -49=0.
解: 原方程可以写成
49 x 9
2
直接开平方，得
49 49 x1 或 x2 9 9 7 即 或x 7 x1 2 3 3
（2） 解 36-x2 =0.
解: 原方程可以写成
- x 2 -36
x 2 36
直接开平方，得
x1 36
即
或 或
2.2.1直接开平方法、配方法
2.2.1 直接开平方法、配方法一、新 知 梳 理1、一元二次方程的解2、直接开平方法的基本形式：①（ax+b ）2=c(c ≥0)②（ax+b ）2=(cx+d)23、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方法步骤：①化一元二次方程为一般形式； ②如果二次项系数为1，在一次项后面加上一次项系数一半 的平方，再减去这个数； ③前三项写成完全平方的形式，常数项合并；④用直接开平方法解方程．4、运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程①化简：化一元二次方程为一般形式，且二次项系数为1；②配方： 在一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数(为了保持值不变)，使得含未知数的项在一个完全平方式里；③转化：化方程为(ax ＋b )2＝k (k ≥0)或(ax ＋b )2－k ＝0(k ≥0)；④求解：用直接开平方法求解．二、方法探究1、一元二次方程的解(根)例1 已知x ＝2是一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值是( )A ．－3B ．3C ．0D ．0或32、用直接开平方法解一元二次方程例2 解方程：(1)3x 2＝27； (2)(x －2)2＝16； (3)15(2x －3)2＝5. （4）（2x-1）2=(3x+2)2 3、用配方法解二次项系数为1一元二次方程例3 用配方法解一元二次方程：(1)x 2－7x －18＝0. (2)x (x ＋6)＝16.4、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例4 用配方法解下列方程：(1)2x 2＋6x ＋12＝0； (2)－3x 2＋4x ＋1＝0. 5、配方法的应用⑴用配方法说明：无论x 为何实数，代数式x 2－4x ＋4.5的值恒大于零． ⑵试用配方法说明代数式2x 2－x ＋3的值不小于238. 三、巩固练习1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-13．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．4．用适当的数填空：（1）x 2-3x+________=（x-_______）2（2）a （x 2+x+_______）=a （x+_______）25．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．6．如果关于x 的方程x 2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．BA CQD P 7．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．8．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．9．解下列方程：（1）x 2+8x=9 （2）6x 2+7x-3=010．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数11．用配方法求解下列问题．（1）2x 2-7x+2的最小值 （2）-3x 2+5x+1的最大值12．试说明：不论x 、y 取何值，代数式4x 2+y 2-4x+6y+11的值总是正数．•你能求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小吗？13．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．。
2.2.1一元二次方程的解法配方法————直接开平方法
①
② 直接开平方得（ 2 2 x 1) 5( x 1)， x 7
上述解题过程，有无错误，如有，错在第 ？步， 原因是 ？
请写出正确的解答过程
能力提升：解方程： 2(2 x 1) 5( x 1) 解：2(2 x 1) 5( x 1)或2(2 x 1) 5( x 1)
2
2
2x 2
2
解：4 x 2 81
81 x 4 9 9 x1 , x2 2 2
x 1
2
x1 1, x2 1
③
解：
(1 x) 64
2
④
解：
(2 x 1) 9
2
1 x 64 1 x 8 x1 7, x2 9
2x 1 9 2 x 1 3 x1 2, x2 1
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根
归纳：
利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的方法叫做直接开平方法。
x a(a 0)
2
x a
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程
2、自主学习P30—31页，例1、例2，完成下列各题
①
解：
2x 2 0
2
②
4 x 81 0
4 x 2 5x 5
x 7
x1 7
4 x 2 5 x 5
9 x 3
1 x2 3
直接开平方法解一元二次方程也就是 利用平方根的意义解一元二次方程
x a(a 0)
2
b ax b( 0) a
2
动脑筋：用平方根的意义解一元二次方程 （ 4 2 x 1) 25( x 1) 0
2.2第1课时直接开平方法与配方法(教案)
-难点解析：配方法的关键是先将一元二次方程的一次项系数的一半平方，然后加减到方程两边，构造出完全平方公式。学生需要理解这一步骤的意义和操作方法。
（3）在实际问题中，如何将问题转化为适合用直接开平方法或配方法求解的一元二次方程。
-难点解析：学生在面对实际问题时，需要具备抽象和建模的能力，将问题中的关键信息提炼出来，形成适合用本节课所学方法解决的一元二次方程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直接开平方法和配方法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两种方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.培养学生的数学建模能力：让学生在实际问题中运用直接开平方法和配方法建立数学模型，增强其数学建模能力。
5.培养学生的团队合作意识：设置小组讨论和合作完成习题，培养学生与人沟通、协作解决问题的能力。
6.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决问题时，探索新的解题思路和方法，激发其创新意识。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对直接开平方法和配方法的理解程度有所不同。有些学生能够迅速掌握这两种方法的步骤和要点，但也有一些学生在具体的操作过程中感到困惑。这让我意识到，在教授这些概念时，需要更加细致和耐心。
