5.1孤立奇点的分类(下)
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
判断孤立奇点的类型的方法
判断孤立奇点的类型的方法
咱先说说啥是孤立奇点哈。
孤立奇点呢，就是在一个函数的定义域里，有那么一个点，它周围一圈都是函数有定义的地方，就它自己有点特殊。
那怎么判断它是啥类型的孤立奇点呢？
对于可去奇点呢，就像是一个调皮但又很容易改正的小错误。
如果函数在这个奇点处的极限存在，那这个奇点就是可去奇点啦。
比如说，函数在这个点看起来好像没定义，但是只要给它补上一个合适的值，函数就能在这个点变得完美无缺，就像给一个有小缺口的漂亮花瓶补上一点泥，马上就完整了。
再说说极点。
极点就有点像一个比较严重的问题点。
如果函数在这个奇点附近，函数值会变得超级大或者超级小，而且当我们把函数写成一种分式的形式，分子分母都是解析函数的时候，分母在这个点是零，分子在这个点不是零，那这个点就是极点。
这就好比是在一个道路上突然出现了一个大坑，所有靠近它的东西都会受到很大的影响。
还有本性奇点呢。
本性奇点就像是一个完全捉摸不透的小怪兽。
函数在这个奇点附近的极限不存在，不管你怎么去研究，它都不会有一个稳定的趋向。
比如说，当你靠近这个点的时候，函数值会跳来跳去，一会儿大得不得了，一会儿又小得可怜，完全没有规律可循。
咱判断的时候啊，就像是在玩一个解谜游戏。
先看看函数在那个孤立奇点的极限存不存在，如果存在，那很可能就是可去奇点。
要是极限不存在，再看看能不能写成那种分式的形式来判断是不是极点。
要是前面两种情况都不是，那大概率就是本性奇点啦。
你看，判断孤立奇点的类型也没有那么难对不对？就像认识不同性格的小伙伴一样，只要了解了它们各自的特点，就能轻松把它们分辨出来啦。
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述复变函数论（Complex Analysis）是数学分析领域的重要分支，研究复数域上的函数性质和相关理论。
在复变函数中，孤立奇点（Isolated Singularity）是指函数在某个点附近出现的特殊性质的点。
孤立奇点分类理论旨在系统地研究和分类这些孤立奇点。
本文将概述复变函数论中的孤立奇点分类理论。
孤立奇点可以分为可去奇点（Removable Singularity）、极点（Pole）和本性奇点（Essential Singularity）三类。
一、可去奇点若函数在某点z=a处的极限存在且有限，即lim_(z→a) f(z)=b（b为有限数），则称a处为可去奇点。
此时，可以通过定义一个新的函数，使得在a点附近没有奇异性，使函数在a点处得到有界的延拓。
换句话说，可去奇点可以通过在函数原有定义域上对函数进行连续地延拓来消除。
二、极点若函数在某点z=a处的极限存在，但是无穷大，即lim_(z→a)f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为极点。
极点分为无穷级极点和有限级极点两种情况。
1. 无穷级极点：若函数在无穷远点（z→∞）处的极限存在，即lim_(z→∞) f(z)=∞或者lim_(z→∞) |f(z)|=∞，则称无穷远点为无穷级极点。
2. 有限级极点：若函数在某有限点z=a处的极限存在且为无穷大，即lim_(z→a) f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为有限级极点。
极点可以通过定义一个新的函数，使得在极点附近的函数有有界的延拓。
通常情况下，极点构成了复变函数的奇异性中的一种较为简单的形式。
三、本性奇点若函数在某点z=a处的极限不存在（或为无穷大），则称a处为本性奇点。
本性奇点是最复杂的一类奇点，函数在这类点附近的行为相当不规则。
本性奇点不可能通过有界的延拓来消除其奇异性。
在复变函数论中，孤立奇点与数学实际应用密切相关，例如在物理学、电子工程、天文学和统计力学等领域中都有广泛的应用。
第五章 5.1 孤立奇点及其分类
例
3 故 z 为 f (z ) 的三阶零点。 2 结论 对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
P107
（即在零点的某去心邻域内，函数不为0）
14
三、函数的零点与极点的关系
所谓函数 f (z ) 的零点就是方程 f ( z ) 0 的根。
特别地，当 m 1 时，称 z0 为 f (z ) 的简单极点。 结论 如果 z 0 是 f (z )的极点
lim f ( z ) .
