信号与系统第一章
信号与系统第一章(重点)
－1
图 1.2-1 连续时间信号
离散时间信号：亦称序列， 其自变量n是离散的， 通常为整数。 若是时间信号 （可为非时间信号）， 它只在某些不连续的、 规定的瞬时给出确定的函数值， 其它 时间没有定义， 其幅值可以是连续的也可以是离散的， 如图1.2-2所示。
x1(n) 2
1
只能取－1,0,1,2
0
t
－1
6. 单位冲激偶函数δ′(t)
单位冲激函数的导数。
(t)
1 lim
0
u(t
)
2
u(t
2)
(t)
d(t)
dt
1 lim
0
(t
)
2
(t
2)
(1.3-30) (1.3-31)
式（1.3-31）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数，
0
t
－k
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt 复指数信号可分解为实部与虚部。 实部为振幅随时间变化的余弦函数， 虚部为振幅随时间变化的正弦函数。
第1章 信号与系统
1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解 1.6 系统及其响应 1.7 系统的分类 1.8 LTI系统分析方法
1.1 信号与系统概述
人们每天都与载有信息的信号密切接触:
听广播、看电视是接收带有信息的消息； 发短信、打电话是传送带有信息的消息。
信号与系统第一章
x(t ) A sin(t ) A cos(t )
A
x(t )
T
T
t
θ与φ称为它们的相位，它们的关系为： 2 上图中： 0 所以函数式为：
x(t ) A sin( t ) A cos t 2
因为同一个信号可以用正弦或余弦函数表示，仅有相 位的差别，今后在不发生混淆的时候，就不区别称呼。
波形图：
x(t )
A A
A R (t ) t0
0
t0
A R(t t0 ) t0
t
0
t0
t
0
A
t0
t
0
t0
t
Au(t t0 )
A
0
t0
t
函数式：x(t ) A [ R(t ) R(t t )] Au(t t ) 0 0
t0 A A tu(t ) (t t0 )u (t t0 ) Au(t t0 ) t0 t0
t
复指数信号不是一个实际的信号，但其实部和虚部均表 示幅度按指数规律变化的正余弦信号。 当σ=0，复指数信号表示等幅的正余弦信号；当Ω=0， 表示单调变化的指数信号，当两者均等于0，表示一直流 信号。因此，复指数信号综合地表示多种有用信号，在信 号与系统分析中，是一个重要的基本信号。
7、抽样函数信号：
(n n0 )
1
0
n0
n
x ( n)
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
2 1
0
1 2 3
4
5
n
x(n)(n) x(0)(n)
1
0
3
n
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
信号与系统第一章信号与系统
第二节 信号
• 信号常可以表示为时间的函数(或序列)，该函数的图象 称为信号 的波形，在讨论信号时，信号与函数(或序 列)两词常互相通用。 确定信号：即在给定的时间里有确定的值，可用确 定的时间函数(或序列)表示 随机信号：即不确定性信号，如干扰和噪声，其情 况不能确定 随机信号可用统计的方法处理，本课程中主要研究 确定信号。
•
函数（有周期性）。
• 三.实信号和复信号
• 物理可实现的信号，一般可表示为t(或k)的实函数，各时刻函数或序
• 列值为实数。
• 而函数（或序列）值为负数的信号称为复信号。常见的有复指信号。
• 1.连续复指数信号：
• f (t) e,st －∞<t<∞，s为复数s=δ+jω，{δ为实部Re[s],ω为虚
• 连续周期信号表示为：ƒ(t+mT). m=0,±1,±2,…，T为周期.
• 离散周期信号表示为：ƒ(k+mN).m=0,±1,±2,…，N为周期.
