课后强化训练40 阅读理解型问题

课后强化训练40 阅读理解型问题一、选择题1．对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b ；如：max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是(B )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】 当x ＋3≥－x ＋1，即x ≥－1时，y ＝x ＋3，∴当x ＝－1时，y 最小＝2.当x ＋3＜－x ＋1，即x ＜－1时，y ＝－x ＋1.∵x ＜－1，∴－x ＞1，∴－x ＋1＞2，∴y ＞2.综上所述，y 最小＝2.故选B.2．定义：若点P (a ，b )在函数y ＝1x的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y ＝ax 2＋bx 称为函数y ＝1x 的一个“派生函数”．例如：A ⎝⎛⎭⎫2，12在函数y ＝1x的图象上，则函数y ＝2x 2＋12x 称为函数y ＝1x的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： ①存在函数y ＝1x的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧． ②函数y ＝1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点． 下列判断正确的是(C )A ．命题①与命题②都是真命题B ．命题①与命题②都是假命题C ．命题①是假命题，命题②是真命题D ．命题①是真命题，命题②是假命题【解析】 二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴是x ＝－b 2a ，对于命题①，若x ＝－b 2a>0，则a ，b 异号，而由反比例函数y ＝1x可知a ，b 同号，所以命题①是假命题；由二次函数的表达式可知，y ＝ax 2＋bx 一定经过原点，所以命题②是真命题．故选C.3．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max{a ，b }表示a ，b 中的较大值，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x ，－x }＝2x ＋1x的解为(D )A ．1－2B ．2－ 2C ．1＋2或1－2D ．1＋2或－1【解析】 当x >－x ，即x >0时，x ＝2x ＋1x， 解得x ＝1＋2(负值舍去)．当x <－x ，即x <0时，－x ＝2x ＋1x， 解得x 1＝x 2＝－1.综上所述，x ＝1＋2或－1.二、填空题4．设[x )表示大于x 的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1.有下列结论：①[0)＝0；②[x )－x 的最小值是0；③[x )－x 的最大值是1；④存在实数x ，使[x )－x ＝0.5成立．其中正确的是__③④__(填序号)．【解析】 [0)＝1，故①错误．[x )－x >x －x ＝0，故②错误．[x )－x ≤x ＋1－x ＝1，故③正确．取x ＝1.5，则[x )－x ＝2－1.5＝0.5，故④正确．综上所述，只有③④正确．5．阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，那么x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝__6__．【解析】 由题意，得2m ＝4×3，解得m ＝6.6．阅读材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第一项，记为a 1，以此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n .一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a 1＝1，公比为q ＝3.解决下列问题：(1)等比数列3，6，12，…的公比q 为__2__，第4项是__24__．(2)如果一个数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等比数列，且公比为q ，那么根据定义可得到： a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q ，所以a 2＝a 1·q ，a 3＝a 2·q ＝(a 1·q )·q ＝a 1·q 2，a 4＝a 3·q ＝(a 1·q 2)·q ＝a 1·q 3，….由此可得：a n ＝a 1·q n －1(用含a 1和q 的代数式表示)．三、解答题7．阅读材料：分解因式：mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋nx )＋(my ＋ny )＝x (m ＋n )＋y (m ＋n )＝(m ＋n )(x ＋y )；或者mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋my )＋(nx ＋ny )＝m (x ＋y )＋n (x ＋y )＝(m ＋n )(x ＋y )．以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a 3－b 3＋a 2b －ab 2.【解析】 a 3－b 3＋a 2b －ab 2＝a 3＋a 2b －(b 3＋ab 2)＝a 2(a ＋b )－b 2(a ＋b )＝(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )．8．定义一种新运算⊙：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4－1＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13. (1)由以上式子可知：a ⊙b ＝4a ＋b ．(2)若a ≠b ，则a ⊙b __≠__b ⊙a (填“＝”或“≠”)．