z z0
7
P105 定理5.2
(该条件只能判断是极点)
一、孤立奇点及其分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 设 z0 为 f (z ) 的孤立奇点，将 f (z ) 在 0 | z z0 | 内 展开为洛朗级数： f ( z )
(2) z 0 也是奇点，但不是孤立奇点。
3
二、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 分类 设 z0 为 f (z ) 的孤立奇点，将 f (z ) 在 0 | z z0 | 内
P103
展开为洛朗级数： f ( z )
n
a n ( z z0 ) n ,
(3) 本性奇点
z z0
注 在求 lim f ( z ) 时，可使用罗比达法则。
11
ez 例 判断函数 f ( z ) 的奇点的类型。 2 ( z 1)
解 z 1 是 f (z ) 的孤立奇点， lim f ( z ) lim 由
z 1 z 1
ez
5.1孤立奇点的类型
1 2 n ( z 1 ) 2 3 ( z 1 )4 ( z 1 ) z 1 n 1
n 2
故z 1 为 f (z)的一级极点，
-9-
1 (z 1)(z 2)2
1 1 (z 2 )2 1(z 2 )
(0 z2 1 )
1 n n ( ( 1 ) ( z 2 ) ) 2 ( z 2 ) n 0
那么孤立奇点 z 称为 f( z ) 的 m 级极点 . 0
-8-
例如： 1 1 1 1 1 ( )' ( )' 2 (z 1 ) 1(z 1 ) ( z 1) 2 z (z 1)(z 2)
( 0 z 1 1 )
1 1 n 1 nz ( 1 ) ( (z1 )n)' (z 1 ) n (z1 ) n0 1
2 2
4 6 2 n z z z 2 2 z ( 1 z 1 )( | z | ) 2 !3 ! n !
4
6
2 n
2 4 2 ( n 1 ) z z z 其 中 () z 1 在 z 内解析 2 ! 3 ! n !
其中 g ( z ) 在 z 的邻域内解析，且 g ( z ) 0 . 0 0
1 ( 3 ) g ( z ) 以 z 为 m 级零点 . 0 f( z )
-11-
例如
z 1 z 1 1 1 z z g (z ) 2 2 2 2 z ( z 4) (z 4 )
z 1 其 中 g ( z ) 2 2 在 z 0 的 邻 域 内 解 析 ( z 4 )
f (z)
的其它奇点存在. 所以
复变函数5-1函数的孤立奇点及其分类
的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称 z0 为 f (z)的孤立奇点.
例1
z 0 是函数
1
ez,
sin z的孤立奇点.
z
z 1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
则孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
1
例如， ez
1
z 1
1
z2
1
zn
,
2!
n!
含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1
所以 z 0 为本性奇点，同时 lim e z 不存在. z0
特点: 在本性奇点的邻域内 lim f (z)不存在且不 z z0 为 .
从而f (z)在z0的Taylor级数展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2
展开式的前m项系数都为零 ,由Taylor级数的系数 公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); 并且 f (m) (z0 ) m !c0 0.