•
• 例：
半波整流信号：
• 连续的
•
方波信号：
f(t
•
正弦序列(sinkβ)：
••
•• ••
•
•
• 注意：对离散信号的周期问题注意：
1• • • •
•
k
-1 1 2 3
• 信号的自变量为离散的，若序列的值（幅变）也为离散的称为数字信
号
• 即 连续时间信号 模拟信号
•
一般
实际应用中不太区别
• 离散时间信号 数字信号
•
一般
• 二 . 周期信号和非周期信号：
• 1.周期信号定义在（－∞，∞）区间，每隔一定时间T（或整数N）
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号与系统绪论第一章
= −
1 a
δ(t)dt
证毕。
1 1 1 ∴ 2δ ( t + ) = 2δ [ ( t + 1 )] = 4δ ( t + 1 ) 2 2 2
作业 2t＋ 的波形。 1、信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。 信号f(t)的波形如图所示。画出信号f f(t)的波形如图所示
f (t )
意义：在同样起始条件 下，系统的响应与激励 输入的时刻无关。
t0
t0 +T
t
0
t0
t
波形不变，仅延时 t0
1.3 系统的描述与分类
例3：判断以下系统是否为非时变系统。
(1) r (t ) = T [e(t )] = ate(t ). (2) r (t ) = T [e(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)] = ae(t )
f (t + t 0 )
左移 1
− t0 − 2 − t0 − t0 + 1
0
f (−t + t 0 )
反转
1
0
f (t )
1
t0 − 1 t0
t0 + 2 t
－2
0 1
t
f (t − t 0 )
1 右移 t0 − 2 t0 t 0 + 1 t
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
= k1 [ ae1 ( t ) + b ] + k 2 [ ae2 ( t ) + b ] = a [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] + bk1 + bk 2
显然 T [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] ≠ k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) 故系统为非线性系统。
信号与系统第一章(1.2 1.3)系统的描述
,k 0
式中a,b为常数, x 0 为初始状态,在t=0或k=0时接入 激励 f 。上述系统是否为线性的,时不变的
解：(1)系统的零输入响应和零状态响应分别为
y x ( t ) ax(0) y f ( t ) b f d
t 0
,t 0
符合分 解特性
显然，无论激励是何种形式的序列，只要它是有界的， y f也是有界的，因而该系统是稳定的。 (k ) 那么
例2： y f (t ) 0 f ( x )dx, t 0 是否稳定？ 若 f (t ) (t ) ，则
t
y f (t ) f ( x )dx ( x )dx t , t 0
当 f1 t f t t 0 时
所以，该系统为时不变系统。
2 y f t f t cos t
当 f1 t f t t 0 时
y f 1 t f t t 0 cos t y f t t 0
所以，该系统为时变系统。
y x (t ) 、 y f (t ) 满足零输入线性和零状态线性，
因而该系统是线性的。
设
f1 ( t ) f ( t t 0 ), t t 0 , 其零状态响应
令 x t 0 ，则
y f1 (t ) b f ( t 0 )d
0
t
, t t0
dx d，代入上式，相应的积分
0 0
t
t
它随时间t无限增长，故系统是不稳定的。
1.2.3 系统的描述
建立描述系统基本特性的数学模型 分析一个系统 用数学方法求出它的解 对所得的结果赋予实际的含义
1、系统的数学模型
《信号与系统》第一章
学习目标
1
掌握信号与系统的基本概念、性质和分类，理解 信号与系统在信息传输、处理和应用中的重要地 位和作用。
2
掌握信号的描述和分析方法，包括时域和频域分 析，理括线性时不变系 统和线性时变系统，理解系统的基本特性、分析 和设计方法。
02
系统的基本概念和分类
阐述了系统的基本概念，系统分类（如线性时不变系统、非线性系统 、离散系统等），以及系统的描述方法。
信号与系统在通信工程中的应用
讨论了信号与系统在通信工程中的重要性，如调制解调、频分复用等 。
信号与系统在控制工程中的应用
探讨了信号与系统在控制工程中的应用，如PID控制器、控制系统稳 定性分析等。
下章预告
傅里叶变换
介绍傅里叶变换的定义、性质 及其在信号处理中的应用。
系统的状态变量分析
通过状态变量法对线性时不变系统 进行分析，包括状态方程的建立、 解法以及系统的稳定性分析。
拉普拉斯变换与Z变换
介绍拉普拉斯变换和Z变换的定 义、性质及其在连续系统和离 散系统分析中的应用。
系统的能控性和能观性
介绍能控性和能观性的概念、 判据以及其在控制系统设计中 的应用。
02
在实际应用中，需要根据具体需求和场景，选择合适的系统和信号处理方法， 以达到最佳的处理效果。
03
深入研究和理解信号与系统之间的相互作用关系，有助于更好地应用信号处理 技术，推动相关领域的发展和创新。
05
CATALOGUE
总结与展望
本章总结
信号的基本概念和分类
介绍了信号的基本概念、信号的分类（如连续信号、离散信号、周期 信号、非周期信号等）以及信号的表示方法。
CATALOGUE
信号的基本概念
信号与系统第1章总结
第一章：信号与系统的基本概念1.1 信号的基本概念一、什么是信号信号是信息的表现形式。
例如，光信号、声信号和电信号等。
