结构力学 直接写出杆端转角位移方程,利用平衡条件建立位移法方程
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结构力学同步辅导之位移法 (4)
l l
EI=C
l/2 l/2
Z1=1
4i
3Pl/16
P
2i
4i
3i 2i
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按 统一格式处理。最终结果由叠加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
=
Z2=1
+
2/2
2/2
r22
M2
1
3 2i / l
r12
R2P MP
A
A
r22
12i / l 2
P
R2P
6i / l
练习1:
作M图，EI=常数 R1=0
P l l l l/2 l P/2 l l/2
P/2
r11 Z1 R1P 0 r11 11i R1 P Pl / 2 Z1 Pl / 22i M M 1 Z1 M P
2.混合法
• 基本思路
联合法是一个计算简图用同一种方法， 联合应用力法、位移法。 混合法则是同一个计算简图一部分用 力法、另一部分用位移法。超静定次数 少，独立位移多的部分取力为未知量。 超静定次数多，独立位移少的部分取位 移作未知量。
例1.作M图，EI=常数
解:
l R1=0 R2=0 P l l Z1 P
Z2
l P l
P
l
r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
l
解:
R1=0 R2=0 l P l
3 2i / l
Z1
P 1
结构力学-直接由平衡条件建立位移法基本方程
Z2
P/2
用位移法分析上图时，将遇到一端固定另一端滑动的梁的内力如何确定的问题。
显然这不难用力法求解；也可以将原两端固定的梁在正对称的情况下的内力图
作出，然后截取一半即可。但此时需注意，此梁由于比原来两端固定梁短了
一半，故其相应的线刚度大了倍。此外，在正对称的荷载时用位移法求解只有
一个基本未知量，但在反对称的荷截时若用位移法求解将有两个基本未知量，
§１０－６ 对称性的利用
前面已经讨论过对称性的利用，并且得到一个重要的结论：对称结构在正对 称的荷截作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称的荷截作用下，其 内力和位移都是反对称的。在这里结论同样适用，并且同样可以分解来简化 计算。如下图所示：
Z1
Z1
Z2
Z2
P
P/2
P/2
P/2
P/2
=
+
Z1
P/2
而用力法求解则只有一个基本未知量。因此，可以两种方法结合使用，在正对
称时用位移法，在反对称时用力法，比较简便。
例：
A A
a=1 a=1
未知数个数；正位3，力法6：反位6，力法3。
Z1
B I1=EI/l2
P
P/2
P/2
l1
I=EI/l
a’ A’
Z2
P/2
= +
x1 P/2 x2
L=2l1
将以上各系数代入典型方程：
6EIZ1/10 -6EIZ2/100-100=0 -6EIZ1/100+112EIZ2/1000-60=0
可解得
Z1=232。7/EI Z2=660。4/EI
由叠加法 M=M1‘Z1+M2’Z2+Mp可绘出最后的弯矩图如(h)所示。然后不
《结构力学教学课件》§8-2等截面直杆的转角位移方程
结构的效能和安全性。
转角位移方程在工程设计和分析中的应 用案例
桥梁设计
根据转角位移方程，设计桥 梁的梁柱结构，确保其稳定 性和承载能力。
建筑结构分析
使用转角位移方程评估建筑 物的结构变形情况，确保其 满足安全标准。
机械设计
在机械设计中应用转角位移 方程，考虑构件的变形情况， 以确保其工作正常。
矩形截面直杆的转角位移方程 示例。
圆形杆
圆形截面直杆的转角位移方程 示例。
I型梁
I型截面直杆的转角位移方程示 例。
转角位移方程的应用和意义
1 分析结构变形
转角位移方程可用于分 析结构的变形情况，了 解结构强度和稳定性。
2 设计工程
通过转角位移方程，可 以计算结构在设计工程 中所需的尺寸和材料要 求。
等截面直杆的转角位移方程
在这个教学课件中，我们将介绍等截面直杆的转角位移方程，包括定义、特 点和导出过程，并给出一些示例和应用案例。让我们开始学习吧！
直杆转角位移方程的定义
直杆转角位移方程是用来描述等截面直杆受力情况下的转角位移的数学表达 式。
等截面直杆的特点和假设条件
特点
等截面直杆的截面在整个杆体上保持不变。
假设条件
假设直杆材料是均匀的，受力是轴向拉压。
转角位移方程的导出过程
1
步骤 1
根据力平衡条件，推导出直杆所受的轴向拉力表达式。
2
步骤 2
基于杆体截面的几何特性，建立直杆的截面旋转角度和长度的关系。
3
步骤 3
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，得到直杆转角位移方程。
各种常见等截面的转角位移方程示例
矩形梁
总结和要点
• 等截面直杆的转角位移方程描述直杆受力情况下的转角位移。 • 转角位移方程的导出过程基于力平衡和杆体几何特性。 • 转角位移方程可应用于工程设计、分析和优化。
转角位移方程在工程设计和分析中的应 用案例
桥梁设计
根据转角位移方程，设计桥 梁的梁柱结构，确保其稳定 性和承载能力。
建筑结构分析
使用转角位移方程评估建筑 物的结构变形情况，确保其 满足安全标准。
机械设计
在机械设计中应用转角位移 方程，考虑构件的变形情况， 以确保其工作正常。
矩形截面直杆的转角位移方程 示例。
圆形杆
圆形截面直杆的转角位移方程 示例。
I型梁
I型截面直杆的转角位移方程示 例。
转角位移方程的应用和意义
1 分析结构变形
转角位移方程可用于分 析结构的变形情况，了 解结构强度和稳定性。
2 设计工程
通过转角位移方程，可 以计算结构在设计工程 中所需的尺寸和材料要 求。
等截面直杆的转角位移方程
在这个教学课件中，我们将介绍等截面直杆的转角位移方程，包括定义、特 点和导出过程，并给出一些示例和应用案例。让我们开始学习吧！
直杆转角位移方程的定义
直杆转角位移方程是用来描述等截面直杆受力情况下的转角位移的数学表达 式。
等截面直杆的特点和假设条件
特点
等截面直杆的截面在整个杆体上保持不变。
假设条件
假设直杆材料是均匀的，受力是轴向拉压。
转角位移方程的导出过程
1
步骤 1
根据力平衡条件，推导出直杆所受的轴向拉力表达式。
2
步骤 2
基于杆体截面的几何特性，建立直杆的截面旋转角度和长度的关系。
3
步骤 3
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，得到直杆转角位移方程。
各种常见等截面的转角位移方程示例
矩形梁
总结和要点
• 等截面直杆的转角位移方程描述直杆受力情况下的转角位移。 • 转角位移方程的导出过程基于力平衡和杆体几何特性。 • 转角位移方程可应用于工程设计、分析和优化。
结构力学教学82等截面直杆的转角位移方程
(1)支座移动作用下：
M AB iA iB
M BA iB iA
(2)荷载及温度变化的作
用下(固端弯矩)：
M
F 、M
AB
F BA
(3)荷载及温度变化、支座移动共同作用下：
M AB
i A
iB
M f AB
M BA
iB
i A
M
f
BA
一端固定、一端定向梁转 角位移方程
说明 ①表中杆端内力是根据图示方向的位移方向和荷载情况求得的， 当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向和荷载情 况，判断其杆端内力的正负号
一端固定，一端铰支的单跨超静定梁
(1)支座移动作用下：
M AB
3i A
3i l
温度变化的作
用下(固端弯矩)：
M
F AB
(3)荷载及温度变化、支座移动共同作用下：
M AB
3i A
3i l
AB
M
F
AB
M BA 0
一端固定、一端铰支梁转 角位移方程
一端固定，一端定向的单跨超静定梁
杆端剪力：绕隔离体以顺时针转动为+。
注：对杆端弯矩作规
定，对其它截面弯矩
β
并没作规定。作弯矩 图时，应先按此符号
FSAB
φA
规定正确判定杆件的
受拉边，M图画在受
拉边，不标正负号。
φB FSBA
二、等截面直杆的转角位移方程 (以两端固定梁为例 )
基本体系
1、两端支座发生了位移：
（1）基本结构、基本体系
则根据叠加原理，最后弯矩为：
M
F 、M
AB
F BA
M AB 4i A 2i B 6 i AB l
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
《结构力学》第八章-位移法
4
⇁2 R2P
0
对R 于1P；系附数加是和链r1附1=自杆7加i由上,链项的杆可反上分力的为，反两可，力类分r：别2R11、P在=r附图22和加(a)R刚、2P臂(。b可上)、分的(c别反）在力中图矩用(a截r)11、面、(法rb1)2、割、(断和c)
两中柱取顶结端点，1为取隔柱离顶体端，以由上力横矩梁平部衡分方为程隔∑M离1体=0，求由得表：8r1—1=71i查, 出杆端
(b)
MAB
逆时针为正)。 图中所示均为正值。
B′ MBA
B
6
用力法解此问题，选取基本
A
结构如图。多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为
EI
L
11X1+12X2+ △1△=A 21X1+22X2+ △2△=B
