第二章 2.1 2.1.1 平面

1．证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这
些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．
2．证明三线共点常用的方法是: (1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点 在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得 到三线共点．
(2)先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再
提示：根据平面的概念知，以上三个说法均不正确．
2．一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成 几部分？
提示：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成
两部分，而两个平面相交时，把空间分成四部分，平 行时，把空间分成三部分．
3．“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说
法是否正确？为什么？ 提示：不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的 所有点都在平面α内，∴线段AB上的A、B两点一定在 平面α内，∴直线AB在平面α内(公理1)．
(
)
(2)已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：
三条直线若在一个平面内，可确定一个 平面，若不在一个平面内，每两条直线确定一个平面， 共可确定3个平面．
[答案] D
(2)证明：∵a∥b，∴a和b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈α，B∈α.故l⊂α.
又a∥c，∴a和c确定一个平面β.同理l⊂β.
直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这 两个点中的一个，这是不符合题意的． [正解] 根据题意最多确定平面分两类．一类是直线
和直线外三点的一个共可确定3个平面．第二类，当三个点 不共线时可确定一个平面，所以共有3＋1＝4个平面． [答案] A
数学符号表示 l⊂α l⊄ α
文字语言表达 直线l 在平面α内 直线l在平面α外
图形语言表达
l∩ m＝ A α∩β＝l
直线l，m相交于点A 平面α、β相交于直 线l
3．平面的基本性质
公
文字语言 理 如果一条直线上的 公 两点 在一个平面 理 内，那么这条直 1 线在 此平面内 l⊂α 图形语言 符号语言
(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意
实线和虚线的区别．
1．用文字语言和符号语言表示所示图．
解：文字语言：平面α内两直线m和n相交于点A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且m∩n＝A.
[例2]
(1)空间两两相交的三条直线，可以确定的平
面数是
A．1 C．3 直线a，b，c，l共面． [自主解答] (1)两两相交且共点的 B．2 D．1或3
2．点、线、面之间的位置关系及符号表示
(1)直线在平面内的概念：
如果直线l上的 所有点 都在平面α内，就说直线l
在平面α内，或者说平面α
经过 直线l.
(2)一些文字语言、数学符号与图形的对应关系： 数学符号表示 A∈l A∉l A∈α A∉α 文字语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 图形语言表达
∴平面α与β重合，即直线AB，BC，AC共面．
[例3]
如图所示，AB∩α＝P，
CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平
面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
[自主解答]
∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD， ∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交． ∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点． ∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
[例1]
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面
之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；
(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
[自主解答] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点 A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如下图所示：
点、线、面间的位置关系三种语言的转换方法:
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔
细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且 位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几 点且在哪条直线或哪个平面上，试着用文字语言表示，再 用符号语言表示．
AB∩BC＝B，所以过直线AB，BC
有且只有一个平面α，∵AB∩AC＝A， BC∩AC＝C，∴A∈α，C∈α，故AC⊂α， 即直线AB，BC，AC共面．
法二：∵AB∩BC＝B， ∴过直线AB，BC有且只有一个平面α， 又∵AB∩AC＝A， ∴过直线AB，AC有且只有一个平面β. ∴C∈α，C∈β，AB⊂α，AB⊂β， 又∵A，B，C为三角形的顶点，∴C∉直线AB.
1．平面的概念、画法及表示
概 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象 念 出来的，是 无限延展 的 常常把水平的平面画成一个 平行四边形 ，并且其锐角 画 画成45° ， 且横边长等于邻边长的 2倍 ，为了增强立体感， 法 被遮挡部分用 虚线 画出来 表 示 方 法 ①一个希腊字母：如α、β、γ等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的 两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点
说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．
3．如图，α∩β＝l，梯形ABCD中，AD∥BC，且
AB⊂α， CD⊂β.求证：AB、CD、l共点(相交于一
点 )．
证明：如图，在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E. ∵AB⊂α，CD⊂β， ∴E∈α，E∈β. 又α∩β＝l，
∴E∈l，即AB、CD、l共点(相交于一点)．
一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是 ( )
A．4
C．7 [错解]
B．6
D．10 在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了
一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面 共有7个，误选C；或者是认为这5个点中任取3个点可确定
一个平面，一共有10种取法，误选D.
[错因]
都是把题中的条件作了转换，由原来的一条
即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α、β重合， 即直线a，b，c，l共面．
1．公理2的推论: 推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个 平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．确定平面的问题要利用公理2及其推论，要想确定 的平面最多，那么条件中每一组能确定平面的元素都要利 用起来．
公 理
文字语言
图形语言
符号语言 A，B，C三点不
过 不在一条直线上 的 公 三点， 有且只有 一个 理2 平面
如果两个不重合的平 公 面有一个公共点，那 理3 么它们有且只有一条 过该点的 公共直线
共线⇒存在唯一
的平面α使A，B， C∈α P∈α ，且 P∈β 平面长2 m，宽1 m；②一个平面的面积是 25 cm2；③一条直线的长度比一个平面的长度大．
3．证明点线共面的主要依据是公理1、公理2及其推
论，常用的方法有:
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． (2)辅助平面法：先证明有关点、线确定平面α，再证 明其余元素确定平面β，最后证明α，β重合．
(3)反证法：先假设点线不共面，再由已知推出矛盾，
得出点、线共面．
2．已知：AB，BC，AC是△ABC三边所在的直线． 求证：直线AB，BC，AC共面． 证明：法一：如图所示．由已知