《高考数学第一轮复习课件》第63讲 空间向量的概念及运算

新课标高中一轮总复习
理数
第九单元 直线、平面、 直线、平面、简单几何 体和空间向量
第63讲 63讲
空间向量的概念及运算
1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌 了解空间向量的基本定理及其意义， 了解空间向量的基本定理及其意义 握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空 握空间向量的正交分解及其坐标表示 掌握空 间向量的线性运算及其坐标表示. 间向量的线性运算及其坐标表示 2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能用向量的数量积判断向量的共线与垂直； 能用向量的数量积判断向量的共线与垂直； 理解直线的方向向量. 理解直线的方向向量 3.学会借助向量的坐标运算来证明线线垂 学会借助向量的坐标运算来证明线线垂 线面垂直及直线与直线所成的角的计算. 直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算
A.1 C.3
B.2 D.4
uuu r 2.已知 、A、B、C为空间四点，又 OA 、 已知O、 、 、 为空间四点 为空间四点， 已知 uuu uuur r 为空间的一个基底， OB 、OC 为空间的一个基底，则( D )
A.O、A、B、C四点共线 、 、 、 四点共线 B.O、A、B、C四点共面但不共线 、 、 、 四点共面但不共线 C.O、A、B、C四点中有三点共线 、 、 、 四点中有三点共线 D.O、A、B、C四点不共面 、 、 、 四点不共面
要想用已知向量表示未知向量， 要想用已知向量表示未知向量 ， 分析 只需结合图形，力扣基底， 只需结合图形，力扣基底，充分运用空 间向量加法和数乘向量的运算律即可. 间向量加法和数乘向量的运算律即可
r uuuu uuur uuur 1 uuu 2 uuur r MG = MA + AG = OA + AN r 3 r 2 1 uuu 2 uuur uuu = OA + ( ON - OA ) 2 3 r r r r r 1 uuu + 2 [ 1 ( uuu + uuur )- uuu ]=- 1 uuu + 1 uuu +1 uuur . = OA OB OC OA OA OB OC 6 3 3 2 3 2 uuur uuuu uuuu r r OG =OM + MG r r r 1 uuu 1 uuu 1 uuu 1 uuur 1 uuu 1 uuu 1 uuur r r = OA - OA + OB + OC = OA+ OB + OC . 3 3 2 6 3 3 3
空间向量的加法与数乘向量运算满足如 下运算律： 下运算律： (1)加法交换律 ⑧ a+b=b+a ； 加法交换律:⑧ 加法交换律 (2)加法结合律 ⑨ (a+b)+c=a+(b+c) ； 加法结合律:⑨ 加法结合律 (3)数乘分配律 ⑩ λ(a+b)=λa+λb 数乘分配律:⑩ 数乘分配律 二、共线向量与共面向量 1.如果表示空间向量的有向线段所在的直 如果表示空间向量的有向线段所在的直 线 11 互相平行或重合 ，则这些向量叫做共线 向量或平行向量.a平行于 记作a∥ 平行于b,记作 向量或平行向量 平行于 记作 ∥b. .
是把线段转化成向量， 是把线段转化成向量，并用已知向量表示 未知向量， 未知向量，然后通过向量的运算去计算或 证明，但要注意“和向量”的方向. 证明，但要注意“和向量”的方向
（ ） 点评 1）利用向量证明垂直的一般方法
(2)由本例可以看出利用空间向量证明 由本例可以看出利用空间向量证明 垂直问题要用到空间向量的加法法则， 垂直问题要用到空间向量的加法法则，向 量的运算以及数量积和垂直条件， 量的运算以及数量积和垂直条件，是通过 向量的计算来完成位置关系的判定. 向量的计算来完成位置关系的判定
1.在正方体 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 在正方体 下列各式中运算 的结果为AC1的共有 个 的结果为 ( D)
r uuu uuu uuuu r r ①( AB+BC )+CC1 uuuu r uuu uuur r ③( AB + BB1 )+ B1C1
uuur uuuur uuuur ②( AA1 + A1 D1 )+ D1C1 uuuur uuur uuuur ④( AA1+ A1 D1 )+ B1C1
