周考四(2.1指数函数)
最新学年度高中数学 第二章指数函数 2.1.2 第一课时 指数函数的图象及性质练习 新人教A版必修1(考试必备)
第一课时指数函数的图象及性质【选题明细表】1.下列一定是指数函数的是( C )(A)y=a x (B)y=x a(a>0且a≠1)(C)y=()x (D)y=(a-2)a x解析:根据指数函数的定义:形如y=a x(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数,结合选项从而可判断选项C正确.故选C.2.在同一坐标系中,函数y=2x与y=()x的图象之间的关系是( A )(A)关于y轴对称 (B)关于x轴对称(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称解析:由作出两函数图象可知,两函数图象关于y轴对称,故选A.3.若函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有( D )(A)b≥1 (B)b≤1(C)b≥0 (D)b≤0解析:因为y=2x,当x<0时,y∈(0,1),所以,函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有b-1≤-1,解得b≤0.故选D.4.函数y=(a2-5a+5)a x是指数函数,则有( C )(A)a=1或a=4 (B)a=1(C)a=4 (D)a>0且a≠1解析:因为函数y=(a2-5a+5)a x是指数函数,所以解得a=4.故选C.5.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2a x-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a= .解析:若a>1,则函数y=a x在区间[-1,2]上是递增的,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=.若0<a<1,则函数y=a x在区间[-1,2]上是递减的,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,所以a=.综上所述,a的值为或.答案:或6.若指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),则f(-)= .解析:设f(x)=a x(a>0且a≠1).因为f(x)过点(-2,),所以=a-2,所以a=4.所以f(x)=4x,所以f(-)==.答案:7.方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是.解析:作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与y=|2x-1|图象的交点只有一个, 所以a≥1或a=0.答案:{a|a≥1,或a=0}8.函数y=()的值域是.解析:由≥0且y=()x是减函数,知0<y=()≤()0=1.答案:(0,1]9.若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.解:当a>1时,f(x)在[0,2]上递增,所以即所以a=±.又a>1,所以a=;当0<a<1时,f(x)在[0,2]上递减,所以即解得a∈ .综上所述,实数a的值为.10.不论a取何正实数,函数f(x)=a x+1-2的图象恒过点( A )(A)(-1,-1) (B)(-1,0)(C)(0,-1) (D)(-1,-3)解析:f(-1)=-1,所以函数f(x)=a x+1-2的图象一定过点(-1,-1).11.若函数f(x)=3x+b的图象不经过第二象限,则b的取值范围为.解析:由函数y=3x+b的图象不经过第二象限,可得1+b≤0,求得b≤-1.答案:(-∞,-1]12.(2018·海南中学高一期中)已知函数f(x)=且f(-2) =3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值;(2)请在给定的直角坐标系内,利用“描点法”画出y=f(x)的大致图象.解:(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=从而f(f(-2))=f(3)=23=8.(2)“描点法”作图,①列表:②描点;③连线f(x)的图象如图所示.13.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象大致为( A )解析:由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a,b;根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a,b,即函数图象与x轴交点的横坐标;观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1, 0<a<1;函数g(x)=a x+b的图象,由0<a<1可得其是减函数,又由b<-1可得其与y轴交点在x轴的下方;分析选项可得A符合这两点,B,C,D均不满足.故选A.。
课时作业4：4.2.1 指数函数的概念
§4.2 指数函数4．2.1 指数函数的概念1．函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)等于( )A ．8 B.32C ．4D ．2 答案 D解析 ∵函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，∴2a －3＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝2x ，∴f (1)＝2.2．函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，对于任意实数x ，y 都有( )A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) 答案 C解析 f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3.4．若函数y ＝a 2(2－a )x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或－1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a >0且a ≠1答案 C解析 因为函数y ＝a 2(2－a )x 是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，2－a >0，2－a ≠1，即a ＝－1.5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m ，从2020年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( )A ．y ＝500.9xB ．y ＝5010.1x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．