【数学】3.1.1 变化率问题gai
高中数学选修1-1精品课件2：3.1.1 变化率问题
[点评] 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．因此， 要求瞬时速度，应先求出平均速度．
(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运
动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物
体在 t＝2s 时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
题目类型二、瞬时变化率
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高 度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝(v0 －gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
题目类型一 平均变化率
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并 计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0Δ＋xΔx＝x0＋ΔΔxx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
3．瞬时变化率、瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在
时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
高中数学 3.1《变化率问题》课件(1) 北师大版选修1-1
3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2019/3/24
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
2019/3/24
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2019/3/24
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2 1
2019/3/24
0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
2019/3/24
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
3.1.1变化率问题
极限（数学术语）编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
极限思想编辑简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计极限思想的思维功能极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
人教A版高中数学选修1-1 第三章3.1.1 变化率问题教学课件 (共21张PPT)
们的意义。
lim f关’(键2)是求出： x0
ff
'
((22)；它说xf)明'(6在f)第(22)(h)附近，原
度油下温x降度；大在约第以63(h0C)/附H的近速，
lim f ’(6)
f (6 原油x)温度f 大(6约) 以5 0C/H的
x0
x 速度上升。
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获？ 平均变化率、瞬时变化率（即导数） 体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成 过程中的抽象概括
t0
t
思考
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
lim f (x0 x) f (x0般地，函数y f (x)在x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
h(
65
)
并思考下面的问题：
h(0)
P73
v
49 65 0
0 （1）运动员在这段
时间里是静止的吗？
49
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
t 0时，在2，2+t这段时间内
v
h(2
t)
h(2)
4.9t 2
13.1t
(2 t) 2
t
4.9t 13.1
瞬时速度
我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
人教版高中数学选修1-1《3.1.1变化率问题》
求平均变化 率的步骤
平均变化率 的几何意义
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。
谢谢
高中数学人教A版选修1-1
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
整体介绍
引 言
“人类精神的 分
莱布尼茨
微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： ①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与 加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。
3
情境二 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高 度 h (单位:m)与起跳后 的时间 t (单位:s) 存在 函数关系
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
思考：如何描述其运动状态呢？
吴敏霞跳水视频
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:
x1
x2
求平均变化率的主要步骤
反思与感悟
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)计算平均变化率 x2 x1 x
小试牛刀
例练 求平均变化率 (1)函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
平均变化率
理解
用 x
x2 x1 ，则 y f ( x2 ) f ( x1 )
一变
y 可正、
可负、可0
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
x 和 y 的范围有要 思考：
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.1变化率问题1 精品
k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(
《3.1.1 变化率问题》PPT课件(河南省市级优课)
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
30
C (34, 33.4)
20
B (32, 18.6)
10
A (1, 3.5)
2
01
10
20
30 34
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
导入问题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
温差15.1℃ 温差14.8℃
30
20
10
2
01
10
20
30 34 t(d)
构建数学模型
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
20
30 34 t(d)
问题3 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题4 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
山东省临清市高中数学全套教案选修1-1：3.1.1 变化率问题
3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： T(月)6 3 9 12（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆ 【板书设计】：略【作业布置】：略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 导数及其应用 第一节 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
r (2) r (1) 0.16(dm),
r (2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L ), 2 1
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考:
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解： y 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式:
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 ， 需要用瞬时速度描述运动状态。
定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 x1 的平均变化率.
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率 x x2 x1
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
v
描述其运
如果用运动员在某段时间内的平均速度 动状态, 那么:
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
4 3 V(r ) r . 3
3
3V . 4
随着 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球体积 r (1) r (0) 0.62(dm), 逐渐变大, 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0) 0.62(dm/L ), 它的平均 1 0 膨胀率逐 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
4、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q
y = x +1
y
2
P
x
M
1
j
-1 O
1
小结：
y f ( x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
直线AB的斜率
O
随堂练习:
1.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ;
(2) [ 0 , 5 ] .
• 2、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) D A、3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx • 3、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx