第三章 数学模型2-传递函数
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传递函数
本文深入探讨了控制系重要工具，能够反映系统输入与输出之间的关系。文中详细阐述了数学模型的多种表示形式，如微分方程、结构框图和信号流图等，并指出它们在经典控制理论和现代控制理论中的应用。此外，还介绍了建立数学模型的两大类方法：机理分析建模方法和实验建模方法。这些方法为我们理解和分析控制系统的行为提供了有力支持。然而，关于传递函数的具体类型和传递方式，本文并未直接给出五种常见类型，而是侧重于传递函数的基础概念和建模方法。在实际应用中，传递函数的类型和传递方式会根据系统的具体特性和需求而有所不同。
传递函数
# 2—2 传递函数的概念
假定初始条件为零，上式的拉氏变换为：
[a0sn+a1sn--1+…+a n--1 s+an]C(s) =[b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm]R(s) 式中：C(s)=L[c(t)] , R(s)=L[r(t)] b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm 则:C(s)= ———————————— R(s) a0sn+a1sn--1+…an—1s+an b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm B (s) 令:(s)= ——————————— = —— n n--1 a0s +a1s +…a n—1s+an A (s) 则:C(s)= (s)*R(s)
U (t ) Ri(t )
取拉氏变换得：
U ( s ) RI ( s ) U (s) Z R ( s) R I ( s)
R I(s)
i(t)
U(s)
R
②电感
di (t ) U (t ) L dt
i(t)
L U(t)
取拉氏变换得：
U ( s ) LSI ( s ) U ( s) Z L (s) LS I (s)
Yo ( s) k ( s ) 2 Yi ( s) m s fs k
建立微分方程的一般方法
例三、据如图所示电路，求系统的传递函数。
R1 解：根据电路图，列 写出相应的方程； Ur i1 C1 R2
i2
U c1
Uc
C2
U r R1i1 U c1 dUc1 1 (i1 i2 ) dt C1 U c1 R 2 i2 U c dUc 1 i2 dt C2
2.2 传递函数
3、典型环节的形式
G (s) K
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
五、传递函数的求取
1、解析法
建立微分方程，根据微分方程按定义求取
介绍一种方法：复阻抗法
i
U R
du iC dt
i
1 udt L
U (s) I (s) R
U (s) I (s) Z (s)
I ( s) CsU ( s) U ( s )
1 Cs
1 Cs
I (s)
U (s) Ls
R
Ls
1 , Ls 分别成为电阻、电容和电感的复阻抗 把 R, Cs
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如 下问题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输 入信号作用下的动态过程。 可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影 响，因而使分析系统的问题大为简化。 可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求， 使综合问题易于实现。
11/17/2013 8:53:46 PM
3
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，
记为G(s)，即：
L[ y (t )] Y ( s ) G( s) L[r (t )] R( s )
意义：
R( s )
G (s )
Y ( s)
Y (s) R(s)G(s)
1 1 Y ( s) G s) R s) （ （ Ts 1 s
传递函数
0
Y ( s) 传递函数： G ( s) k X ( s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器， 放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
2019年2月7日星期四 2时47分5秒 11
积分环节
（二）积分环节： 时域方程：y (t ) k
x(t )dt, t 0
0
t
Y ( s) k 1 传递函数：G ( s) X ( s) s Ts
1 T ( 2 1)
2019年2月7日星期四 2时47分5秒
17
振荡环节分析
2 n 则 Y ( s) G( s) X ( s) 2 s(s 2 2 n s n )
若 0 1 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成： n2 1 X ( s ) G( s) 2 设输入为： 2 s s 2 n s n
ai , b j —为实常数，一般n≥m 式中：
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。 表示成零点、极点形式：
m
Y ( s ) bm Q ( s ) G (s) Kg X ( s ) an P ( s )
式中：
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
2时47分5秒 3
传递函数的基本概念
[关于传递函数的几点说明] 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分 方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理 性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函 数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数 的各种系统。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多 个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其 它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶 次年 n2 大于分子的阶次 m，此时称为n阶系统。 2019 月7日星期四
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
传递函数建模
传递函数建模
传递函数建模是一种将系统的输入与输出之间的关系表示为传递函数的方法。
传递函数（Transfer Function）描述了输入信号与输出信号之间的数学关系，在控制系统中常用于分析系统的动态行为和进行系统设计。
传递函数建模的步骤如下：
1. 系统分析：首先对待建模的系统进行分析，了解系统的输入输出关系。
可以通过实验、观察或数学建模等方法来获取系统的输入输出数据。
2. 建立数学模型：根据系统的输入输出关系，建立系统的数学模型。
传递函数通常是用拉普拉斯变换表示的，可以将系统的输入输出关系表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
3. 参数估计：确定传递函数的参数。
有时候，系统的参数可以通过实验测量得到，或者通过理论分析进行估计。
4. 评估模型：对建立的传递函数模型进行评估，比较模型的输出与实际系统的输出之间的差异，调整模型的参数以提高模型的拟合度。
5. 使用模型：使用建立的传递函数模型进行系统分析和设计。
传递函数可以用于分析系统的稳定性、频率响应、阶跃响应等性能指标，同时也可以用于设计控制器或者滤波器。
总之，传递函数建模是一种对系统进行数学建模的方法，通过建立数学模型来描述输入输出关系，从而分析系统的动态行为和进行系统设计。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
机械控制工程第二节 系统传递函数
(t)
xo
(t)]
第三章 系统数学模型
cXo (s) kXi (s) kXo (s)
G(s) Xo(s) 1 Xi (s) Ts 1
图3－15 弹簧－阻尼系统
式中T＝c/k为惯性环节时间常数
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
5、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个
（3－9）
机械工程控制基础
例3-13：
第三章 系统数学模型
由上图有： 拉氏变换后： 故传递函数为：
RC
duc (t dt
)
uc
