单调性与最值

单调性与最值
1．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .
2．若f(x)为R 上的增函数，则满足f(2－m)<f(m 2)的实数m 的取值范围是________．
3．已知函数f （x ）＝2,0,0
x x x x ≥⎧⎨<⎩，则关于x 的不等式f （x 2）＞f （3－2x ）的解集是_______________.
4．若⎩⎨
⎧>-≤-=0 , 20 , )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是 ．
5．3y x x =+的单调增区间是 .
6．函数45)(2+-=x x x f 的单调递增区间是 .
7．函数312)(x x x f -=在区间]3,3[-上的最小值为 ．
8．函数2()2f x x x =-的单调增区间是 .
9．已知函数2()23f x x mx =-+在[)2,x ∈-+∞上是增函数，则m 范围是 .
10．已知函数f(x)= 4x 2-kx-8在[4,10]上具有单调性，实数k 的取值范围是_________
11．如果函数2
()23f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________
12．已知函数2
()21f x x ax a =-++- ，
（1）若=2a ，求()f x 在区间[]0,3上的最小值；
（2）若()f x 在区间[]0,1上有最大值3，求实数a 的值．
13．已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x （1）设[]2,1,3-∈=x t x
，求t 的最大值与最小值； （2）求)(x f 的最大值与最小值；
参考答案
1．)32,0(.
【解析】
试题分析：因为()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，所以⎪⎩
⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1211121111a a a a ， 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<<<<321020a a a ，解得320<<a ，即a 的取值范围是)32,0(. 考点：抽象不等式的解法.
2．21-<>m m 或
【解析】
试题分析：)(x f 为R 上的增函数，且)()2(2
m f m f <-，22m m <-∴，即022>-+m m ，
21-<>∴m m 或.
考点：函数的单调性.
3．（－∞，－3）∪（1，3）
【解析】
试题分析：显然，x 2≥0，
①当3－2x ≥0，即x ≤
32
时，由f （x 2）＞f （3－2x ），且f （x ）＝x （x ≥0），有x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或x ＞1 于是x ∈（1，
32
]∪（－∞，－3）为所求； ②当3－2x ＜0，即x ＞32时，由f （x 2）＞f （3－2x ），得x 2＞（3－2x ）2，展开化简得：x 2－4x ＋3＜0，
得1＜x ＜3，即（32
，3）为所求. 综合①②得，不等式的解集为（－∞，－3）∪（1，3）
考点：分段函数，不等式解集
4．1-
【解析】
试题分析：当0x ≤时，)(x f 即为()f x x =-其最小值为0，当0x >时，)(x f 即为
()2
2
()211
f x x x x
=-=--其最小值为1-，综上，)(x
f的最小值是1-
考点：分段函数
5．R
【解析】
试题分析：
2
2
3,0
3
3,0
x x
y x x
x x
⎧+≥
⎪
=+=⎨
-+<
⎪⎩，当0
x≥时，23
y x
=+，他的单调增区间为[0,)
+∞。

当x<0时，23
y x
=-+，他的单调增区间是(,0)
-∞，所以原函数的增区间为R 考点：本题考查分段函数的单调区间
点评：将含有绝对值的函数写成分段函数，分别求出每一段的增区间，
6．
5
(1],[4)
2
+∞
，，
【解析】
试题分析：作出函数2
f x|x5x4|
=-+
（）的图象如下：
它的图象是把2
y x5x4
=-+的图象位于x轴上方的保留不变，把位于x轴下方的部分以x 轴为对称轴对称到x轴的上方得到的．而2
y x5x4
=-+的图象的对称轴为
5
2
x=，所以函数f（x）的增区间为：
5
(1],[4)
2
+∞
，，，
故答案为：
5
(1],[4)
2
+∞
，，.
考点：函数的单调性.
7．16
-
【解析】
试题分析：()
'2
123
f x x
=-，当()
'0
f x>时22
x
-<<，所以增区间为()
2,2
-，减区间为[][]
3,2,2,3
--
()()216,39f f -=-=，所以最小值为16-
考点：函数导数与最值
8．[1,)+∞（也可填()1,+∞）
【解析】
试题分析：函数()f x 为二次函数，且开口向上，其对称轴为1x =，所以其单调递增区间为：[1,)+∞（也可填()1,+∞）.
考点：1.二次函数；2.函数的单调区间.
9．(],8-∞-
【解析】
试题分析：二次函数322+-=mx x y 的图象是开口向上，对称轴为4m x =
的抛物线，若数2()23f x x mx =-+在[)2,x ∈-+∞上是增函数，则只需
824-≤⇒-≤m m 考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数的单调性；
10．32≤k 或80≥k
【解析】
试题分析：已知函数f(x)= 4x 2-kx-8的对称轴为8
k x =，在[4,10]上单调，只需48≤k 或108
≥k 即：32≤k 或80≥k
考点：二次函数的图象与单调性
11．1[,0]4
- 【解析】
试题分析：当0a =时，()23f x x =-为(),-∞+∞上的增函数，显然在(),4-∞上也是单调递增的；当0a ≠时，函数()f x 的对称轴为1x a =-
，要使函数()f x 在区间(),4-∞上单调递增，则有0a <且14a -≥，解得104
a -≤<. 考点：函数单调性；求函数中参数的取值范围.
12．（1）-1；（2）2-=a 或3a =．
【解析】
试题分析：（1）通过2=a ，求出函数()x f 的对称轴，然后求解在区间[]0,3上的最小值；
（2）函数的对称轴x a =，讨论对称轴是否在区间内，利用()x f 在区间[]0,1上有
最大值3，求实数a 的值．
试题解析：（1）若2a =，则22
()41(2)3f x x x x =-+-=--+
函数图像开口向下函数的对称轴为2x =，
所以函数()f x 在区间[0,2]上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，
有又(0)1f =-，(3)2f = min ()(0)1f x f ∴==-
（2）由题意得：函数的对称轴为x a =
当0a ≤时，函数在()f x 在区间[0,1]上是减少的，则
max ()(0)13f x f a ==-=，即2a =-；
当01a <<时，函数()f x 在区间[0,]a 上是增加的，在区间[,1]a 上是减少加的，则 2max ()()13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；
当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,1]上是增加的，则
max ()(1)1213f x f a a ==-++-=，解得3a =；
所以2-=a 或3a =．
考点：函数的最值及其应用．
13．（1）9max =t ，31min =
t ；（2）3)(min =x f ，67)(max =x f ． 【解析】
试题分析：（1）当[]2,1-∈x 时，判断函数的单调性得出函数的最值；
（2）令x t 3=时，转化函数为二次函数，讨论函数在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡9,31上的单调性进而确定函数的最大值和最小值；
试题解析：（1）x t 3= 在[]2,1-是单调增函数， ∴ 932max ==t ，3
131min ==-t （2）令x t 3=，[]2,1-∈x ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈∴9,3
1t 原式变为：42)(2+-=t t x f ，3)1()(2
+-=∴t x f ，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈9,31t ，∴当1=t 时，此时1=x ，3)(min =x f ，当9=t 时，此时2=x ，67)(max =x f ．
考点：函数性质的应用．。