第二章 控制系统的动态数学模型
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自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
《控制工程基础》 控制工程基础》
第2章 控制系统的动态数学模型 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的基本概念 （1）传递函数的定义 ）
线性定常系统在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统 的传递函数。
X o (s ) G (s ) = X i (s )
m n bm * K = =K ∏(-Zi ) / ∏(− pj ) an i=1 j =1
∏(s − zj ) j=1
m
∏(s − pi ) i=1
n
为传递函数的增益
b0 K = a0
*
为根轨迹增益
T和τi 为时间常数 i
零、极点分布图：
b0(s − z1)(s − z2 )… (s − zm) M(s) … G(s) = = a0 (s − p1)(s − p2)… (s − pn ) D(s) …
描述该线性定常系统的传递函数为
…+bm−1s + bm Xo (s) b0sm + bsm−1 +… 1 G(s) = = Xi (s) a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an M(s) = D(s)
式 ： (s) = b0sm + bsm−1 +… 中 M …+ bm−1s + bm 1 D(s) = a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an
LCs U c ( s ) + RCsU c ( s ) + U c ( s ) = U r ( s )
2
按照定义，系统的传递函数为：
U c (s) 1 = G (s) = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
第2章 控制系统的动态数学模型 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的基本概念 （1）传递函数的定义 ）
线性定常系统在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统 的传递函数。
X o (s ) G (s ) = X i (s )
m n bm * K = =K ∏(-Zi ) / ∏(− pj ) an i=1 j =1
∏(s − zj ) j=1
m
∏(s − pi ) i=1
n
为传递函数的增益
b0 K = a0
*
为根轨迹增益
T和τi 为时间常数 i
零、极点分布图：
b0(s − z1)(s − z2 )… (s − zm) M(s) … G(s) = = a0 (s − p1)(s − p2)… (s − pn ) D(s) …
描述该线性定常系统的传递函数为
…+bm−1s + bm Xo (s) b0sm + bsm−1 +… 1 G(s) = = Xi (s) a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an M(s) = D(s)
式 ： (s) = b0sm + bsm−1 +… 中 M …+ bm−1s + bm 1 D(s) = a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an
LCs U c ( s ) + RCsU c ( s ) + U c ( s ) = U r ( s )
2
按照定义，系统的传递函数为：
U c (s) 1 = G (s) = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
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1 ( s j ) t 1 ( s j ) t dt dt 0 e 0 e 2j 2j 1 1 1 s j s j s 2 2 2j
余弦函数的拉氏变换:
X ( s ) Lcost 1(t ) cost 1(t )e st dt
2.1 基本环节数学模型
2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统. 较大惯性的构件:抽象为质量块 较小惯性且柔度较大的构件:抽象为弹簧 这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统
(a)结构示意图
(b)等效力学模型
进给传动装置 (a)结构示意图; (b)等效力学模型
动方程变为一阶常系数微分方程.
f i (t ) f D (t ) f k (t ) Dx0 (t ) kx0 (t ) f i (t )
机械旋转系统
J -旋转体转动惯量;k-扭转刚ห้องสมุดไป่ตู้ 系数;D-粘性阻尼系数.
此即机械旋转系统以齿轮角位移为输入信号,角位移θo(t)为输 出信号的运动方程式,即数学模型.
2.2 数学模型的线性化
线性系统与非线性系统 线性系统:可以用线性微分方程描述的系统.如果方程的系数为常 数,则为线性定常系统;如果方程的系数是时间t的函数,则为线性时 变系统;线性是指系统满足叠加原理,即: 可加性: 齐次性: 非线性系统:用非线性微分方程描述的系统.非线性系统不满足叠 加原理.实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作范围 内成立.为分析方便通常在合理的条件下将非线性系统简化为线 性系统处理.
2.1.2 电路网络
电路网络由三个基本元件:电阻、电容和电感. 电阻:
电容:
电感:
R-L-C无源电路网络
di(t ) L Ri(t ) uC (t ) ui (t ) dt 1 uo (t ) uC (t ) i (t )dt C
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
5.单位斜坡函数
f(t)
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 0 1
t
单位斜坡函数的拉氏变换:
1.单位阶跃函数(1(t))
u(t)
0, t 0 1(t ) 1, t 0
1 0 t
单位阶跃函数的拉氏变换:
L1(t ) 1(t )e dt
st 0
0
e 1 e dt s 0 s
st st
幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为:
小
结
(1)物理本质不同的系统,可以有相同的数学模型,从而可以抛开系 统的物理属性,用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方 法). (2)通常情况下,元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包 含的独立储能元件(惯性质量、弹性要素、电感、电容等)的个数. (3)系统的动态特性是系统的固有特性,仅取决于系统的结构及其参 数,与系统的输入无关. 单输入、单输出线性系统的微分方程的数学模型的一般形式如下:
L (t ) lim
t0
t 0 0 0
1 st e dt t0
st t0
1 e 1 lim lim 1 e st 0 t 0 0 t s 0 t 0 0 t 0 s 0
由洛必达法则：
d 1 e st 0 dt0 lim 1 t0 0 d st 0 dt0
机械系统中以各种形式出现的物理现象,都可简化为质量、弹簧 和阻尼三个要素:
组合机床动力滑台及数学模型
控制系统微分方程的列写
质量:假设弹簧和阻尼器运 动部分的质量忽略不计,运 动部件的质量是集中参数. 则运动部件产生的惯性力为: 弹簧:设弹簧的变形在弹性范 围内,k为弹性刚度,则弹性力为:
fm
d d 2x m v(t ) m dt dt 2
本章要熟悉下列内容:
(1)建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和 电机)的数学模型及模型的线性化 (2)重要的分析工具:拉氏变换及反变换 (3)经典控制理论的数学基础:传递函数 (4)控制系统的图形表示:方块图及信号流图 (5)建立实际机电系统的传递函数及方块图 (6)系统数学模型的MATLAB实现
对于不同的弹簧,受力相同,变形量不同.