A
A′
AB
为计算系数，作 、 。
由图乘法算出：
X1
，
1
，
由图知
这里，AB称为弦转角，顺时针为
AB
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生
各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。
（3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
直接利用平衡条件建立位移法方程
=12Z1+30
MBC=2iBC(2Z1+Z2)+0=2×4(2Z1+Z2)=16Z1+8Z2
MCB=2iCB(2Z2+Z1)+0=2×4(2Z2+Z1)=16Z2+8Z1
MBE=2iBE×2Z1+0=2×3×2Z1=12Z1
MEB=2iBEZ1+0=2×3Z1=6Z1
MCD=3iCDZ2+0=3×4Z2=12Z2
M A1 27.79 kN m
M1A 8.82 kN m
M12 8.82 kN m
M 21 0 M2B 0
MB2 11.37 kN m
与例15.3的计算结果相同。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程 【例15.6】 试直接利用平衡条件建立图a所示刚架的位移法方
程，计算各杆端弯矩，并绘制弯矩图。 【解】 1）确定基本未知量。图a所示刚架为无侧移刚架，有
直接利用平衡条件建立位移法典型方程时，需要对每个杆 件进行受力、变形分析，找出杆端内力与杆端位移及荷载之 间的关系表达式。此关系式称为转角位移方程。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程
图a所示两端固定梁， 受荷载作用，并在A端产
生了一转角 A ，B端产 生了一转角 B ，同时A、
B两端还产生一相对线位 移ΔAB ，变形如虚线所示。 由叠加原理，该梁的受 力、变形情况可看成由 图b、c、d、e各因素单 独作用叠加而成。
M 21 0
M2B 0
M B2
3iB2 3）建立位移法方程并求解。由以
上关系式可见，只要求出结点位移Z1 、 Z2 ，则可得出全部杆端弯矩。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程
结构力学(6.8.1)--位移法08
jB
M BA
/
SBA
40kN ﾴm 2ﾴ104 kN ﾴm
2 ﾴ103
m
m
b
例例例例例例例
EI
m/2
a
转 动 刚 度 是 施 力 端 没 有 线 位 移=M情=况4i下 使
角所需施加的力矩，是对转动的抵抗能力。施
端，另一端称为远端。
SAB A 1i
B
SAB A
B
1
i
SAB 1A
B i
3i 1 A i
B
1A
B
i
i
0 1A
i
B
SAB =3i
SAB =i
SAB =0
转动刚度除了与线刚度有关，还与远端 利用转动刚度可将杆端弯矩用杆端转角
§6-6 平衡方程法建立位移法方程
一 . 转角位移方程
杆端力符号规定 : 杆端弯矩 --- 绕杆端顺时针为正 杆端剪力 --- 同前 杆端转角 --- 顺时针为正 杆端相对线位移 --- 使杆轴顺时针转为正4iA
A
FP t1
θ A EI t2
l θA
B
θ B Δ AB
2i A
M AB
4i A
§6-8 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结
本节中规定所有杆端弯矩均以绕杆端顺时针 一 . 基本概念
1 ．转动刚度、传递系数
使 AB 杆的 A 端产生单位转角，在 A 端所
力矩称为 AB
MA
i
1
杆A
B
端
4i
的1
A
转
动刚
i
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2
qL2 C 40i
CH
qL3 120i
直接利用平衡条件建立方程
5）回代求杆端力，作M图
qL2/20 未知量求得后，回代到3） 中杆端转角位移方程中去， 就的各杆的杆端内力。
qL2/40
0
直接利用平衡条件建立方程
例2．直接利用平衡条件，作下列结构的弯矩图。
50/3 kN/m 3i 2i 3m 4m 解：1）位移法变量：θ
6i M BE 4i B CH 4i B 2i CH 3 6i M EB 2i B CH 2i B 2i CH
3
6 2i 2 2i A CH 6
50 62 3 4i A 2i CH 50 12
M DC
6i 2i C CH L
直接利用平衡条件建立方程
4）列平衡方程（位移法方程） ∑MC=0，MCB+MCD=0 ------------（1） BC梁的水平力的平衡： VCD+VBA+FK=0 -----------------------（2） FN MCB C MCD
