【推荐】2013-2019高考文科数学分类汇编-第二章 函数 第5节 对数与对数函数
2019版人教版a版高考数学练习：第二章 第五节 对数函数 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合． 答案：D4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( )A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 答案：D5．(2018·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝loga |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.答案：D9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：本题主要考查函数的奇偶性及单调性．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a <3，故选B.答案：B10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D. 答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－22＝－f ⎝⎛⎭⎫22＝－⎝⎛⎭⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1.当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫1221log 5＋ C.12D.120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫1222log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x， 根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1.若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：根据题意，log a b ＞1⇔log a b －log a a ＞0⇔log a ba＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜ba ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b a＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 或⎝ ⎛ a ＞1b ＞a .当⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜10＜b ＜a 时，0＜b ＜a ＜1，∴b －1＜0，b －a ＜0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞a 时，b ＞a ＞1，∴b －1＞0，b －a ＞0. ∴(b －1)(b －a )＞0.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A. 答案：A7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1.∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n<1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B.34 C.710D.32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D.答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.答案：C11．设方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．(2017·江西红色七校模拟)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝12⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f⎦⎤⎝⎛⎭⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，114．(2018·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 15．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数， 由于f (x )＞1恒成立， 所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4， 故这样的a 不存在． ∴1<a <83.答案：⎝⎛⎭⎫1，83 16．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1g ⎝⎛⎭⎫a 2＞0，解得1＜a ＜2 5.答案：(1,25)。
(北师大版文)2019届高考数学复习课件：对数与对数函数
减函数 (7)在(0，＋∞)上是______
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 y＝logax (a>0且a≠1)互为反函数，
它们的图像关于直线 y＝x 对称.
【知识拓展】 1.换底公式的两个重要结论
1 (1)logab＝ ； logba n (2) logam b ＝ logab. m
3.已知a＝ 2
1 3
1 1 ，b＝log2 ，c＝ log 1 ，则a，b，c的大小关系为 c>a>b . 3 2 3
1 解析 ∵0<a<1，b<0，c＝ log 1 2 3 ∴c>a>b.
＝log23>1.
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
4.函数y＝ log 2 (2 x 1)
3
1 ， 1 2 的定义域是
1
2
3
4
5
6
7
题组二 教材改编
1 4 2 2 2.lg 7 －lg 8 ＋lg 7 5＝____.
2 3
1 2 1 解析 原式＝lg 4＋ lg 2－lg 7－ lg 8＋lg 7＋ lg 5 2 3 2
1 1 ＝2lg 2＋ (lg 2＋lg 5)－2lg 2＝ . 2 2
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
n
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2.对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应 的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内 从左到右底数逐渐增大.
【推荐】2013-2019高考理科数学分类汇编-第2章 函数-5 函数的图像及应用
D.C.B.A.O Ol 1l第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式)1. （2013江西理10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，l ∥1l ,l 与半圆相交于F G ，两点，与三角形ABC 两边,相交于E D ，两点，设弧FG 的长为(0π)x x <<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）.2．（2013四川理7）函数331x x y =-的图象大致是（ ）3.山东理8）函数cos sin y x x x =+的图像大致为（ ）.4.（2014 福建理4）若函数log a y x =()0,1a a >≠且的图像如图所示，则下列函数正确的是（ ）.DC B A5.（2014 新课标1 理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.6.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <6. 解析 由题可得≠-x c ，所以0->c ，即0<c ．令0=x ，则()200bf c=>， 所以0>b ．令0y =，则0+=ax b ，所以0bx a=->，所以0<a ．