高考第88练

训练目标(1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应用复数的几何意义；(4)会用综合法、分析法、反证法、数学归纳法进行推理证明.
训练题型(1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与应用；(4)复数的几何意义的应用；(5)证明方法的应用.
解题策略(1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系；(4)用分析法证明时要注意书写格式，执果索因逐步递推；(5)用反证法证明时对所要证明的结论的否定性假设要具有全面性，防止片面性；(6)利用数学归纳法证明命题时，归纳奠基、归纳递推缺一不可.
一、选择题
1．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是实数，则t等于( )
A.3
4
B.
4
3
C．－
4
3
D．－
3
4
2．(2015·安徽屯溪一中月考)若复数z满足(1＋3i)z＝23i(i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．若z ＝sin θ－35＋(cos θ－45)i 是纯虚数，则tan(θ－π4
)的值为( ) A ．－7
B ．－17
C ．7
D ．－7或－17
4．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．反证法
D ．归纳法
5．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被7整除，那么a ，b 中至少有一个能被7整除”时，假设应为( )
A ．a ，b 都能被7整除
B ．a ，b 都不能被7整除
C ．b 不能被7整除
D ．a 不能被7整除
6．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学的证明过程如下：
(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．
则上述证法( )
A ．过程全部正确
B ．n ＝1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确
7．下列命题中正确的是( )
①已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的充要条件；
②当z 是非零实数时，|z ＋1z
|≥2恒成立； ③复数z ＝(1－i)3
的实部和虚部都是－2； ④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z ＝－i.
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②④
8．已知复数z ＝1－i 在复平面内对应的向量为O Z →，把OZ →按逆时针方向旋转θ得到一个新向
量OZ 1→.若OZ 1→对应一个纯虚数z 1，则当θ取最小正角时，z 1等于( ) A.2iB ．－2iC ．2iD ．－2i
二、填空题
9．(2015·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2016，则z ＋10z
的模等于________． 10．(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，则实数a 的取值范围为________________．
11．若复数z 1＝
3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a
＋(2a －5)i ，z 1＋z 2是实数，则实数a 的值为________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12
a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝________.
答案解析
1．D
2．A [由(1＋3i)z ＝23i ，得
z ＝23i
1＋3i ＝23i ·(1－3i)(1＋3i)(1－3i)＝32＋32i ， ∴z 在复平面内对应的点的坐标为(32，32
)，是第一象限的点， 故选A.]
3．A [由题意得sin θ－35
＝0， 且cos θ－45≠0，所以tan θ＝－34
， 所以tan(θ－π4)＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－34－11＋(－34
)×1＝－7.] 4．B
5．B [由反证法的定义可知，
假设应否定结论，“a ，b 中至少有一个能被7整除”的否定是“a ，b 都不能被7整除”， 故选B.]
6．D [没有运用归纳假设．]
7．C [①中已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的必要不充分条件，故①错误；
②当z 是非零实数时，|z ＋1z |2＝z 2＋1z
2＋2≥4， 当且仅当z 2＝1z
2时，“＝”成立， 故|z ＋1z
|≥2恒成立，正确； ③复数z ＝(1－i)3
＝－2i －2的实部和虚部都是－2，正确；
④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，
设z ＝a ＋b i ，则a ＝2，b ＝±2，
那么可知z z ＝－i 或z z ＝i ，故④错误．]
8．A [因为旋转时复数的模不发生变化，
又z ＝1－i 在复平面内对应的点在第四象限，
所以复数z 1在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，
所以z 1＝|1－i|i ＝2i ，
故选A.]
9．6 2
解析 z ＝i ＋i
2016＝1＋i ，z ＝1－i ，∴z ＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝1－i ＋10×1－i 2＝6－6i ， 其模为6 2.
10．(－6，32
) 解析 z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝(3－a i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝3－2a 5－6＋a 5
i ， 因为z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，6＋a >0，解得－6<a <32
. 11．3
解析 z 1＋z 2＝
3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(
3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)
＋(a 2＋2a －15)i ， ∵z 1＋z 2是实数，
∴a 2
＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.
又(a ＋5)(a －1)≠0，
∴a ≠－5且a ≠1，
故a ＝3.
12.2n －12
n －1 解析 ∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32，
a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158
.
猜想a n ＝2n －12n －1.。