y ＝500.9xmD ．y ＝(1－0.150x )m答案 C解析 设每年的衰减率为q %， 则(1－q %)50＝0.9，所以1－q %＝1500.9，所以y ＝m ·(1－q %)x ＝500.9x m . 6．下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x ； ④y ＝13x - ；⑤y ＝13x .答案 ③解析 ①中指数式(2)x 的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1，指数位置不是x ，故不是指数函数；④中指数不是x ，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x －2，且g (m )＝f (m )，则m ＝________.答案 1 －1解析 因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，g (m )＝f (m )可变形为4－m －2－m －2＝0， 解得2－m ＝2，所以m ＝－1.8．f (x )为指数函数，若f (x )过点(－2,4)，则f (f (－1))＝________.答案 14解析 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f (－2)＝4，得a －2＝4，解得a ＝12， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.9．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x 是指数函数．(1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性，并加以证明．解 (1)由a 2＋a －5＝1，可得a ＝2或a ＝－3(舍去)，∴f (x )＝2x .(2)F (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )是奇函数．10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？解 设该种树的最初栽植量为a ，甲方案在10年后的木材产量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4.01a .乙方案在10年后的木材产量为y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ·1.25≈4.98a .∵a >0，∴4.98a >4.01a ，即y 2>y 1，∴乙方案能获得更多的木材．11．已知函数f (x )＝121,0,2,0,x x x x -⎧⎪->⎨⎪≤⎩ 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝1－1219-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝1－3＝－2，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝2－2＝14. 12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )A ．赚723元B ．赚145元C ．亏145元D ．亏723元 答案 D解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7；100 000－99 277＝723，故股民亏723元．13．若函数y ＝(m 2－5m ＋5)⎝⎛⎭⎫2－m 3x 是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m ＝________.答案 1解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋5＝1，2－m 3>1，解得m ＝1(舍m ＝4)．14．某厂2018年的产值为a 万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．答案 a (1＋7%)4解析 2018年产值为a ，增长率为7%.2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元)．2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元)．……2022年的产值为a (1＋7%)4万元．15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相等D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝m(m＋8a)，因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．16．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．所以2031年年底的人口数将达到135万．。
高一数学必修一《2.1 指数函数》单元检测题(含答案)
§2.1 指数函数单元检测题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，60分）1．根式11a a（式中0a >）的分数指数幂形式为 （ ） A ．43a - B ．43a C ．34a - D ．34a2．若12a <，则化简24(21)a -的结果是 （） A ．21a - B ．21a -- C ．12a - D ．12a --3．值域为()0,+∞的函数是 （） A ．21y x x =-- B ．11()3x y -= C ．1321x y -=+ D ．24y x =-4．设123()4a -=，144()3b =，343()2c -=则,,a b c 的大小顺序是 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．若{}|2x M y y ==,{}|1N x y x ==-则M N = ( )A ．{}|1y y >B ．{}|1y y ≥C ．{}|0y y >D ．{}|0y y ≥6．已知2222x x -+=且1x >则22x x --= （） A ．2或-2 B ．-2 C ．6 D ．27．为了得到函数13()3x y =⨯的图象，可以把函数1()3xy =的图象 （） A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是 （） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数121,02,0()x x x x f x -->≤⎧=⎨⎩，则1(())9f f =（ ）A ．4B ．14C ．4-D ．14- 10．函数91()3x xf x -=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 11．11－230＋7－210＝( ) A.6＋2－2 5B.2－ 6C.6－ 2 D ．