故选C ． 7.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A.B.C.D.A .B .x-D .)aA. B. C. D. 7. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D.评注 排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随x 的增大而减小，排除B.8.（2018全国2卷理科3）函数2e e ()x xf x x--=的图像大致为8. 解析 由函数()2e e x xf x x--=得，0x ≠，所以定义域为()(),00,-∞+∞，又()()2e e x xf x f x x---==-，所以()f x 是奇函数，故排除A 项；当()e 0,1x∈时，即(),0x ∈-∞时，()0f x <；当()e 1,x ∈+∞，即0x >时，()0f x >，故排除D 项；对选项B ，C ，分析单调性可知，当(),0x ∈-∞时，()f x 应先递增再递减，故排除C 项.故选B.9.（2018浙江5）函数y =sin2的图象可能是（ ）.||2xA ．B ．C ．D ．9.解析 因为()()()2sin 22sin 2x x f x x x f x -=-=-=-，所以函数为奇函数，排除选项A 、选项B ；又22sin 2f ππ⎛⎫=π=0 ⎪⎝⎭，排除选项C.故选D.10.（2019全国Ⅰ理5）函数f ()=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．10.解析： 因为()2sin cos x xf x x x +=+，π[]πx ∈-，，所以()()()22sin sin cos cos x x x xf x f x x x x x --+-===--++，所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ．2sin cos ++x xx x11.（2019全国Ⅲ理7）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．11.解析 因为332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是[]6,6-上的奇函数，因此排除C ，又1182(4)721f =>+，因此排除A ，D ．故选B ．12.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (+12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是A.B.C.D.12.解析：由函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调性相反，且函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像恒过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭可各满足要求的图象为D .故选D ．题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2013江苏理13）在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ） 图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 .2. (2013湖南理5)函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）.A ．3B ．2C ．1D ．0 3. (2013重庆理6)若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）. A. ()a b ，和()b c ，内 B. ()a -∞，和()a b ，内 C. ()b c ，和()c +∞，内 D. ()a -∞，和()c +∞，内 4. (2013辽宁理11)已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设()()(){}1max H x f x g x =，，()()(){}2min H x f x g x =，，{}max p q ，表示p q ，中的较大值，{}min p q ，表示 p q ，中的较小值，记()1H x 得最大值为A ，()2H x 得最小值为B ，则A B -=（ ）.A. 2216a a --B. 2216a a +-C. 16-D. 165.(2013湖南理20)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处. 现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.6. (2013安徽理8)函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ，，，，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（ ）. A. {}34， B. {}234，， C. {}345，， D. {}23，7.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.()1,2 D.()2+∞，7.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同）， 则实数a 的取值范围是 ．8.（2014 天津理 14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰 有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.8.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…，若()()2f f a …，则实数a 的取值范围是______.9.（2015北京理14）设函数()()()2,1,42, 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩…（1）若1a =，则()f x 的最小值为 ；（2）若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 .9. 解析 （1）若1a =，()()()21,1,412, 1.x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩….函数()f x 的值域为[)1,-+∞，因此()f x 的最小值为1-. （2）依题意，函数()21xy a x =-<至多有一个零点.若函数()f x 恰有两个零点，则有两种情形：①函数2xy a =-，1x <无零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有两个零点；②函数2xy a =-，1x <有1个零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有一个零点.当函数()f x 满足情形①时，可得20121a a a -⎧⎪⎨⎪⎩………，解得2a ….当函数()f x 满足情形②时，可得20121a a a ->⎧⎪<⎨⎪⎩…，解得112a <….综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.10.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则实数a 的取值范围是 .10. 解析 利用数形结合解题. 问题等价于函数()y f x =与y b =有两个交点时a 的取值范围. 令2x =3x , 解得0x =或1x =.当a ∈(),0-∞，a ∈[]0,1，a ∈()1,+∞时的()f x 的图像分别如图（1）（2）（3）所示，上下平移y b =可知，图（1）和图（3）与y b =有两个交点. 所以a 的取值范围为(),0-∞()1,+∞.图（1） 图（2） 图（3）11.（2015江苏13）已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩…，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 ． 