广东省各市高考数学一模试题分类汇编 数列 理

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23C ．1D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx=⎰，2017S =，则30S 为（ ）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A．或 B． C．或 D．选择题参考答案 1、C 2、C 3、D 二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{na }的公比为正数，且239522,1a a a a ==g ，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使ka ,21k S -,4ka 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在,请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a Λ．3、（2015届揭阳市）已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b满足n b =12n b b b +++<L4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{nb }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。

（1）求数列数列{na }和{nb }的通项公式；（2）令n c ＝n nn n b a a b +，数列{n c}的前n 项和为Tn ，若对任意正整数n ，都有2[,]n T n a b -∈，求b a-的最小值。

5、（2015届梅州市）数列{na }满足111,22n n a a a +==-1。

（1）求数列{na }的通项公式；（2）设数列{na }的前n 项和为Sn ，证明2ln()2b n S n +<-6、（2015届汕头市）已知nS 是数列{}n a 的前n 项和，且满足2221n n n S n a S -=+（2n ≥，n +∈N ），又已知10a =，n a ≠，2n =，3，4，⋅⋅⋅．()1计算2a ，3a ，并求数列{}2n a 的通项公式；()2若12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：74n T <．7、（2015届深圳市）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n n n b b n a -+--=+，其中2n ≥．①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．8、（2015届湛江市）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()1412n n a n n b λ-=+-⋅⋅（λ为非零整数，n *∈N ），求λ的值，使得对任意n *∈N ，1n nb b +>恒成立．9、（2015届中山市）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．10、（2015届佛山市）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ).(Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项；(Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).解答题参考答案 1、（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分 （2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n=+-=. …………………………5分∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由11n a +=+，得()2114n na S +-=， …………………………2分当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分∴()()()22111144n n n n na a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分下面用数学归纳法证明. ① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分由已知11k a +=，得()2114k ka S +-=，故()2114kk a S --=.∴()()()22111144k k k k ka a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k k k k aa a a +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-,()21212n n n S n +-==. 假设存在正整数k , 使ka ,21k S -,4ka 成等比数列,则2214k k kS a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠.∴()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分∴ 不存在正整数k , 使ka ,21k S -,4ka 成等比数列. …………………………14分2、⑴1632111=⨯⨯==S a ……1分⑵1>n 时，)12(6)54()1(6)14)(1(1-=----+=-=-n n n n n n n n S S a n n n……4分（上式每个等号1分）1=n 时，11)12(a n n ==-，所以*N n ∈∀，)12(-=n n a n ……5分⑶由⑵知，1>n 时，)1(411441)12(12222-<+-=-=n n n n n a n n ……7分)1(4123411241141222221-++⨯⨯+⨯⨯+<+++n n a n a a nΛΛ……9分]41)1(41[)341241()24141(1n n --⨯++⨯-⨯+⨯-+=Λ……11分)4141(1n -+=……12分，45411=+<……13分∵22222141n a n a a +++Λ单调递增，∴*N n ∈∀，4541222221<+++na n a a Λ……14分3、解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分[解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}n S n 是首项151S =,公差为3的等差数列，53(1)32nS n n n ∴=+-=+，即232n S n n =+.--------------------------------------8分]（3）证明：n b ===<Q 分232312=(3231)332+313231n n n n n n n n +--=+--+-+--（）（)(）--------------------11分∴122[(52)(85)(3231)]3n b b b n n +++<-+-+++--L L -------------13分 22(322)3233n n =+-<+----------------------------------------14分4、5、解： (1)n nn n a a a a --=--=-+2112111， ………… 2分所以11112111-+-=--=-+n n n n a a a a ． ………… 3分所以}11{-n a 是首项为2-，公差为1-的等差数列． ………… 4分所以,111--=-n a n 所以1+=n n a n ． ………… 6分 (可用观察归纳法求,参照法一给分)（2） 设()ln(1)(0)F x x x x =+-> , ………… 7分则1()10(0)11xF x x x x -'=-=<>++ . ………… 8分函数()F x 为(0,)+∞上的减函数， ………… 9分 所以()(0)0F x F <=，即ln(1)(0)x x x +<>, ………… 10分 从而1111ln(1),11ln(1),1111n n n n +<-<-+++++ ………… 11分所以111ln(2)ln(1),1n a n n n =-<-++++ ………… 12分所以(1ln 3ln 2)(1ln 4ln 3)[1ln(2)ln(1)]n S n n <-++-+++-+++K … 13分得2ln()2n n S n +<-. ………… 14分(可用数学归纳法证明,参照法一给分)6、解：方法一：（I ）当2n ≥时，由已知得n n n a n S S 2212=-- 因为10n n n a S S -=-≠，所以21n S S n n =+- …… ①…………………(1分)当2=n 时，4,4221212==+=+a a a S S …………………(2分) 又21)1(+=++n S S n n ……②由②－①得121+=++n a a n n ． …… ③ …………………(3分) 当2=n 时，1,5323==+a a a …………………(4分) 对于③式又有3212+=+++n a a n n ． …… ④由④－③得22=-+n n a a （2≥n ） …… ⑤ …………………(5分)⑤表明：数列{}n a 2是以2a =4为首项，2为公差的等差数列，所以22)1(222+=-+=n n a a n ，()1≥n …………………(6分)方法二：（I ）当2n ≥时，由已知得n n n a n S S 2212=-- 因为10n n n a S S -=-≠，所以21n S S n n =+- …… ①…………………(1分)当2=n 时，4,4221212==+=+a a a S S …………………(2分) 又21)1(+=++n S S n n ……②由②－①得121+=++n a a n n ．（2n ≥）…………………(3分) 所以)()1(1n a n a n n --=+-+，（2n ≥），且22422=-=-a它表示数列{}n a n -（2n ≥）（从第二项开始起）是从222=-a 开始，以1-为公比的等比数列。