25－6－ 2 12 若关于x 的方程323()25x a a +=-有负数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,5,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()3,5,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ C ． 2,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13．函数()12x f x =-的值域为__________.14．方程21124x -=的解x =__________. 15． 已知2323x =-++，x __________{}6|,a b a b Q +∈.(填∈、∉) 16．已知函数4()42xx f x =+，则(5)(4)(0)(6)f f f f -+-+++= __________. 三解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求值：（1）6323 1.512⨯⨯；（2）433331733246339--+. （10分）18．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+ （12分） （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？19 ．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．（12分）(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．20．已知()x x f x a a -=-（其中1a >，x R ∈）（12分）（1）判断并证明()f x 的奇偶性与单调性；（2）若22(23)()0f x x f m x x -++-->对任意的[]0,1x ∈均成立，求实数m 的取值范围.21．若函数()y f x =满足以下条件：（12分）①对于任意的,x R y R ∈∈，恒有()()()f x y f x f y +=⋅；②()0,x ∈+∞时，()()1,f x ∈+∞.（1）求(0)f 的值； （2）求证()()(()0)()f x f x y f y f y -=≠.22．已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最 小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．（12分）参考答案1-----12 CCBBBDDABACD13 [)0,1 14 12- 15 ∈ 166 17 （1） 6. （2） 018 (1)任意实数a ，()f x 是定义域上的增函数；(2)存在实数a =1，使函数()f x 为奇函数19(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2·e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4 ①同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②解由①②组成的方程组得，g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.20 （1）()f x 是奇函数且单调递增；证明略.（2）m 的取值范围()1,+∞.21 （1）(0)1f =.（2）证明略.22(1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[13，3]．设(13)x＝t ，t ∈[13，3]，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 (a <13)3－a 2 (13≤a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得 m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．。
[高中数学必修一]212指数与指数函数单元考试
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指数与指数函数单元考试一、选择题：（每小题4分，共40分）1.计算(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是 （ ）().A (B ().C (D 2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是 （ ）)56().,0a A a b b -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭()()12().0B y y =-≠13().C x-= ()13(0D pp =<3.设集合{}{}23,,1,xS y y x R T y y x x R ==∈==-∈则S T 是 ( )(A) S (B) T (C) ∅ (D) 有限集4.下列函数中值域为()0,+∞ 的是 （ ）13().4xA y -= ().B y = 121().2xC y -⎛⎫= ⎪⎝⎭().D y =5.若是函数()121xy a =-的概念域为[)0,+∞,那么a 的取值范围是 （ ）().0A a > ().01B a << ().1C a > ().1D a ≥6.函数y ＝a x －2＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必通过点 （ ） （A ）．（0，1）(B)．（1，1） (C)．（2，0）(D)．（2，2）7.函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3a x －1在［0，1］上的最大值是（ ） （A ）．6(B)．1(C)．3 (D)．238．设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是 （ ） (A)．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 (B)．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 (C)．奇函数且在（0，＋∞）上是减函数 (D)．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数 9．函数y ＝2－x ＋1＋2的图象能够由函数y ＝（21）x的图象通过如何的平移取得（ ） (A)．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 (B)．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位(C)．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位(D)．