首先，我注意到在导入新课阶段，通过日常生活中的例子来引起学生兴趣的做法是有效的。学生们能够更直观地感受到数学知识在现实中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。在今后的教学中，我会继续寻找更多贴近生活的例子，让数学变得更加有趣和实用。
人教版九年级数学上册教案：21.2.1 直接开平方法
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．BCAQ P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2xx 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 2-12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．答案:一、1．B 2．D 3．B二、12．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1x2同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
22.2.1直接开平方法课件
（ 1 ）（2x - 3) = （x + 2） （ 2）9（x -1 ) = （x + 3）
2 2
2
2
课堂检测
一、填空题 2 1．若8x -16=0，则x的值是_________ ． 2 2 2．如果方程2（x-3） =72，那么，这个 一元二次方程的两根是 x1 9, x2 3 ． 二、解方程
归纳：上面的解法中，实际上是通过直接开平方把一个一元二 次方程“降次”转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方 程。从而得到一元二次方程的两个根，这种解法叫直接开平法。
新知探究（一）
例1：解方程 ( 1）（x - 2)
2
= 10
2
( 2）（3x - 2) = 5
归纳：若一元二次方程一边是含有 未知数的完全平方式，另一边是非 负数时，可以用直接开平方法。
九年级数学组
学习目标
1、理解体会一元二次方程的基本思想： -—— 降次； 2、会运用开平方法解形如x2=p或
（mx+n)2 = p(p≥0)的一元二次方程。
学习重难点
学习重点：运用直接开平方法解一元二次方程。
学习难点：认清具有（mx+n）2=p（m≠0,p≥0）
这种结构特点的一元二次方程，并用 直接开平法解方程．
（ 1 ）3（x -1) = 6 （ 2 ）9x
2
－
2
6x + 1 = 5
用直接开平方法解下列方程：
（ 1 ）（x + 6) （ 2 ）（5x
2
= 9
2
+ 1) = 6
新知探究（二）
例2：解方程 ( 1）3（x + 6)
2
2
- 9 = 0
2.2.1直接开平方法课件
本节内容
2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 直接开平方法
课件制作：刘基云
1.什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
a
即x= a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？
2x 1 2 或 2x 1 2
即 x1
2 1 2
或
x2
2 1 2
归纳
1.运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程， 就是把方程化为：
2 形如 x =a（a≥0） 或（x+h）2=k（k≥0） 的形式，
然后再根据平方根的意义求解。 2.直接开平方法是将一个二次方程转化为两个一次方 程，包含了“降次”的解方程思想。
25 x 4
2
即 x1
2
或
x2
2
思考
想一想如何解下列方程：
(1 x) 81
2
3(2 x 1) 6
2
解：根据平方根的意义得：
1 x 9 或 1 x 9
解：原方程化为：
(2 x 1) 2 2
即 x1 8 或 x2 10
根据平方根的意义得：
练习 1.已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根， 则m、n必须满足的条件是（ B ） A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号
练习
2.解下列方程：
3x 7 5 2 (5x 2) 121 0
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A、n=0 B、n=0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、m，n同号
3、方程(1)x2＝2的解是； (2)x2=0的解是。
4、解下列方程：
(1)4x2－1＝0 ； (2)3x2+3=0 ；
(3)(x-1)2=0 ； (4)(x+4)2= 9；
5、解下列方程：
1.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如
（x+m）2=n（n≥0）的方程．
感知探究
课前
部分
1.若关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D.
归纳小结：能用直接开平方法的四种类型的题目
类型1：如 ，求x，相当于问16的平方根是多少？那么只要直接开平方就可以了。
类型2：整体开平方： ，求x，相当于（x-5）就是36的平方根
类型3： ，先把二次项系数化为1，再开平方。
类型4： ，先把左边化为=确的是（ ）
2.方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.(结果精确到十分位)
课
堂
部
分
感知
一、复习引入
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2； （2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25；
6、解方程：
(1)4(2x+1)2-36=0 ； (2) 。
7、解关于x的方程（x+m）2=n．
教学反思
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、合作探索
例1：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-1
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
九年级 数学 教案编号：03 时间 2018年6 月 日
九年级数学学科教案
课题
§2.2.1 直接开平方法（第三课时）
课型
感知
教学目标
1、会运用直接开平方法解形如x2=a(a≥0)或(x＋h)2= k(k≥0)的一元二次方程
2、理解一元二次方程“降次──转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
重点难点
(1)x2=-2,解方程，得x=± (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;x2=
(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
查验
1、方程 的解为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上均不对