阻尼:阻尼器的阻尼力为
机械平移系统(质量-弹簧-阻尼系统)
根据牛顿定律:
d 2 x0 (t ) dx0 (t ) m D kx0 (t ) f i (t ) 2 dt dt
可整理
m0 (t ) Dx0 (t ) kx0 (t ) fi (t ) x
0
e jt e jt 1 1 1 s L 1(t ) ( ) 2 2 2 s j s j s 2
4.单位脉冲函数 (δ(t)) P28 例2-1
1 tlim (t ) 0 0 t0 0 0 t t0 t 0或t t 0
L( s ) LA 1(t )
0
A A 1(t )e dt s
st
2.指数函数
x(t ) e
at
（a为常数）
指数函数的拉氏变换:
L e 1(t ) e 1(t )e dt e ( s a )t dt
at at st 0 0
1 ( s a ) t e sa
建立控制系统的数学模型,并在此基础上对控制系 统进行分析、综合,是机电控制工程的基本方法.如果将 物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式 描述出来,就得到了组成物理系统的数学模型. 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为 基础.而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间 方程为基础.而以物理定律及实验规律为依据的微分方 程又是最基本的数学模型,是列写传递函数和状态空间 方程的基础.
非线性系统数学模型的线性化方法 泰勒级数展开法:函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近 的泰勒级数展开式为:
略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项,则: 或：y -y0 = Δy = KΔx，
由于反馈系统不允许出现大的偏差,因此,这种线性化方法对于
闭环控制系统具有实际意义.
对多变量系统,如:y = f (x1, x2),同样可采用泰勒级数展开获得线性 化的增量方程.
2.3.1 拉氏变换定义 函数x(t)的拉普拉斯变换定义为:
X s Lxt xt e dt ˆ
st 0
其中s=σ+jω(σ, ω均为实数)
X s xt e 0
0
st
t e t - jt dt dt x 0
数学模型线性化问题的提出: (1)几乎所有的实际物理系统都是非线性的:机械系统中 的高速阻尼器,阻尼力与速度的平方有关;齿轮啮合系 统由于间隙的存在导致的非线性传输特性. (2)非线性系统的理论还不完善. (3)线性系统的理论相当成熟:将非线性系统简化为线性 系统,利用线性系统理论解决非线性系统是解决问题的 一个方法.
2.0 系统数学模型的基本概念
数学模型:是描述系统输入、输出量以及内部变量之间 关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性 能之间的内在关系.
建立数学模型的方法 解析法:依据系统及元件各变量间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式,建立模型. 实验法:人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出 响应,并用适当的数学模型进行逼近.这种方法也称为 系统辨识. 数学模型应能反映系统内在的本质特征,同时应对模 型的简洁性和精确性进行折衷考虑. 数学模型的形式 时间域:微分方程、差分方程和状态方程 复数域:传递函数和函数方块图 频率域:频率响应特性
0
1 sa
3.正弦函数和余弦函数 正弦函数的拉氏变换:
X ( s ) Lsin t 1(t ) sin t 1(t )e st dt
0
e jt cost j sin t； e jt cost j sin t， e jt e jt sin t ; 2j e jt e jt cost 2
第二章 控制系统的数学模型
2.0 系统数学模型的基本概念 2.1 基本环节数学模型 2.2 数学模型的线性化 2.3 拉氏变换和拉氏反变换 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数 2.5 系统函数方框图及其简化 2.6 系统信号流图及其梅逊公式 2.7 受控对象数学模型 2.8 绘制实际物理系统的函数方块图 2.9 控制系统数学模型的MATLAB实现
d 2 o (t ) d o (t ) J T (t ) D 2 dt dt
基尔霍夫定律
电磁感应定律
牛顿第二定律
消去中间变量,得到
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型,系统 输入是电动机电枢输入电压,输出是电机轴转角. 当电枢电感较小时,通常可忽略不计,系统微分方程可简化为 二阶系统:
复杂数学模型建立的一般步骤 (1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统 和各元件的输入、输出量; (2)从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵 循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方 程; (3)消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量 之间关系的微分方程; (4)标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列.
a0 xon t a1 xon 1 t an 1 xo t an xo t
b0 xi
m
t b1 xim1 t bm1 xi t bm xi t
a0 ,a1,a2,…,an和b0,b1,…,bm为由系统结构参数决定的实常数,m<n.