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位10. 一批设备价值a 万元，由于利用磨损，每一年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为 （ ）(A)、(1%)na b - (B)、(1%)a nb - (C)、[1(%)]na b - (D)、(1%)na b - 二、填空题：（每小题4分，共16分） 11.(3x =-x 的范围是12. 已知()50,,xxa aa x R -+=>∈则22xx a a-+=13.比较大小： ()113210.30.3-- ()112231223--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的概念域为()1,+∞，则()3x f -的概念域为 三、解答题：(44)' 15.计算：(6212)''⨯=（1） 1023691327137028-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪16.（10'）设()31212,0,1x x y ay a a a +-==>≠，确信x 为何值时,有:(1) 12y y = (2) 12y y >17.(12)'关于函数()()221x f x a a R =-∈+(1) 探讨函数()f x 的单调性;(2) 是不是存在实数a ,使函数()f x 为奇函数?18.(10)'已知函数22313x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域一、选择题：DAABCDCDCD 二、填空题：11.[]3,3- 12. 13.><14. (),0-∞三、解答题：(44)' 15.计算：（1）３； （2）1a16.(１) 1;5x =- (２) 当１＜ａ时：15x >-；当０＜ａ＜１时：15x <-． 17.（１）()f x 在Ｒ上单调增；（２）ａ＝１时，()f x 为奇函数。
指数函数 高中数学例题课后习题详解
第四章指数函数与对数函数4.2指数函数例1已知指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠），且(3)πf =，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值.分析：要求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值，应先求出()x f x a =的解析式，即先求a 的值.解：因为()x f x a =，且(3)πf =，则3πa =，解得13πa =，于是3()πxf x =.所以，0(0)π1f ==，13(1)πf ==11(3)ππf --==.例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为150元，比较这15年间A ，B 两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：（1）设经过x 年，游客给A ，B 两地带来的收入分别为()f x 和()g x ，则()1150(10600)f x x =⨯+，()10002781.11x g x =⨯⨯.利用计算工具可得，当0x =时，(0)(0)412000f g -=.当10.22x ≈时，(10.22)(10.22)f g ≈.结合图可知：当10.22x <时，()()f x g x >，当10.22x >时， ()()f x g x <.当14x =时，(14)(14)347303g f -≈.这说明，在2001年，游客给A 地带来的收入比B 地多412000万元；随后10年，虽然()()f x g x >，但()g x 的增长速度大于()f x ；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有()()f x g x =，这时游客给A 地带来的收入和B 地差不多；此后，()()f x g x <，游客给B 地带来的收入超过了A 地；由于()g x 增长得越来越快，在2015年，B 地的收入已经比A 地多347303万元了.（2）设生物死亡x 年后，它体内碳14含量为()h x .如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么157301()2xh x ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当10000x =时，利用计算工具求得1000057301(10000)0.302h ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭.所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.例3比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.51.7，31.7；（2）0.80.8；（3）0.31.7， 3.10.9.分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），0.31.7和 3.10.9不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数 1.7x y =和0.9x y =的单调性，以及“0x =时，1y =”这条性质把它们联系起来.解：（1） 2.51.7和31.7可看作函数 1.7x y =当x 分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数1.71>，所以指数函数 1.7x y =是增函数.因为2.53<，所以 2.531.7 1.7<.（2）同（1）理，因为00.81<<，所以指数函数0.8x y =是减函数.因为>0.80.8<.（3）由指数函数的性质知0.301.7 1.71>=， 3.100.90.91<=，所以0.3 3.11.70.9>.例4如图，某城市人口呈指数增长.（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.4.2.1指数函数的概念练习1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质选择．【详解】由于0x y a =>（0a >，且1a ≠），所以A ，B ，D 都不正确，故选C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点(0,1)，值域是(0,)+∞．2.已知函数(),y f x x =∈R ，且(0.5)(1)(0.5)(0)3,2,2,,2(0)(0.5)(0.5(1))f f f n f f f f n ====- ，*n ∈N ，求函数()y f x =的一个解析式.【答案】()34x f x =⨯【解析】【分析】用连乘法求(1),(2),(3)f f f ，然后用归纳法归纳一个结论．