uuur uuur 因为 AO = AC + r r uuu uuur 1 uuuu uuu uuur 1 uuu uuuu r r r = AB + AD + CD1 = AB + AD + ( CD + DD1 ) uuu uuur 1 2 r 1 uuuu 1 uuu 2uuur 1 uuuu r uuu r r r = AB + AD + CD + DD1= AB + AD + DD1 . 2 r 2 uuuu uuu uuuu r r 2 r 2 r uuuu uuu CD1 =CD+ DD1 =- AB + DD1 ， r uuur uuuu 1 uuu uuur 1 uuuu r r r uuu uuuu r 所以AO CD1 =( AB + AD + DD1 )(- AB + DD1 ) 2 2 r uuu uuu uuur uuu 1 uuuu uuu 1 uuu uuuu r r r r r r 1 =- AB AB - AD AB- DD1 AB + AB DD1 2 2 2 r r r uuur uuuu 1 uuuu uuuu + AD DD1 + DD1 DD1 =0. 2r uuur uuuu 所以 AO ⊥CD1 ，即AO⊥CD1. ⊥
2.共线向量定理： 对于空间任意两个向 共线向量定理： 共线向量定理 量 a ， b(b≠0),a∥b 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 λ ∥ 使12 a=λb . 推论：如果直线l为经过已知点 为经过已知点A且平行 推论 ： 如果直线 为经过已知点 且平行 于已知非零向量a的直线 那么对任一点O， 的直线， 于已知非零向量 的直线，那么对任一点 ， 在直线l上的充要条件是存在实数 点P在直线 上的充要条件是存在实数 ，满足 在直线 上的充要条件是存在实数t， r uuu uuu r 其中向量a叫做直线 等式 13 OP = OA +ta ,其中向量 叫做直线 的 其中向量 叫做直线l的 方向向量. 方向向量 3.共面向量定理 ： 如果两个向量 ， b不 共面向量定理： 共面向量定理 如果两个向量a， 不 共线， 则向量p与向量 与向量a， 共面的充要条件 共线 ， 则向量 与向量 ， b共面的充要条件 是存在实数对x,y,使 是存在实数对 使p= 14 xa+yb .
.
4.已知正四面体 已知正四面体ABCD的棱长为 ，点F、G分 的棱长为1， 已知正四面体 的棱长为 、 分 uuu uuu r r 1 别是AD、 的中点 的中点,则 别是 、DC的中点 则 FG BA = .
4
uuur 1 uuur r r 1 uuu uuu 因为 FG = AC = ( BC- BA ), 2 2 uuu uuu 1 uuu uuu uuu r r r r r 所以 FG BA = ( BC - BA) BA 2 uuu uuu uuu 2 r r 1 r = ( BC BA - BA ) 2 1 1 = ×( -1) 2 2 1 =- . 4
用已知向量表示未知向量， 点评 用已知向量表示未知向量 ， 一 是要选好基底， 二是要以图形为指导， 是要选好基底 ， 二是要以图形为指导 ， 利用平面图形的性质， 利用平面图形的性质 ， 比如重心与中 点的特殊量的关系等等. 点的特殊量的关系等等
题型二 空间向量数量积及应用
已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ， CD1 和 例2已知正方体 DC1相交于点 连接 相交于点O,连接 连接AO,求证 求证:AO⊥CD1. 求证 ⊥
所以ab= 所以
1 2
，
=
1 8
.
一、空间向量及其加减与数乘运算 1.空间向量 在空间 我们把具有① 大小 和 空间向量:在空间 我们把具有① 空间向量 在空间,我们把具有 的量叫做向量,空间向量也用 空间向量也用③ ②方向的量叫做向量 空间向量也用③有向线段 表 并且④ 示,并且④ 方向相同且长度相等 的有向线段表示 并且 同一向量或相等的向量. 同一向量或相等的向量 2.空间向量的加法 ， 减法与数乘向量 ： 如下 空间向量的加法， 空间向量的加法 减法与数乘向量： 我们定义空间向量的加法， 图，我们定义空间向量的加法， 减法与数乘向量为： r 减法与数乘向量为：uuu uuu r uuu r uuu r ⑤ ⑥ OB =⑤ a+b , AB =⑥ OB OA， uuu r ⑦ ∈ OP =⑦ λa (λ∈R).
如图所示，已知 ABCD， 变式 如图所示，已知 uuu uuur，从平面 uuu r r uuu r AC外一点 引向量OE=k OA , OF =k OB , 外一点O引向量 外一点 uuur uuur uuur uuur 求证： 求证 OG =k OC , OH =k OD ,求证：
四、两个向量的数量积 1.已知空间两个向量 已知空间两个向量a,b,则a,b的数量积 已知空间两个向量 则 的数量积 〈 〉 其中 其中〈 〉 为:ab= 18 |a||b|cos〈a,b〉,其中〈a,b〉表示 ， ］ 向量a， 的 向量 ，b的 19 夹角 ,其范围为 20 ［0，π］ . 其范围为 2.空间向量的数量积有如下性质：(e为 空间向量的数量积有如下性质： 为 空间向量的数量积有如下性质 单位向量) 单位向量 〈 〉 (1)ae= 21 |a|cos〈a,e〉 ; (2)a⊥b 22 ab=0 ; ⊥ (3)|a|2= 23 aa ;