第九讲 周期问题
第九讲：周期问题
第九讲：周期问题例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……练习一（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一 (2001)字是什么字？（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？练习二1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？2，小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。
（1）他排到第111个是几分硬币？（2）这111个硬币加起来是多少元钱？3，河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。
接下去一直这样排列。
问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89…练习三1，下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。
问：这串数中第88个数是几？628088640448…2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 48 7 6 59 10 11 12…3，2001个学生按下列方法编号排成五列：一二三四五1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14…问：最后一个学生应该排在第几列？例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？练习四1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。
三年级奥数第9讲 周期问题
第9讲：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些按照一定规律不断重复的现象，如十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等等。
像这种日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单的周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时，我们先要仔细审题，找出其不断重复出现的规律，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数求出正确的结果。
例题1、有一列数5、6、2、4、5、6、2、4、……（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？习题一、1、有一列数1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、……（1）第58个数是多少？（2）这58个数相加的和是多少？2、小青把积存下来的游戏币按先四个1元、再三个2元、最后两个5元这样的顺序一直往下排列。
（1）第111个游戏币的面值是多少？（2）这111个游戏币的面值之和是多少？3、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃树，在后面两棵是水蜜桃树，在后面三棵是大青桃树，接下来总是按一棵蟠桃树，两棵水蜜桃树，三棵大青桃树这样的规律种下去。
第100棵是哪种桃树？三种桃树各有多少棵？例题2、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表每年。
例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。
如果公元1年是鸡年，那么公元2001年是什么年？习题二、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物轮流代表每年。
1、如果公元3年是猪年，那么公元2000年是什么年？2、如果公元6年是虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？3、公元2001年是蛇年，公元2年是什么年？上表中每一列的两个符号组成1组，如第一组“A万”第2组“B事”……第20组是什么？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排列。
问：（1）白珠共有多少颗？（2）第68颗珠子是什么颜色？3、课外活动课上，有四个同学在进行报数游戏，他们围城一圈，甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总是比前一个人多1,45是谁报的？123呢？例题4、在一根绳子上依次串4颗红珠、2颗白珠、1颗黑珠，并按此顺序依次重复。
第九讲经济增长与经济周期理论cukg
索罗模型基本方程式
△k = s ·f(k) -（δ＋n）k
资本深化=人均储蓄–资本广化
2.经济增长的稳态
稳态条件：当投资与折旧正好平衡，资本存量 将不发生变化，这一资本存量水平被称为稳态 的资本水平。稳态代表了经济的长期均衡。
德兰德和普雷斯科特为代表的真实经济周期理论向凯恩
斯主义各派发起全面挑战，并取得了开创性成果。”
梁小民：《诺贝尔经济学奖回归“真实经济周期”》， 《21世纪经济报道》2004-10-17 。
经济增长与经济周期的统一：
“在凯恩斯主义经济学中，有经济增长理
论与经济周期理论之分，前者研究长期问题，后
者研究短期问题。但在真实经济周期理论中，经
济增长与经济周期是一个问题。所以，真实经济
周期理论实际上并不仅仅是经济周期理论，它本
身就是完整的宏观经济理论。”
梁小民：《诺贝尔经济学奖回归“真实经济周期”》， 《21世纪经济报道》2004-10-17 。
导致经济周期的真实因素：
“真实经济周期理论认为，市场机制本身是完善
的，在长期或短期中都可以自发地使经济实现充分就业
Yt 5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -5
实际或真实经济周期理论
2004年10月11日，瑞典皇家科学院宣布将
本年度的诺贝尔经济学奖授予新古典宏观经济学
真实经济周期学派的代表人物基德兰德和普雷斯
科特，以表彰他们在动态宏观经济学领域作出的
杰出贡献。
他们在对经济周期的研究中，通过对引起经
的增长经验中已有所表现，它是索洛模型的一个重要推断。
周期问题(讲义)
周期问题
在日常生活中，经常会有一种按照一定的规律不断重复出现的现象。
比如我们国家的十二生肖，就是按鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这样的顺序不断重复出现的。
在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。
在研究这些问题时，不仅要能发现其不断重复出现这一现象，还要找到重复出现的规律，也就是要找出循环的固定数，即周期。
如上所述的十二生肖，12种动物循环出现，也就是12个数的循环，周期是12；又如一个星期有7天，也是一个循环，按星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日这样的顺序不断重复出现，7个数的循环，周期是7.