二、信号的分类1、确定性信号和随机信号()f t 确定性信号有确定的函数表达式2、周期信号和非周期信号f(t)=f(t+kT) k=1,2,3...周期信号3、连续时间信号和非连续时间信号时间t 连续的是连续时间信号，时间变量t 只取特定值的为离散时间信号4、有始信号和无始信号0t t <若，0()0,f t t =为起始点三、典型的连续时间信号1、正旋信号21()cos(),,,2f t A wt T f w f w T πϕπ=+===AMFMPM A w ϕ不为常数，调幅信号不为常数，调频信号不为常数，调相信号欧拉公式：cos 2sin 2j j e e j j ee jθθθθθθ-+--=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=2、指数信号为实数αα,)(t ke t f =3、复指数信号（一种数学模型）(),st f t ke s jw δ==+4、抽样信号sin (),a ts t t t =-∞<<∞性质1、偶函数，随着t 的增大，幅值减小0sin 2()lim 1a x tt t →==性质：t=0,s3sin 0,1, 2...t t k k π=⇒==±±性质：过零点1.2 信号的运算一、信号的时域变换1、平移（时移）000()()()()()()f t f t t f t f t t f t f t t =±→-→+右移，左移2、反转以纵轴为中心，左右反转()()f t f t =-t 3、展缩{011,()(),a a f t f at <<>=，扩展压缩二、信号的相加、相乘、微分和积分1、相加：对应点相加2、相乘：主要用于信号的截取3、微分：t 4∞、积分：指(-,0)上积分t-(),f d t ττ∞⎰为变量t<0()0t 1()t>1()1t t t f d f d tf d ττττττ-∞-∞-∞=<<==⎰⎰⎰当时，当0时，当时，1.3 奇异信号----------------------------------------------------一种数学模型信号的取值或导数出现了奇异值（极大），趋于无穷一、单位阶跃信号{0,01,0()t t t ε<>=t因果信号{0,0(),0()()t f t t f t t ε<>=二、单位冲击信号----------------也是一种数学模型作用时间极短，但幅值极大{()0,0()1,1t t t dt δδ+∞-∞=∀≠=⎰即冲激强度为性质1：抽样性0000001.()()(0)()2.()()(0)()3.()()(0)()(0)4.()()()()()t t t t f t t f t f t t t f t t f t t d f t d f f t t t d f t t t d f t δδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰性质2：卷积特性1212()()()()()f t f t f t f f t d τττ+∞-∞=*=-⎰0005.()()()()()6.()()()()()f t t f t d f t f t t t f t t d f t t ττδτδτδτδτ+∞-∞+∞-∞*=-=*-=--=-⎰⎰注：一个信号与冲激信号的卷积就是信号本身三、阶跃、冲激信号的关系 {0,01,0()()()()t t t d t d t t dt δττεεδ<-∞>===⎧⎰⎨⎩注：阶跃信号求导即为冲激信号1.4 信号分解为冲激信号的叠加1.5系统及分类一、分类1.连续时间系统：微分方程离散时间系统：差分方程2.线性系统：叠加性、齐次性f(t)→系统→y(t) kf(t)→系统 →ky(t)f1(t)+f2(t)→系统→y1(t)+y2(t)当齐次和叠加只要有一个不满足则是非线性的3.因果系统：响应不早于激励非因果系统4.时变系统是不变系统：输入输出都做相应的变化，并不随时间变化二、线性时不变系统（LTI 系统）性质1：线性、齐次性、叠加性Yzi(t):零输入响应，外部激励为0，仅在初始状态作用下的响应 Yzs(t):零状态响应，仅在外部激励作用下的响应性质2：是不变性性质3：微分、积分性f(t)→系统→y(t)()y ()f t t ''→→系统t -()()tf t dt y t dt-∞∞→→⎰⎰系统 性质4：因果性。
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n
0
图(1.2) 离散时(b间) 信号的例子： （a）日销售额统计；
（b）正弦函数采样后序列
信号分析与处理
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2004.09.08
5
第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的分类
第四章
第五章
2. 信号的分类(续1)
• 周期信号和非周期信号
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 定义和描述
第四章
1.1 信号的概念
1. 信号的实例和描述
第五章
第六章
说明
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
心电图实例
音乐信号
展开后显示的 wav 波形
图像－银河系
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中 国 石 化 股 票 线 图
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2
K
第一章 信号的概念
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图（1.4）连续 时间信号的相 加和相乘
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14
第一章 信号的概念
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
第四章
第五章
第六章
说明
基本离散信号
基本连续信号 系统
课程结构与内容
x1 (n)
2 1
x2 (n)
2 1
图（1.5）离 散时间信号 的相加和相 乘
k阶差分 y(n) k x(n) k1x(n) k1x(n 1) 一阶差分例子
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
第四章
第五章
第六章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
例1.1解 (1)
第四章
第五章
第六章
说明
系统 课程结构与内容
x1
(t
)
e 2t 0
t 0 ;
t0
x2 (t) sin 0t
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