11. 解析 解法一（逐步去绝对值）：1︒当01x <…时，()()f x g x +=ln 0ln 1x x +==，故ln 1x =±，e x =（舍）或1e x =，即在(]0,1上有一解为1ex =． 2︒当1x >时，ln 0x >，故()ln ln f x x x ==，()()2ln 421f x g x x x +=+--=，①当12x <<时，2ln 21x x -+=，不妨设()2ln 2h x x x =-+，()2112'20xh x x x x-=-=<对()1,2x ∈恒成立， 故()h x 单调递减，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，()()max 11h x h ==，根据绝对值函数的性质分析，在()1,2x ∈上有一解； ②当2x …时，2ln 61x x +-=，不妨设()2ln 6m x x x =+-，则()1'20m x x x=+>对[)2,x ∈+∞恒成立， 故()m x 单调递增，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，又()612e e 1m =>，根据绝对值函数的性质分析，在[)2,x ∈+∞上有两解． 综上所述：方程()()1f x g x +=实根的个数为4．解法二（直接去绝对值）：设()()()h x f x g x =+，则()22ln ,01ln 2,12ln 62x x h x x x x x x x -<⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩……，下仿照解法一分析．或者通过分析()1h x =±的解亦可． 解法三（图像转化）：因为()()1f x g x +=，所以()()1f x g x +=±， 从而()()1g x f x =±-，即()()1g x f x =-或()()1g x f x =--． 先分别画出()f x 与()g x 的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究()()1g x f x =-与()()1g x f x =--的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有4个交点． ()()1g x f x =-图形分析 ()1()g x f x =--图形分析评注 本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．12.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭12. 解析 由()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩…得2220(2)0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩，，…，所以2220()(2)420222(2)2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---⎨⎪--+->⎩，，，剟，即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，，剟()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.13.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ).A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞， 13.解析 因为()()()2=f af f a ，所以()1f a ?．①当1a <时，()311=-f a a …， 解得213a <…；②当1a …时，()21=a f a …，解得1a …． 综上所述，23a …．故选C ．14.(2015北京理7)如图所示，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +卨的解集是（ ）.A. {}10x x -<… B. {}11x x-剟C. {}11x x -<… D. {}12x x -<…14. 解析 函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出()y f x =及()2log 1y x =+的图像，如图所示.可知()()2log 1f x x +…的解集为(]1,1-.故选C.15.（2015全国I 理12）设函数()()e21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）. A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭15.解析 由()()e 21xf x x ax a =--+，且1a <，知()010f a =-<.所以满足题意的00x =.又()()21e xf x x a '=+-.当0x …时，()0f x '>，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增； 当1x -…时，()0f x '<，函数()f x 在(],1-∞-上单调递增. 因此，若存在唯一整数00x =，使得()00f x <，则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩……，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩……，解得32e a …，又1a <，所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 16.（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.16.解析 因为，，即.由图像变换可作出与的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x ()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1y f x =-()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭17.（2017山东理10）已知当时，函数的图像与的图像有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）. A. B.C. D.17.解析 解法一：过点且对称轴为. 当时，，从而在区间上单调递减，函数与的草图如图所示，此时有一个交点；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.若函数与有一个交点，草图如图所示，则，解得；1141)2-)[]0,1x ∈()21y mx =-y m =m (])0,123,⎡+∞⎣(][)0,13,+∞()23,⎡+∞⎣([)3,+∞()222121y mx m x mx =-=-+()0,11x m=01m <<11m>2221y m x mx =-+()0,1()21y mx =-y m =1m >11m <2221y m x mx =-+10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()21y mx =-y m =()211m m ⨯-?3m …当时，函数与显然在区间有且只有一个交点为.综上所述，的取值范围是.故选B. 解法二：若，则的值域为；的值域为，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若，则点是两个函数的公共点.故选B.18.（2018全国III 卷理科7）函数422y x x =-++的图像大致为（ ）.18.解析 由()()f x f x =-知，函数为偶函数.由()02f =，排除选项A ；由()12f =，排除选项B ；()3242221y'x x x x =-+=--，令0y'>，得x <或0x <，即函数在,⎛-∞ ⎝⎭，⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.故选D. 19.（2018全国I 卷理科9）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，19.解析 函数()()g x f x x a=++存在2个零点等价于函数()f x 的图像与直线y x a =--有2个交点，如图所示，则1a -…，即1a -….