第8讲 物体的动态平衡与临界极值问题

(3)相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化， 且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角 形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 (4)正弦定理法 三个力平衡时可以将三个力的图示组成一个闭合的三角形，如果知道 一个恒力，以及其他力的对角的变化情况，可以根据正弦定理判断其他力 的大小变化情况。
答案
解析 解法一：解析法 如图甲所示，因为 FN1＝FN1′＝tmangθ，FN2＝FN2′＝smingθ，随 θ 逐渐增 大到 90°，tanθ、sinθ 都增大，FN1、FN2 都逐渐减小，B 正确。
解析
解法二：图解法 如图乙所示，把 mg 按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1 的方向不变，mg、FN1、FN2 构成一个闭合的矢量三角形，重力大小恒定， FN2 始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2 变小，FN1 也变小，B 正确。
解析
3．(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间 某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时，OM 竖直且 MN 被拉 直，OM 与 MN 之间的夹角为 αα>π2。现将重物向右上方缓慢拉起， 并保持夹角 α 不变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
解析
解法二：图解法 先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在 θ 角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2 都会减小，A、D 正确。
解析
解决动态平衡问题常见的方法 (1)解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条 件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的 变化确定因变量的变化。 (2)图解法 此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另外一个力方向不变的 问题。一般按照以下流程解题。
3．解题思路 解决共点力平衡中的临界、极值问题的“四字诀”
如图所示，质量为 m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为 30° 时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为 F 的水平向右的恒力，物体 可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增 大并超过某一临界角 α0 时，不论水平恒力 F 多大，都不 能使物体沿斜面向上滑行，试求：
少许后，它们仍处于静止状态，则 F1、F2 的变化情况分别是
() A．F1 减小
B．F1 增大
C．F2 增大
D．F2 减小
答案
解析 解法一：解析法 以球 B 为研究对象，受力分析如图甲所示，根据合成法，可得出 F1＝ Gtanθ，F2＝coGsθ，当 A 向右移动少许后，θ 减小，则 F1 减小，F2 减小，A、 D 正确。
A．MN 上的张力逐渐增大 B．MN 上的张力先增大后减小 C．OM 上的张力逐渐增大 D．OM 上的张力先增大后减小
答案
解析 设重物的质量为 m，绳 OM 中的张力为 TOM， 绳 MN 中的张力为 TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。 由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的 合力与重物的重力 mg 等大、反向。如图所示，已知角 α 不变，在绳 MN 缓慢拉起的过程中，角 β 逐渐增大， 则角(α－β)逐渐减小，但角 θ 不变，在三角形中，利用正弦定理得：sinTαO－M β ＝smingθ，(α－β)由钝角变为锐角，则 TOM 先增大后减小，选项 D 正确；同理 知sTiMnNβ＝smingθ，在 β 由 0 变为π2的过程中，TMN 一直增大，中第二次模拟)(多选)如图所示，质量均可忽略的 轻绳与轻杆，A 端用铰链固定，滑轮在 A 点正上方(滑轮大小及摩擦均可不 计)，B 端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的 B 端，用拉力 F 将 B 端缓慢上 拉，在 AB 杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变
B．绳子拉力减小
第二章 相互作用
第8讲 物体的动态平 衡与临界极值问题
能力命题点一 动态平衡问题
共点力的动态平衡问题是高考的重点、热点，主要考查动态平衡条件 的应用，可以单独命题，也可与其他相关知识综合考查。物体从一个受力 平衡状态到另一个平衡状态，一般题目中会出现“缓缓”“缓慢”“慢 慢”等关键词，体现了“动”中有“静”，“静”中有“动”的思想。
1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大 小为 FN1，球对木板的压力大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直 线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦， 在此过程中( )
A．FN1 始终减小，FN2 始终增大 B．FN1 始终减小，FN2 始终减小 C．FN1 先增大后减小，FN2 始终减小 D．FN1 先增大后减小，FN2 先减小后增大
C．AB 杆受力增大
D．AB 杆受力不变
答案
解析 以 B 点为研究对象，分析受力情况：重物的 拉力 FT1(等于重物的重力 G)、轻杆的支持力 FN 和绳子 的拉力 FT2，作出受力图如图所示，由平衡条件得，FN 和 FT2 的合力与 FT1 大小相等、方向相反，根据力的矢 量三角形和△AOB 相似可得：AFBN ＝FBTO2＝FATO1，又 F＝ FT2，解得：FN＝AAOB·G，F＝BAOO·G，∠BAO 缓慢减小的过程中，AB、AO 保持不变，BO 减小，则 FN 保持不变，F 减小，故 B、D 正确。
(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱
状物体 A，A 的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球 B，已知 A
的圆半径为球 B 的半径的 3 倍，球 B 所受的重力为 G，整个装置处于静止
状态。设墙壁对 B 的压力为 F1，A 对 B 的支持力为 F2，则若把 A 向右移动
解析
能力命题点二 物体受力平衡中 的临界与极值问题
1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处 的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚 好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问 题。