前页 后页
1 n 3
x1(n) 0
; n3
x2
32 1 2
-1
4
o1 2 3 n
-2 -6
(d)
x(n) x(n) x(n 1)
图(1.6)离散 序列的差分
图(1.6)离散序列的差分
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第一章 信号的概念
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
第四章
第五章
第六章
说明
3.基本的信号运算(续 基本离散信号
第四章
第五章
第六章
说明
系统 课程结构与内容
x1
(t
)
e 2t 0
t 0 ;
t0
x2 (t) sin 0t
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
前页 后页
1 x1(n) 0
n3 ;
n3
x2
(n)
2 n 0
x1
(n)
x2
(n)
2n 0
第五章
2. 信号的分类(续2)
• 确定性信号和随机信号
第六章
说明
确定性信号: 变化规律可以用一个确定 的连续或离散函数表示。
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
随机信号: 在某一时刻的信号取值是随 机的、不确定的，只能知道该时刻取 某个值的概率大小。
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周期信号必满足：
第六章
说明
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
前页 后页
周期信号的例子
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的分类
图(1.3) 周期信 号
…
第四章
第五章
基本连续信号
系统 课程结构与内容
2)
• 信号的积分
yt
t
x
d
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
• 信号的求和
n
y(n) x(m) m
例1.1
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
例1.1
第四章
第五章
第六章
说明
已知连续时间信号 x1(t) , x2 (t) 和离散时间信号 x1(n), x2 (n) 如下:
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
后页
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
(n)
2 n 0
n0 n0
2n 1 x1(n) x2 (n) 2n
0
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n3 0n3 n0
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
例1.1解（2）
P lim 1
N
| x(n) |2
N 2N 1 nN
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第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的分类
第四章
第五章
• 能量信号和功率信号(续2)
能量信号: 信号能量为有限值
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的运算
x1 (t)
1
o
1t
(a)
第四章
第五章
x2 (t)
1
o
1
t
(b)
第六章
说明
x1(t) x2 (t)
x1 (t) x2 (t)
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
返回
1
1
o
1
(c)
t
o
1
t
(d)
图（1.4）连续时间信号的相加和相乘
说明
3 1 -1 o1
6 4
n
234
-2
(a) x(n)
6
34
1
-2
n
-1 o 1 2 3
-2 (b) x(n 1)
6
34
1 o
n
12 34 5
-2 (c) x(n 1)
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
返回
321 2
-2
3
-1 1 2 n
-2 -6
(e)
x(n) x(n 1) x(n)
第六章
说明
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
功率信号:信号功率为有限值
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说明
第一章 信号的概念
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的分类
第四章
第五章
第六章
基本离散信号 基本连续信号
小结：
系统
• 三种基本分类：
课程结构与内容
第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
欢迎第使二用章《信号分析第与三处章理》电子教案第四章
第五章
第一章 信号与系统
第六章
说明
电 子 教 案 制
作
丁 志 中
吴 玺
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1
第一章 信号的概念 基本离散信号 基本连续信号
系统 课程结构与内容
第二章
第三章
1.1 信号的概念 >> 信号的分类
第四章
第五章
第六章
说明
基本离散信号 基本连续信号
2.信号的分类
系统 课程结构与内容
• 连续时间信号和离散时间信号
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
连续时间信号:信号的自变量取值连续可变 连续时间信号例子 [图1.1]
离散时间信号:自变量只能在离散的点上取值 离散时间信号例子 [图1.2]
n0 n0
实例和描述 信号的分类 信号的运算 自变量的变换
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dx1 (t) dt
0
2e 2t
t 0 t0
2n 2(n1) 2n n 1
x2 (n) x2 (n) x2 (n 1) 1
n0