研究循环周期问题时，还要能根据周期数确定余数，从而根据余数来判定所求的问题是一个循环中的第几个数。
例1 小明放学回家的路上种了200棵树，第1棵是梧桐树，后面2棵是杨树，再后面3棵是松树，接下去总是1棵梧桐树，2棵杨树，3棵松树，问：第200棵是什么树？三种树各种了多少棵？
例2假设所有自然数按下图的方式排列起来，那么1826应该排在哪个字母的下面？
A B C D E
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
例3 在下表中，每上、中、下三个字或字母组成一组，例如第一组是（X，爱，A），第三组是（Z，学，C），
写出第75组是什么？
例4 100个3相乘，积的个位数字是几？
巩固练习计算6÷7商的小数点后面1000个数字的和是几？
例5 今年小明的生日是6月30日，今年的6月5日是星期一，则今年小明生日的那天是星期几？
例6 小明的生日是每年的6月12日，2007年6月10日是星期天，2011年的6月12日是星期几？。
周期问题
周期问题知识要点：1、周期问题：一些数、图形和事物的变化往往是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律的问题称为周期问题。
例如每隔7天是一周，则说周期是7；每隔12个月是一年，则说周期是12；每隔24小时是一昼夜，则说周期是24等。
2、在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。
3、解决周期问题的方法：首先要发现问题的周期性和确定周期长度。
然后用画图、列举、计算等方法解决有关问题。
课前一练1、如图电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈；现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了20步，落在一个圆圈里；一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了24步落在另一个圆圈里，那么这两个圆圈里的乘积是多少？2、如下图有一串珠子按2粒白珠、3粒黑珠依次用线串出来，第32粒珠是什么颜色的，几个白球，几个黑球？○○●●●○○●●●○○●●●○○……思维拓展例题1、假设所有的自然数排列起来，如下所示，39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16………………解析：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大按照ABCDABCD……循环排列的,即是4个数为一周期，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析、判断。
39÷9=4……3 88÷4=22所以，39应该排在第4行第3个字母C下面，88应排在第22行第1个字母A 下面。
小窍门：找周期长度，再用总数除以周期长度，看余数。
练习：1、假设所有自然数排列起来，如下图所示，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？A B C1 2 34 5 67 8 910 11 12……………2、按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上？A B C D1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 14…………例题2过大年过大年过大……发压岁钱发压岁钱……上表是中，每一列两字组成一组，如第一组“过，发”，第二组“大，压”，……问第20个组是什么，几个“大”字，几个“发”字？解析：观察上表，发现有两个独立的排列规律。
第9讲 简单周期问题
智慧小锦囊 4、求星期几：
周期公式结合星期顺序
注：当两个日子不在同一月时，要考虑大、小月份
小月：二月28天， 四、六、九、十一月30天 其余月份均大月（31天）
5、 今天是星期三，从今天算起的第200天是星期几？ 分析：从今天算起，则从星期三到下周星期二
例4、某学校有学生1520个人，每个班40个学生， 每个班级一天上6节课，平均每个教师一天上3节课, 那么这所学校至少要配备多少名老师？
解：（1520÷40）×6÷3 =228÷3 =76（人）
解： 27÷4=6……3 54÷4=13……2
可可 豆豆
答：可可报“27”，豆豆报“54”。
例2、国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫” 的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜 色的？红色的彩灯一共有多少只?
解： (1) 50÷6=8（组）……2（个）
答：第50只彩灯是黄色的。 红、黄
(2) 8×1+1=9（只） 答：红色的彩灯一共有9只。
智慧小锦囊
所给数÷周期＝商……余数
2、求某数的个数：
个数 ＝ 组数 × 周期内某数出现的次数 + 余数中某数出现的次数。
3、找出下图形排列的规律，根据规律算出前58个 图形中有多少个○？
☆○□○△☆○□○△☆○□○△……
解：58÷5=11（组）……3（个） 前11组共有11×2个图形是○ 余下三个中还1个图形是○ 11×2+1= 23
为一个周期 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二
200÷7=28（周）……4（天） 答：从今天算起的第200天是星期六。
6、 小明的生日是3月28日，这一年的3月2号星期天， 小明的生日是星期几呢？
二年级下册数学奥数思维训练教程课件 - 第9讲：周期问题 通用版 (共21张PPT)
答：最后一名同学报“三”。