VBA
L
KN
L L
直接利用平衡条件建立方程
解：1）位移法变量： 结构在荷载作用下，结点C产生转角 θ C（顺时针）和水平位移Δ CH（假定向右） 。故， 2）各杆的详细资料：（包括，杆端 相对侧移，杆端转角，荷载作用， 线刚度，支承情况） *AB杆：只有杆端相对侧移， *BC杆：有C端刚结点转角产生弯矩，另 有均布荷载作用， *CD杆：C端转角θ C ，杆端相对侧移Δ CH *弹簧：伸长量Δ CH ， B C
VCD
式中，FK K N CH
直接利用平衡条件建立方程
代入相关数值，得：
qL2 6i 4i C CH 0 3i C 8 L 3i CH 12i CH 6i C 3i CH 0 L2 L L2 L2
6i qL 0 7i C CH L 8 6i C 18i CH 0 L L2
直接利用平衡条件建立方程
20i A 6i B 2i CH 110 0 6i A 28i B 2i CH 140 0 2i 2i 2i A B CH 50 0
10 A i
5 B i
CH
30 i
A
60kN i 4i
10 kN/m 3m
4m ，θ
B
4m ，Δ CH
50/3 kN/m A 2i D 4m
2）各杆的详细资料 *AB杆：A端转角θ 刚度3i 。 *BC杆：B端转角θ *AD杆：A端转角θ *BE杆：B端转角θ
60kN 3i B E
10 kN/m
i
4i
C
3m
3m
4m
4m
A
，B端转角θ
M AD 50 6 6 6 2i 4 2i A CH 3 8i A 2i CH 50 6 12
50/3 kN/m 3i 2i 4m
M DA
60kN i 4i
10 kN/m 3m 3m
4m
50 6 6 2i 12 2i 2i 3 VAD A 2 CH 2i A CH 50 6 6 2 3
直接利用平衡条件建立方程
结构在荷载作用下，结点的角位移与线位移是唯一确定的。 就是说，结构中每个杆件的杆端相对侧移、杆端转角和受荷载 情况是确定的。根据杆端转角、侧移物理方程，当某杆件同时 有：杆端相对侧移、杆端转角、受荷载，则，由叠加原理可确 定该杆件的杆端受力。一但每个杆件都由叠加原理写出了杆端 力，由平衡条件就可得到位移法方程。 例1．直接利用平衡条件，作下列结构的弯矩图。已知，EI=常 数 3i KN 2 q
4m
VBE
6 i 12 i 4i B 2 CH 2i B CH 3 3 3
直接利用平衡条件建立方程
4）位移法方程 ①∑MA=0，MAD+MAB=0 ---------------------（1） ②∑MB=0，MBA+MBC+MBE=0 -----------------（2） ③∑X=0，ABC梁的水平力平衡， VAD+VBE=0 ------------------------------------（3） 50/3 kN/m A 2i D 4m 4m 4m 60kN 3i B i E 3m 4i 10 kN/m C 3m
A
D
直接利用平衡条件建立方程
3）依据杆件资料写出杆端弯矩和杆端剪力：
B
C
3i M AB CH L qL2 M CB 3i C 8 6i M CD 4i C CH L
VBA
3i 2 CH L
A D
6i 12i VCD C 2 CH L L 弹簧约束力：FK=KNΔ CH （向左）
5）回代求杆端弯 矩。作出M图。
160 80 80 70
70
70Biblioteka 练习 A q D E L/2 L/2 L P B C L EI= 常数
A
B
C
19 kN
D
E
B
，无杆端相对侧移，有荷载作用，线
B A B
，无杆端相对侧移，有荷载作用，线刚度4i 。 ，有杆端相对侧移Δ CH ，有荷载作用，线刚度2i 。 ，有杆端相对侧移Δ CH ，有荷载作用，线刚度i 。
50/3 kN/m 3i 2i 4m
60kN i 4i
10 kN/m 3m 3m
4m
4m
3）写出杆端弯矩，相关杆端剪力 160 8 M AB 4 3i A 2 3i B 12i A 6i B 160 8 160 8 M BA 2 3i A 4 3i B 6i A 12i B 160 8 2 10 4 M BC 3 4i B 12i B 20 8
qL2 C 40i
CH
qL3 120i
直接利用平衡条件建立方程
5）回代求杆端力，作M图
qL2/20 未知量求得后，回代到3） 中杆端转角位移方程中去， 就的各杆的杆端内力。
qL2/40
0
直接利用平衡条件建立方程
例2．直接利用平衡条件，作下列结构的弯矩图。
50/3 kN/m 3i 2i 3m 4m 解：1）位移法变量：θ