(t
)
ur
(t
)
RCUc (s)s Uc (s) Ur (s)
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
机械工程控制基础
例3-14：
c
dxo (t) dt
k[ xi
1
1
C2 i2 dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2
i2dt uc
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
3、在零初始条件下，进行拉氏变换：
1 C1S
( I1
I2 )
I1R1
Ur
1 C2 S
I2
I2 R2
1 C1S
( I1
I2 )
1 C2 S
I2
Uc
4、消除中间变量，并整理得：
1、比例环节（又叫放大环节）
第三章 系统数学模型
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现 象。
运动方程: c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
传递函数： G(s) C(s) K
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零、极点分布图
传递函数的零、极 点分布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面 上的图形。 零点用“O”表示
极点用“×”表示
单位脉冲响应
单位脉冲函数 xr (t ) (t )
系统输出
X r (s) L[ (t )] 1
xc (t )
X c ( s) G( s) X c ( s) L[ g (t )] X r ( s)
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
高等函数初等函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
幂函数的拉氏变换
阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
!传递ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的直接计算法
d (i ) dti
si
特征方程
M ( s) N ( s)
G( s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数） 传递函数 脉冲响应函数
系统动态特性
可见：
①
传递函数是单位脉冲响应函数在拉氏变换下的象 函数。
②
零初始条件下线性定常系统输出拉氏变换和输入 拉氏变换的比。
结论
传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系 来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－ 输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定， 则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
线性系统的输入-输出传递函数描述
拉普拉斯变换复习(复习） 传递函数定义
拉氏变换及其反变换
拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程
传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数 仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入 形式无关。
注意
适用于线性定常系统 只适合于单输入单输出系统的描述 无法描述系统内部中间变量的变化情况
传递函数原则上不能反映系统在非零初始条 件下的全部运动规律
传递函数中的各项系数和相应微分方程中的 各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。
bm K 系统的放大系数或增益 当s=0时 G(0) an
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为 零。K ——系统处于静态时，输出与输入的比值。
零点和极点
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) a0 s m a1s n1 ... an1s an
传递函数的定义 在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于 稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导 数也均为0 )下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
G( s) L[ xc (t )] X c ( s) L[ xr (t )] X r ( s)
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理
终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
微分定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
拉氏变换求解线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
微分方程式的解
a、
A、B、
指数函数 正弦函数
b0 ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) G( s) a0 ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点。
N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点。 ！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
LCs U0 (s) RCsU0 (s) U0 (s) Ui (s)
2
（LCs RCs 1）Uc (s) Ur (s)
2
U 0 ( s) 1 2 U i (s) LCs RCs 1
R(s)
G(s)
C(s)
C ( s) G( s) R( s )
零初始条件下
• 运算阻抗法
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
卷积定理
其它方法
变量置换法
拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
U 0 ( s) 1 Cs G ( s) U i ( s ) R Ls 1 Cs 1 LCs 2 RCs 1
系统传递函数的一般形式
d n xc (t ) d n 1 xc (t ) dxc (t ) a0 a ... a an xc (t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m xr (t ) d m1 xr (t ) d xr (t ) b0 b1 ... bm1 bm xr (t ) m m 1 dt dt dt
初始条件为零时 微分方程拉氏变换
(a0 s n a1s n1 ... an1s an ) X c (s) (b0 s m b1s m1 ... bm1s bm ) X r (s)
系统的传递函数 X c (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) X r (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
课堂小结
掌握拉氏变换求解微分方程的方法
牢固掌握系统传递函数的定义
谢谢大家！
系统(或环节) X (s) r 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X c ( s)
X c (s) X r (s)G(s)
例：RLC电路
微分方程：
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
外部条件 起始条件
Aeat Bsin(t+)
微分方程式的各系数
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
拉氏变换 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1. f(t)实函数； 2. 当t<0时 ， f(t)=0； 3. 当t0时，f(t)的积分 0 f (t )e st dt在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。