【详解】由己知得，(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，()4(0)x f x f ∴=，又(0)3,()34x f f x =∴=⨯.【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）【答案】6.16倍【解析】【分析】根据平均增长率问题可得．【详解】设现在的蓝藻量为a ，经过30天后的蓝藻量为y ，则30(1 6.25%)y a =+，301.0625 6.16ya∴=≈，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是(1%)x y a p =+．4.2.2指数函数的图象和性质练习4.在同一直角坐标系中画出函数3xy =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性．【详解】3xy =和13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图，3x y =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题．5.比较下列各题中两个值的大小：（1）226,7；（2） 3.5 2.30.3,0.3--；（3）0.5 1.21.2,0.5.【答案】（1）<；（2）>；（3）>【解析】【分析】（1）由函数2y x =的单调性比较；（2）由函数0.3x y =的单调性比较；（3）与中间值1比较．【详解】（1）函数2y x =在(0,)+∞上是增函数，22067,67<<∴< .（2）函数0.3x y =在R 上为减函数，3.5 2.33.5 2.3,0.30.3---<-∴> .（3）0.50 1.200.5 1.21.2 1.21;0.50.51, 1.20.5>=<=∴> .【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．6.体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.【答案】见解析【解析】【分析】定义域是[0,)+∞．是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得．【详解】经时间x ，癌细胞数量为y ，图象如图.【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用．习题4.2复习巩固7.求下列函数的定义域：（1）32x y -=；（2）213x y +=；（3）512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）10.7x y =.【答案】（1）R ；（2）R ；（3）R ；（4）{|0}x x ≠.【解析】【分析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域．【详解】解：（1）函数32x y -=的定义域为R ；（2）函数213x y +=的定义域为R ；（3）函数512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ；（4）要使函数10.7x y =有意义，则0x ≠，则函数10.7x y =的定义域为{|0}x x ≠．【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题．8.一种产品原来的年产量是a 件，今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加%p ，写出年产量y （单位：件）关于经过的年数x 的函数解析式.【答案】()*(1%),x y a p x x m=+∈≤N 【解析】【分析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式．【详解】解：由题意，今后m 年内，年产量随时间变化的增长率为1%p +，又原来的年产量是a 件，∴()*(1%),x y a p x x m =+∈≤N ．【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题．9.比较满足下列条件的m ，n 的大小：（1）22m n <；（2）m n 0.20.2<；（3）(01)n m a a a <<<；（4）(1)m n a a a >>.【答案】（1）m n <；（2）m n >；（3）m n >；（4）m n >.【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小．【详解】解：（1）∵函数2x y =在R 上单调递增，且22m n <，∴m n <；（2）∵函数0.2x y =在R 上单调递减，且m n 0.20.2<，∴m n >；（3）∵函数()01xy a a =<<在R 上单调递减，且(01)n m a a a <<<，∴m n >；（4）∵函数()1xy a a =>在R 上单调递增，且(1)m n a a a >>，∴m n >．【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．10.设函数0()(1)xf x Q r =+，且(10)20.23,(11)23.26f f ==.（1）求函数()f x 的增长率r ；（2）求(12)f 的值.【答案】（1）0.15；（2）26.75.【解析】【分析】（1）由题意得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，由此可求得答案；（2）代入解析式即可求出(12)f ．【详解】解：（1）由已知得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，解得00.155r Q ≈⎧⎨≈⎩.所以增长率r 约为0.15.（2）由（1）知，()5(10.15)x f x =+，∴1212(12)5(10.15)51.1526.75f =⨯+=⨯≈.【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题．综合运用11.求下列函数可能的一个解析式：（1）函数()f x 的数据如下表：x012()f x3.504.205.04（2）函数()g x 的图象如图：【答案】（1）()0.70 3.50f x x =+；（2）1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设()f x ax b =+，再代入其中两点即可算出答案；（2）由图象可知函数模型为指数型，设()x g x k a =⋅，代入两点坐标即可求出答案．【详解】解：（1）设()f x ax b =+.把(0,3.50),(1,4.20)代入得，3.504.20b a b =⎧⎨=+⎩，解得0.703.50a b =⎧⎨=⎩，()0.70 3.50f x x ∴=+为可能的解析式；（2）设()x g x k a =⋅，将(1,2),(1,8)-代入，得128ka ka -=⎧⎨=⎩，解得124a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭为一个可能的解析式．