6i M BE 4i B CH 4i B 2i CH 3 6i M EB 2i B CH 2i B 2i CH
3
6 2i 2 2i A CH 6
50 62 3 4i A 2i CH 50 12
M DC
6i 2i C CH L
直接利用平衡条件建立方程
4）列平衡方程（位移法方程） ∑MC=0，MCB+MCD=0 ------------（1） BC梁的水平力的平衡： VCD+VBA+FK=0 -----------------------（2） FN MCB C MCD
VBA
L
KN
L L
直接利用平衡条件建立方程
解：1）位移法变量： 结构在荷载作用下，结点C产生转角 θ C（顺时针）和水平位移Δ CH（假定向右） 。故， 2）各杆的详细资料：（包括，杆端 相对侧移，杆端转角，荷载作用， 线刚度，支承情况） *AB杆：只有杆端相对侧移， *BC杆：有C端刚结点转角产生弯矩，另 有均布荷载作用， *CD杆：C端转角θ C ，杆端相对侧移Δ CH *弹簧：伸长量Δ CH ， B C
VCD
式中，FK K N CH
直接利用平衡条件建立方程
代入相关数值，得：
qL2 6i 4i C CH 0 3i C 8 L 3i CH 12i CH 6i C 3i CH 0 L2 L L2 L2
6i qL 0 7i C CH L 8 6i C 18i CH 0 L L2
直接利用平衡条件建立方程
20i A 6i B 2i CH 110 0 6i A 28i B 2i CH 140 0 2i 2i 2i A B CH 50 0
10 A i
5 B i
CH
30 i
A
60kN i 4i
10 kN/m 3m
4m ，θ
B
4m ，Δ CH
50/3 kN/m A 2i D 4m
2）各杆的详细资料 *AB杆：A端转角θ 刚度3i 。 *BC杆：B端转角θ *AD杆：A端转角θ *BE杆：B端转角θ
60kN 3i B E
10 kN/m
i
4i
C
3m
3m
4m
4m
A
，B端转角θ
M AD 50 6 6 6 2i 4 2i A CH 3 8i A 2i CH 50 6 12
50/3 kN/m 3i 2i 4m
M DA
60kN i 4i
10 kN/m 3m 3m
4m
50 6 6 2i 12 2i 2i 3 VAD A 2 CH 2i A CH 50 6 6 2 3
直接利用平衡条件建立方程
结构在荷载作用下，结点的角位移与线位移是唯一确定的。 就是说，结构中每个杆件的杆端相对侧移、杆端转角和受荷载 情况是确定的。根据杆端转角、侧移物理方程，当某杆件同时 有：杆端相对侧移、杆端转角、受荷载，则，由叠加原理可确 定该杆件的杆端受力。一但每个杆件都由叠加原理写出了杆端 力，由平衡条件就可得到位移法方程。 例1．直接利用平衡条件，作下列结构的弯矩图。已知，EI=常 数 3i KN 2 q
4m
VBE
6 i 12 i 4i B 2 CH 2i B CH 3 3 3
直接利用平衡条件建立方程
4）位移法方程 ①∑MA=0，MAD+MAB=0 ---------------------（1） ②∑MB=0，MBA+MBC+MBE=0 -----------------（2） ③∑X=0，ABC梁的水平力平衡， VAD+VBE=0 ------------------------------------（3） 50/3 kN/m A 2i D 4m 4m 4m 60kN 3i B i E 3m 4i 10 kN/m C 3m
A
D
直接利用平衡条件建立方程
3）依据杆件资料写出杆端弯矩和杆端剪力：
B
C
3i M AB CH L qL2 M CB 3i C 8 6i M CD 4i C CH L
VBA
3i 2 CH L
A D
6i 12i VCD C 2 CH L L 弹簧约束力：FK=KNΔ CH （向左）
5）回代求杆端弯 矩。作出M图。
160 80 80 70
70
70Biblioteka 练习 A q D E L/2 L/2 L P B C L EI= 常数
A
B
C
19 kN
D
E
B
，无杆端相对侧移，有荷载作用，线
B A B
，无杆端相对侧移，有荷载作用，线刚度4i 。 ，有杆端相对侧移Δ CH ，有荷载作用，线刚度2i 。 ，有杆端相对侧移Δ CH ，有荷载作用，线刚度i 。
50/3 kN/m 3i 2i 4m
60kN i 4i
10 kN/m 3m 3m
4m
4m
3）写出杆端弯矩，相关杆端剪力 160 8 M AB 4 3i A 2 3i B 12i A 6i B 160 8 160 8 M BA 2 3i A 4 3i B 6i A 12i B 160 8 2 10 4 M BC 3 4i B 12i B 20 8