故选C.1m =()21y x=-1y =[]0,1()0,1m (][)0,13+∞，m =)[]21,0,1y x =-∈[]0,1[]0,1y x =∈3m =()1,420.（2018天津理14）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .20.解析 分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中221412,241122x xx x x x x x ⎛⎫-=-++-=-++ ⎪++--⎝⎭， 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象,如图所示x同时绘制函数y a =-的图象，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数的取值范围是()4,8.21.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦21.解析：因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦，当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-， 当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x -…，则73m …．故选B ．22.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，())f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中>0.若在区间(0，9]上，关于的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则的取值范围是 . 22.解析 作出函数()f x 与()g x 的图像如图所示，由图可知，函数()f x 与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<<<<剟剟仅有2个实数根；要使关于的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1)f x x =--，(0,2]x ∈与()(2)g x k x =+，(0,1]x ∈的图象有2个不同交点， 由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，得211k =+，解得(0)22k k =>，因为两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，所以13k <…即k的取值范围为1[3.23.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b <0D ．a ＞-1，b >023.解析：当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--，最多一个零点； 当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '>，()y f x ax b =--在 ∞ 上递增，()y f x ax b =--最多一个零点 不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得(0,1)x a ∈+，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点 函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如下图：所以01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．故选C ．题型33 函数中的创新题1.(2015全国II 理10)如图所示，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA 运动，BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()f x 的图像大致为（ ）．A. B. C. D.1. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，即π04x 剟时，tan PA PB x +=；当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时，PA PB +=； 当π2x =时，PA PB +=OA424424424424当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，tan PA PB x +=. 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非直线型.故选B.2.（2015四川理13）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：C )满足函数关系ekx by += (e = 2.718为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0C 的保鲜时间是192h 小时，在22C 的保鲜时间是48h ，则该食品在33C 的保鲜时间是 .2. 解析 由题意可得22192e 48e bk b+⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e2bk ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以当33x =时，()333333111e e e ee 19224.2k b k b k b y +⎛⎫==⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭3.（2015四川理15）已知函数()2xf x =，()2g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数12,x x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 3. 解析 ①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m …时，()F x 为单调递减函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2xy =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-。
2019高考数学一轮复习第二章函数2.4对数与对数函数课件
§2.4 对数与对数函数
知识清单
方法技巧
方法 1 对数函数的图象及其应用
1.对一些可通过平移、对称变换等作出函数图象的问题,在求解函数的
单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法.
2.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利
用数形结合法求解,特别地,要注意底数a>1和0<a<1两种不同情况.
即loga(3-a)=1,
所以a= 3 ,
2
此时f(x)=lo g32 3- 32 x .
当x=2时,f(x)没有意义,
故这样的实数a不存在.
例1 不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,则a的x>(x-1)2恰有三个整数解,得a>1.在同一直角坐标系
中画出y=logax与y=(x-1)2的图象,可知不等式的整数解集为{2,3,4},则应
满足
log log
a a
4 5
(4 (5
1)2 , 1)2 ,
解析 (1)令g(x)=3-ax,由题设知3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,
因为a>0,所以g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,
由g(2)=3-2a>0,
解得a< 3 ,
2
所以a的取值范围为(0,1)∪ 1, 32
.
(2)不存在.理由如下:
假设存在这样的实数a.
由题设知f(1)=1,
得 16
5
≤a< 9 4
.