sin
z
解 函数的奇点为
1
z0 0 , zk k
(k 1, 2,)
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
讨论函数在孤立奇点的情况
设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， 则在去心邻域
孤立奇点的分类及判断方法
孤立奇点的分类及判断方法
孤立奇点是生活中常见的数学性质，是凸型图形、空间或其他物体上不存在相邻元素点的特定点。
在数学和地理学中，孤立奇点是重要的概念，它可以被用来描述某些景观或结构。
一般来说，孤立奇点可以分为三类：质量型，地理型和形状型。
质量型孤立奇点指的是某些物体的量变，如气温，湿度和压力；地理型孤立奇点是指任何不可能到达的位置，如边缘或悬崖；形状型孤立奇点是指特殊的形状，如正方形、三角形和椭圆形等。
判断是否是孤立奇点，有几种方法。
首先，可以在相关实体附近搜索局部图形，以查看是否有任何不规则形状；其次，可以测量给定点的距离，如果两个相邻点的距离近似零，那么它就是孤立的；最后，可以尝试通过数学模型确定给出点是否具有单独的行为特征。
总的来说，孤立奇点是实体的一个特征，有助于描述景观或结构。
有几种判断方法，可以用来确定一个给定点是否为孤立奇点。
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点是指在一个函数或方程中存在的与其他点有明显差异的特殊点。
根据函数或方程的定义，孤立奇点可以被分为以下三种类型，并可通过特定方法进行判断。
1. 可移除孤立奇点：这种类型的孤立奇点在其附近存在着有界的、趋近于某个常数的函数值。
判断方法是观察函数的附近是否存在局部平均值或局部积分平均值。
2. 极点：这种类型的孤立奇点会使得函数在该点附近发散，并且无法定义一个有界的近似函数。
判断方法是观察函数在该点附近的增长趋势，如果该点是函数发散的必要条件，那么该点是一个极点。
3. 本质孤立奇点：这种类型的孤立奇点是指在其附近没有趋近于某个常数的函数值，并且函数在该点附近无论如何映射都无法消除其奇异性。
对于这种孤立奇点，判断方法通常涉及复平面或复平面的拓扑性质，例如观察函数的奇点在复平面上的分布。
综上所述，我们可以通过观察函数在孤立奇点附近的行为以及复平面的拓扑性质，来判断孤立奇点的类型。
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解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2,处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一级零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三级极点.
15
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与 1为一级零点， 所以 1与 1是 f (z)的2级极点.
z 1是函数 f (z) z(z 1)3 的三阶零点.
2
2 零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m 阶 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); f (m)(z0 ) 0. 证 (必要性) 如果 z0 为 f (z)的 m 阶零点
立奇点.
y
R
o
x
9
令变换t
1 :则 z
f (z)
f
1 t
(t
),
规定此变换将:
z
映射为
t 0,
扩充 z 平面 映射为 扩充 t 平面
R z 映射为 0 t 1 R
10
结论: 在去心邻域 R z 内对函数 f (z) 的研究
在去心邻域 0 t 1 内对函数 (t)的研究
3! 5!
(2n 1)!
含有无穷多的正幂项
所以 z 是 f (z) 的本性奇点.
课堂练习 1 说出函数 f (z) z ez 的奇点及其类型.
答案 z 是一级极点, z 0是本性奇点.
14
例7函数
f
(z)
(z2
1)(z (sin z)3
2)3
在扩充复平面内
有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.
19
2、极点的判定方法（不要？）
(1) 由定义判别
洛朗展开式中含有有限个 z z0的负幂项.
(2) 由定义的等价形式判别
在点 z0的某去心邻域内
f (z)
g(z) (z z0 )m
其中 g(z) 在 z0 解析, 且 g(z0 ) 0.
(3) 利用极限判别 lim f ( z) z z0
第二讲孤立奇点的分类（下）
三、函数在无穷远点的性态
一、零点的定义及判定
1 零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果
能表示成 f (z) (z z0 )m (z), 其中 (z) 在 z0 解析且 (z0 ) 0, m为某一正整数, 那么 z0 称为
f (z) 的 m 阶零点 (a zero of order m). 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. 例如 z 0是函数 f (z) z(z 1)3 的一阶零点，
(4) 利用零极点的关系判别（本节定理1和推论1）
20
课堂练习 求 f (z) z5(z2 1)2 的零点及阶数 .