【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．12.比较下列各题中两个值的大小：（1）0.83，0.73；（2）0.10.75-，0.10.75；（3） 2.71.01， 3.51.01；（4） 3.30.99， 4.50.99.【答案】（1）0.830.73>；（2）0.10.75-0.10.75>；（3） 2.71.01< 3.51.01；（4） 3.30.99 4.50.99>.【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）由3x y =单调递增，0.80.7>，所以0.830.73>；（2）由0.75x y =单调递减，0.10.1-<，所以0.10.75-0.10.75>；（3）由 1.01x y =单调递增，2.7 3.5<，所以 2.71.01< 3.51.01；（4）由0.99x y =单调递减，3.3 4.5<，所以 3.30.99 4.50.99>.13.当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论．【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为911125121000⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以能探测到．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．14.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a （单位：元），每期利率为r ，本利和为y （单位：元），存期数为x .（1）写出本利和y 关于存期数x 的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.【答案】（1）(1)x y a r =+.（2）1117.68y ≈（元）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和y 随x 变化的函数关系式；（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．【详解】解：（1）根据题意可得(1)x y a r =+；（2）由（1）可知，当5x =时，51000(1 2.25%)y =+51000 1.022111.5768≈=⨯，∴5期后的本利和约为1117.68元．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．拓广探索15.已知函数()||12x f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.【答案】（1）||2122x y ⎛⎫=- ⎪⎭+⎝，图象见解析；（2）()f x 为偶函数，()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数.【解析】【分析】（1）由函数图象过原点可得0a b +=，又由图象无限接近直线2y =可得2b =，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．【详解】解：（1）由题意知，0,2a b b +==，2a ∴=-，()||1222x f x ⎛⎫∴=- ⎪⎝+⎭，∴()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，图象如图：（2）∵||1()222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1()222x f x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭122()2xf x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴为偶函数，又()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．16.已知f (x )=a x ，g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭(a >0，且a ≠1).（1）讨论函数f (x )和g (x )的单调性；（2）如果f (x )<g (x )，那么x 的取值范围是多少？【答案】（1）答案见解析；（2）当a >1时，x 的取值范围是(,0)-∞；当0<a <1时，x 的取值范围是(0,)+∞.【解析】【分析】（1）由题意按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解；（2）由题意转化条件得0()()1x f x g x a a <⇔<=，按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解.【详解】（1）当a >1时，f (x )=a x 是R 上的增函数，由于0<1a <1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的减函数；当0<a <1时，f (x )=a x 是R 上的减函数，由于1a >1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的增函数；（2）()201()()11xx x x f x g x a a a a a ⎛⎫<⇔<⇔<⇔<= ⎪⎝⎭，当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0.-∞；∴当a>1时，x的取值范围是(,0)+∞.当0<a<1时，x的取值范围是(0,)【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.。
212指数函数及其性质1
◆ 0＜a＜1时，图象 1
自左至右逐渐下降
0
x
0
x
向上无限伸展，向下与x 轴无限接近
当 x > 0 时，y > 1. a>1
当
x
<
0
时，.
0<
y
y
<
1
图象
（0，1）
y=1
0<a<1
y
y=1
（0，1）
定义域 值域 定点 奇偶性 单调性 函数值 分布
O
x
O
x
当Rx < 0 时，y > 1；
(0当, ＋x >∞0) 时， 0< y < 1。
(0,1)
非奇非偶函数
在R上是增函数
在R上是减函数
>1 (x>0)
ax =1 (x=0)
<1 (x>0)
ax =1 (x=0)
<1 (x<0)
>1 (x<0)
例题讲解
例2 已知指数函数f(x)的图象经过点(3，π)，
求f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分析：指数函数的图象经过点 3, ，
有 f 3 ，
பைடு நூலகம்
1
即 a3
于是有
f
x
，解得 x
3
a 3
想一
想
思考：确定一个指数函数
所以：
需要什么条件？
f
0
π0
1,f
1
1
π3
3
π ,f
3
π 1
1
.