答案 [ 16 5 , 9 4 )
方法 2 对数函数的性质及其应用
1.比较对数值大小的类型及相应方法
2019版高考数学一轮复习讲义 第二章 函数 2.4 对数与对数函数讲义
§对数与对数函数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度对数与对数函数.对数求值或比较大小.对数函数图象和性质的运用填空题解答题★★☆分析解读对数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.近年江苏对本节内容没有单独考查,是命题冷点.五年高考考点对数与对数函数.(课标全国Ⅰ改编分)若>><<,则与的大小关系为.答案<.(浙江改编分)已知>且≠≠.若>,则()().(填“>”“<”“”)答案>.(浙江理分)已知>>.若,则.答案.(浙江分)若,则.答案.(福建分)若函数()(>,且≠)的值域是[∞),则实数的取值范围是.答案(].(辽宁改编分)已知,则的大小关系为.答案>>.(四川改编分)已知()()()∈().现有下列命题:①()();②();③()≥.其中正确命题的序号是.答案①②③教师用书专用(—).(湖南理改编分)函数() 的图象与函数()的图象的交点个数为.答案.(山东理分)定义“正对数”:现有四个命题:①若>>,则();②若>>,则();③若>>,则≥;④若>>,则()≤ .其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案①③④三年模拟组—年模拟·基础题组考点对数与对数函数.(江苏淮安、宿迁高三(上)期中)函数()的定义域是.答案.(江苏金陵中学高三月考)已知,则用表示为.答案.(江苏如东中学学情检测)函数()()的单调递减区间是.答案().(苏教必,三,变式)已知,则的大小关系为.答案>>.(江苏泰州中学期中)已知,则.答案.(江苏如东高级中学第二次学情调研)函数()的定义域为.答案(∞)∪().(江苏南通调研)已知函数()()(>且≠∈)的图象如图所示,则的值是.答案.(江苏通东中学月考)已知函数()若()>(),则实数的取值范围是. 答案()∪(∞).(江苏扬州期中)函数()()的定义域为,函数()().()若()≤的解集为,求∩;()若存在∈使得不等式()≤成立,求实数的取值范围.解析()由>,解得<或>,则(∞)∪(∞),若,则(),由≤,解得≤≤,则[],所以∩(].()存在∈使得不等式()≤成立,即存在∈使得不等式≥成立,所以≥,因为≥,当且仅当,即时取得等号,。
2019版高考数学(文)第2章 函数、导数及其应用 第6讲对数与对数函数 Word版含解析
第讲对数与对数函数
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点对数的定义
如果＝(>，且≠)，那么数叫做以为底的对数，记作＝，其中叫做对数的底数，叫做真数．
考点对数的运算法则
如果＞且≠，＞，＞，那么
()(·)＝＋，
()＝－，
()＝(∈)．
考点对数函数的图象与性质
><<
图象
定义域(，＋∞)
值域
定点过点()
单调性在(，＋∞)上是单调递
增的
在(，＋∞)上是单调递减
的
函数值正负当＞时，＞；
当＜＜时，＜
当＞时，＜；
当＜＜时，＞
考点反函数
指数函数＝(＞且≠)与对数函数＝(＞且≠)互为反函数，它们的图象关于直线＝对称．
[必会结论]
．对数的性质(＞且≠)
()＝；()＝；()＝.
．换底公式及其推论
()＝(，均大于且不等于，＞)；
()·＝，即＝；
()＝；
()··＝.