答案 z 0 是五阶零点, z i 是二阶零点.
5
二、 零点与极点的关系
定理1 如果 z0 是 f (z) 的 m 阶极点, 那末z0就是
f
1 (z
)
的
m
阶零点.
反过来也成立.
说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法.
1)不含正幂项; 2)含有有限多的正幂项且 zm 为最高正幂;
3)含有无穷多的正幂项;
那末 z 是 f (z) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
注：无穷远点作为函数的孤立奇点 的分类是以洛朗级数中正幂项的个数 为依据，这和有限奇点情形恰相反。
12
例如
(1)函数
f (z)
当z 2时， 因为分别是分子和分母的的三级零点， 那末 z 2 是 f (z) 的可去奇点.
16
当
z
时，
因为
f
1
ห้องสมุดไป่ตู้
(1
2 )(1 2 2 sin3
)3
,
0, n
1 n
使分母为零，
n
1 为 f 1 的极点，
n
当n 时， n 0，
故 0不是 f 1 的孤立奇点，
所以 z 不是 f (z)的孤立奇点.
由定义: f (z) (z z0 )m (z) 设 (z)在z0的泰勒展开式为:
(z) c0 c1(z z0 ) c2(z z0 )2 ,
3
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
7
推论1 设f (z) P(z) , 其中P(z), Q(z)为解析函数。 Q(z)
设 z0 是P(z)的m阶零点, 是Q(z)的n阶零点,
则当n>m时, z0是f (z)的n-m阶极点;
当nm时, z0是f (z)的可去奇点.
例6 考虑函数
f (z)
1 cos z z5 .
设
P(z) 1 cos z, Q(z) z5.
6
例5 求
f (z) 1 sin z
的孤立奇点, 并指出
奇点的类型.
解 显然, zk k (k 0,1, 2, ) 是
sin z 的零点，但是
(sinz) cos z, cosk 0,
故 zk (k 0,1, 2, ) 是 sin z 的1 阶零点. 因此, zk (k 0,1, 2, ) 是 f (z)的1 阶极点 .
显然, z=0是Q(z)的5阶零点. 因为 P(0) P(0) 0, P(0) 1 0,
不是5 阶极点!
所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3阶极点 .
8
1. 定义 如果函数 f (z) 在无穷远点 z 的去心
邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z) 的孤
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
充分性证明略 .
4
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f (z) z3 1, (2) f (z) sin3 z.
解：(1) z 1, z 1 3 i 是一阶零点 . 22
(2) z k (k为整数) 是三阶零点 .
z z1
在圆环域
1
z
内的洛朗展开式为:
f
(z)
1
1
1
1
1 z
1 z2
(1)n
1 zn
z
不含正幂项
所以 z 是 f (z) 的可去奇点 .
(2)函数
f
(z)
z
1 含有正幂项且 z
z
为最高正
幂项,所以z 是 f (z)的 一级极点.
13
(3)函数 sin z 的展开式:
sin z z z3 z5 z2n1
R
因为 (t) 在去心邻域 0 t 1 内是解析的,
R
所以 t 0是 (t)的孤立奇点.
规定: 如果 t=0 是 (t)的可去奇点、m级极点或
本性奇点, 那末就称点 z 是 f (z) 的可去奇点、 m级奇点或本性奇点 .
11
2.判别方法:判别法1 (利用洛朗级数的特点)
如果 f (z)在 R z 内的洛朗级数中:
17
判别法2 : (利用极限特点) 如果极限 lim f (z)
n
1)存在且为有限值 ; 2)无穷大; 3)不存在且不为无穷大 ; 那末 z 是 f (z) 的 1)可去奇点 ;
2)m级极点 ; 3)本性奇点 .
18
1 理解零点的概念; 掌握零点与极点之间的关系。 2 掌握并能灵活应用零点对极点进行判定。 3 掌握对对孤立奇点∞的类型判定。