(3)若a ⊙(－2b )＝4，请计算(a －b )⊙(2a ＋b )的值．【解析】 (2)a ⊙b ＝4a ＋b ，b ⊙a ＝4b ＋a ，∵a ≠b ，∴4a ＋b ≠4b ＋a ，即a ⊙b ≠b ⊙a .(3)∵a ⊙(－2b )＝4，∴4a －2b ＝4，∴2a －b ＝2，∴(a －b )⊙(2a ＋b )＝4(a －b )＋(2a ＋b )＝4a －4b ＋2a ＋b ＝6a －3b ＝3(2a －b )＝3×2＝6.9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD .下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．,(第9题))证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连结MA ，MB ，MC 和MG .∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC .…(第9题③)任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为⊙O 上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是2＋22．【解析】 (1)又∵∠A ＝∠C ，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB ＝MG .又∵MD ⊥BC ，∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD .(2)∵AB ＝AC ，∴A 是BAC ︵的中点．∵AB ＝2，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD ，∴BE ＝ 2.由阿基米德折弦定理可得BE ＝DE ＋DC ，即△BDC 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋2BE ＝2＋2 2.10．如图①，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足OA ·OB ＝OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．,(第10题))(1)如图②，已知∠MON ＝90°，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且∠APB ＝135°.求证：∠APB 是∠MON 的智慧角．(2)如图①，已知∠MON ＝α(0°<α<90°)，OP ＝2.若∠APB 是∠MON 的智慧角，连结AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积．(3)如图③，C 是函数y ＝3x(x >0)图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，且满足BC ＝2CA ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标．导学号：71594039【解析】 (1)∵∠MON ＝90°，P 为∠MON 的平分线上一点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝12∠MON ＝45°. ∵∠AOP ＋∠OAP ＋∠APO ＝180°，∴∠OAP ＋∠APO ＝135°.∵∠APB ＝135°，∴∠APO ＋∠OPB ＝135°，∴∠OAP ＝∠OPB,∴△AOP ∽△POB, ∴OA OP ＝OP OB， ∴OP 2＝OA ·OB, ∴∠APB 是∠MON 的智慧角．(2)∵∠APB 是∠MON 的智慧角，∴OA ·OB ＝OP 2，∴OA OP ＝OP OB. ∵P 为∠MON 的平分线上一点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝12α， ∴△AOP ∽△POB, ∴∠OAP ＝∠OPB,∴∠APB ＝∠OPB ＋∠OP A ＝∠OAP ＋∠OP A ＝180°－12α， 即∠APB ＝180°－12α.(第10题解①)过点A 作AH ⊥OB 于点H ，如解图①，则S △AOB ＝12OB ·AH ＝12OB ·OA ·sin α＝12OP 2·sin α.∵OP ＝2, ∴S △AOB ＝2sin α.(3)设点C (a ，b )，则ab ＝3.(Ⅰ)点B 在y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴的负半轴上时，如解图②，BC ＝2CA 不可能；,(第10题解②)) ,(第10题解③))当点A 在x 轴的正半轴上时，如解图③，过点C 作x 轴的垂线，垂足为H .∵BC ＝2CA, ∴CA AB ＝13. ∵CH ∥OB, ∴△ACH ∽△ABO,∴CH BO ＝AH AO ＝CA BA ＝13，∴OB ＝3b ，OA ＝3a 2， ∴OA ·OB ＝3a 2·3b ＝9ab 2＝272. ∵∠APB 是∠AOB 的智慧角，∴OP ＝OA ·OB ＝272＝326. ∵∠AOB ＝90°，OP 平分∠AOB,∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫332，332.(第10题解④)(Ⅱ)点B 在y 轴的负半轴上，如解图④，过点C 作x 轴的垂线，垂足为H . ∵BC ＝2CA ，∴AB ＝CA .∵∠AOB ＝∠AHC ＝90°，又∵∠BAO ＝∠CAH ，∴△ACH ≌△ABO (AAS )．∴OB ＝HC ＝b ，OA ＝HA ＝12a . ∴OA ·OB ＝12a ·b ＝32. ∵∠APB 是∠AOB 的智慧角，∴OP ＝OA ·OB ＝32＝62. ∵∠AOB ＝90°，OP 平分∠AOB,∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－32. 综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫332，332或⎝⎛⎭⎫32，－32.。