π
课堂练习
2.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=（a-1)x2
2.1指数函数(1)
2.1指数函数指数和指数幂的运算：根式：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*,1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
1、当n 是奇数时，证书的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
这时，a 的n 次方根用符号n a 表示。
2、但n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
这时，正数的n 次方根用符号n a ±()0>a 表示。
3、负数没有偶次方根。
4、0的任何次方根都是0，记作n 0=0.另外有 1、a a n n =)(.2、a a nn =分数指数幂：规定：正分数指数幂的意义是.1n *N n m 0(）＞，且，，＞∈=a a a n m nm1、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
2、指数的概念随着分数指数幂的规定推广到了有理数指数.对于有理数指数，同理有以下运算性质：.Q r 00()(3Q s r 0()(2Q s r 0()1(r ），＞，＞）（）；，，＞）（）；，，＞∈=∈=∈=+b a b a ab a a a a a a a r r r rs s r s r （*）3、运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数。
无理数指数幂：一般地，物理书指数幂是一个确定的实数是无理数），＞αα0(a a ，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（当的不足α近似值从小于α的方向逼近α时，αa 的近似值从小于αa 的方向逼近αa ； 当的α过剩近似值从大于α的方向逼近α时，αa 的近似值从大于αa 的方向逼近αa ．注：运算（*）称为指数律，指数律对于实数指数幂同样适用．指数函数及其性质：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .：一般地，指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且的图像和性质如下表所示．10<<a 1>a图像定义域 R值域()+∞,0性质（１）过定点（０，１），即0=x 时，1=y （２）在R 上是减函数（２）在R 上是增函数附：1、x a y =与xa y ⎪⎭⎫⎝⎛=1关于y 轴对称。
高中数学 2.1.2指数函数及其性质 新人教版必修1
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 x
5
4.5
在R上是增函数，
4
3.5
而2.5<3，所以，
3
f x = 1.72.5 x
2
1.72.5 1.73
1.5 1
0.5
-2
-1
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6
思考与探究1
研究函数 y 2x 和 y (1)x 的图象。
2
问：这两个函数的图象关于y轴对称吗?为什么?有什么规律?
1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质
2.如何记忆函数的性质?
数形结合的方法记忆
y (1)x
3.记住两个基本图形: 2
y
y 2x
2
1
y=1
-2 -1
o1
2
x
在教授过程中，老师应紧扣函数的图像，通过函数的图像总 结指数函数的性质。在这个过程中，老师应有意识的培养学生 怎样去认识，分析一个陌生的函数，并总结函数的相关性质。
课前复习
1 N次方根的概念与基本性质：
复 习
2 分数指数幂的运算性质：
3 分数指数幂的运算性质的灵活运用
据国家统计局报道： 我国三季度GDP呈指 数增长，何谓指数增 长，你对指数增长熟 悉吗？这就是笨节课 需要研究的主要问题 。
一般地，函数
令2x
1 2
x
则2x 2x
y ax
与
y
1
x
a
的图象关于y轴对称，
其中a>0且a≠1。
所 以 y 2 x 和 y 1 2 x关 于 y 轴 对 称
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周考四（2.1指数函数）
姓名 总分
一、选择题（每题8分）
1．若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 ( )
A 、m m
n
n
a a a ÷= B 、n m n m a a a a =⋅ C 、()
n
m
m n a
a += D 、01n n a a -÷=
2 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称 ( )
A x 轴
B y 轴
C 直线y x =
D 原点中心对称
3．函数12010x
y =的值域是
A ∞、（0,+）
B 、（0,1）
C ⋃∞、（0,1）（1,+）
D ∞、（1,+）
4．若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有 ( )
A ．010><<b a 且
B ．01>>b a 且
C ．010<<<b a 且
D ．01<>b a 且
5．为了得到函数x
y )3
1
(3⨯=的图象，可以把函数x
y )3
1(=的图象 ( )
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
6．函数y ＝a x
在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3ax －1在［0，1］上的最大值是( ) A ．5
B ．1
C ．3
D ．
2
3 7．设f （x ）＝x
)2
1(，x ∈R ，那么f （x ）是 ( ) A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数
D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数
8．下列函数中值域为正实数的是 ( ) A ．y ＝x
-215
B ．y ＝x
-1)
3
1( C ．y ＝1)2
1
(－x
D ．y ＝x 21－
9．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是 ( ) A ．5－x ＜5x ＜0.5x
B ．5x ＜0.5x ＜5－x
C ．5x ＜5－x ＜0.5
x
D ．0.5x ＜5－x ＜5x
10 已知1
3x x
-+=，则332
2
x x -+值为 ( )
A B C D -
二、填空题（每题10分）
11 方程
33131=++-x
x
的解是______________。
12 函数y =______________；值域是______________。
13 化简11
410
104
848++的值等于______________。
14．计算：（每题6分）
（1）3118
2
4
a a a -
⋅⋅ （2）13
3
6827a b -
-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
15．已知2215
32<⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--x x ，求实数x 的取值范围。
（12分）
16 求函数11()()14
2
x
x
y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。
（16分）。