算一算
有一列数字卡片：2,3,1,2,3,1,2,3,1……。 （1）第25个数字卡片是几？
25 ÷ 3 = 8（组）……1（个） 答：第25个数字卡片是2。
25里面有几个3？用除法算。可以摆8组 还多余1个，就是每组的第一个数，是2。
算一算
有一列数字卡片：2,3,1,2,3,1,2,3,1……。
27 ÷ 7 = 3（星期）……6（天）
答：3月28是星期日，妈妈可 以带丁丁去玩。
也可以用排日历法！
思维小妙方
周期问题歌
几个一周期，分组找一找， 总数除以它，一算就明了， 几个整周期，还剩下多少？ 余几第几个，仔细推算好。
举一反三
在方框内填上合适的数字。 . 表示7， 表示6。
. + . + . + = 27
一个星期有7天，21里面有几个7？用除 法。3个整星期，最后一天是星期五。
猜一猜
今天是星期六，从今天起，到第21天是星期几？
六日一二三四五 123 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
排日历法
练一练
3月1日是星期一，3月28日是丁丁的生日，问：生日那天 妈妈能否带丁丁去公园玩一整天？
举一反三
李老师把从1号到36号共36张卡片一次分给甲、乙、丙、丁四 位同学，分法如右图所示，那么第30张分给了谁？
30 ÷ 4 = 7（组）……2（张） 答：第30张分给乙。
甲乙丙丁 12 34 56 78 9 10 11 12 ……
举一反三
有同样大小的红、黑、白三色珠子共55个，按“二白、三红、 一黑”串起来，这串珠子中共有几个白珠子？
周期问题六年级知识点
周期问题六年级知识点周期问题是六年级数学中的重要知识点之一，它与数列和模式有关。
周期性是指一种重复出现的规律或模式，可以是数字、图形或事件的重复出现。
在六年级学习周期问题时，我们需要了解周期的定义、周期性的特点以及如何找到周期性的规律。
首先，周期的定义是指一组元素按照一定规律重复出现的过程。
这个过程中，每个元素都有其特定的位置，常用字母n表示元素在周期中的位置。
周期问题中常见的数列包括等差数列和等比数列。
在等差数列中，元素之间的差值是恒定的；在等比数列中，元素之间的比值是恒定的。
通过观察数列中的元素，我们可以发现它们按照一定规律重复出现，这就是周期性的表现。
其次，周期性的特点包括周期的长度和周期内的规律。
周期的长度是指周期中元素的个数，可以通过观察数列中的元素个数来确定。
周期内的规律是指元素之间的关系和变化规律，可以是递增、递减或其他规律。
例如，在等差数列中，每个元素之间的差值是恒定的，而在等比数列中，每个元素之间的比值是恒定的。
通过了解周期性的特点，我们可以根据已知条件去寻找周期性的规律。
一种常见的方法是绘制数列的图形表示，通过观察图形中的模式来找到周期性的规律。
另一种方法是利用周期性的特点，例如在等差数列中，我们可以利用公式an = a1 + (n-1)d来表示第n 个元素，其中an是第n个元素，a1是首项，d是公差。
通过这个公式，我们可以求解出数列中任意位置的元素。
对于六年级的学生来说，掌握周期问题的知识对于理解数列和模式有很大的帮助。
周期性是数学中一种重要的概念，它在生活中也有广泛的应用，例如天气变化、月相变化、交通信号灯等都具有周期性。
通过学习周期问题，我们可以培养学生观察和发现规律的能力，提高解决问题的思维能力。
总结起来，周期问题是六年级数学中的重要知识点，它涉及数列和模式中的周期性规律。
了解周期的定义、周期性的特点以及找到周期性规律的方法，能够帮助学生更好地理解数学中的周期问题，并应用到实际生活中。
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第九讲周期问题
第一节排列与周期
思维建模
国庆节期间，天安门广场的道路两边挂着一排彩灯，每排彩灯都是按照“二盏红灯、三盏绿灯、四盏黄灯”的顺序排列的，每排的第51盏彩灯是什么颜色的？第27盏灯是什么颜色的？
思维发散
1．一个数按1984080619840806……排列，问：请问第41个数是几？第52个数是几？第24个数几？
2．一个数按142857142857……排列，问：第52个数是几？
第41个数是几？第68个数是几？第36个数是几？
挑战竞赛
把2、3、5、6、8、9这些数字按下面规律排列：253689252689……第63个数字是多少？前63个数字的和是多少？
第二节尾数与周期
思维建模
20个7相乘，积的个位数是几？
思维发散
1.20个5相乘，积的个位数是几？
2.20个8相乘，积的个位数是几？
挑战竞赛
4×4×4……×4+7×7×7……×7的个位数字是多少？
第三节日期与周期
思维建模
这个月的1号是星期三，那么31号是星期几？
思维发散
1.这个月的1号是星期三，那么29号是星期几？
2.2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
挑战竞赛
某年的4月1日星期二，那么这年的6月1日是星期几？
第八讲数学思维水平测试
1.把△□○按照△□□○○○△□□○○○……进行排列，问：第38个是什么图形？
2.某商店门口挂了一串彩色气球，它们按3红2黄2蓝的顺序排列，那么第36个气球是什么颜色？
3.2010年8月3日是星期三，问8月28日是星期几？
4.100个3相乘，积的个位是几？
5.自然数2×2×…×2－1的个位数是。
67个2相乘
6.3×3×3×…×3减去7×7×7×7×…×7，得数的个位数
206个3100个7
是。
A.0
B.2
C.6
D.8
7.有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？
8.2005年4月10日是星期日，则2005年6月1日是星期几？
9.2008年元旦是星期二，那么同年的国庆节是星期几？
10.某个月有30天，其中有4个星期六，5个星期五，那么这年这个月10号是星期。