．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线＝，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．。
专题5 对数函数-2019年高考数学考点讲解与真题分析
对数函数总复习一.重点内容剖析1.对数运算是指数运算的逆运算，它们之间可以互相转换，即N x N a a x log =⇔=，其中指数式中的x 是对数式中的对数，N 是对数式中的真数，由指数函数的性质可知0>=x a N ，因此对数式中的真数N 是一个正数，从而知复数与零没有对数。
2. 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．3.对数函数图象位置分布规律为：对数函数x y a log =底数不同的图象在第一、四象限被直线x ＝1及x 轴的正半轴分成四个部分，对于x ＝1右边的两部分，x y a log =的图象从下而上分布时，则对应的底数分别由大到小在变化，此规律可以用来比较底数不同，真数相同的对数间的大小，即设x y a log 1=，x y b log 2=，其中1,1>>b a （或10,10<<<<b a ），那么，当x>1时，“底大图低”即若a>b ，则<1y 2y ；当10<<x 时，“底大图高”即若a>b ，则>1y 2y .一般地，函数log a y x =与1log ay x =的图象关于x 轴对称.4. 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．如果已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想．5.对数值的正负有下列关系：)0,10(0)1)(1(0log >≠>>--⇔>b a a b a b a 且；)0,10(0)1)(1(0log >≠><--⇔<b a a b a b a 且熟记它们有助于提高解题效率。
6.比较几个数的大小是对数应用的常见题型。
在具体比较时，可以先将它们与0比较，分出正负数，再将正数与1比较，分出大于1还是小于1，然后再各类中间两两相比对数函数型数值间的大小关系，底相同时，考虑对数函数单调性，底不同时，可考虑中间值，或用换底公式化为同底，或考虑比较法。
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习考点突破训练：第2章 第5讲 对数与对数函数
第五讲 对数与对数函数考点1对数与对数运算1.计算:2lg 5+lg 2(lg 2+2lg 5)+(lg 2)2=2.计算:lg 5(lg 8+lg 1 000)++lg +lg 0.06=(lg 23)2163.已知2x =3,log4=y ,则x +2y 的值为 834.已知log 189=a ,18b =5,求log 3645.考点2对数函数的图象与性质5.已知函数 f (x )=lo (4x -2x +1+1)的值域是[0,+∞),则它的定义域可以是( )g 12A.(0,1]B.(0,1)C.(-∞,1]D.(-∞,0]6.若函数f (x )=log a x (0<a<1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( )A. B.C. D.242214127.已知函数f (x )=log a x (a >0,且a≠1)满足f ()>f (),则f (1-)>0的解为( )2a 3a 1x A.0<x <1B.x <1C.x >1D.x >08.[2018湖北省部分重点中学起点考试]已知偶函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,a=f (log 2),13b=f (),c=f (log 32),则下列关系式中正确的是( )32A.a <b <c B.a <c <b C.c<a <b D.c <b <a9.[2017天津模拟]已知函数f (x )=log a (4-ax )在[0,2]上是单调递减函数,则实数a 的取值范围为( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)10.[2015湖南,8,5分][文]设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数11.函数y =ln 的图象为( )1|2x -3|A B C D12.[2017成都市二诊]已知函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象经过点(,).若函数g(x )的2212定义域为R,当x ∈[-2,2]时,有g (x )=f (x ),且函数g (x +2)为偶函数,则下列结论正确的是( )A.g (π)<g (3)<g ()2B.g (π)<g ()<g (3)2C.g ()<g (3)<g (π)2D.g ()<g (π)<g (3)2答案1.2 原式=2lg 5+(lg 2)2+2lg 2lg 5+(1-lg 5)2=(lg 2)2+2lg 2lg 5+(lg 5)2+1=(lg 2+lg 5)2+1=2.2.1 原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2+lg(×0.06)=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+163lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=1.3.3 由2x =3,log 4=y ,得x =log 23,y =log 4=log 2,所以x +2y =log 23+log 2=log 28=3.83831283834.解法一 因为log 189=a ,18b =5,所以log 185=b ,所以log 3645====.log 1845log 1836log 18(9×5)1+log 182a +b 1+log 18189a +b2-a解法二 因为log 189=a ,18b =5,所以lg 9=a lg 18,lg 5=b lg 18,所以log 3645====lg45lg36lg (9×5)lg 1829lg9+lg52lg18-lg9=.alg18+blg182lg18-alg18a +b 2-a 5.A 由函数f (x )的值域为[0,+∞),可得0<4x -2x +1+1≤1,∴0<(2x -1)2≤1,∴0<2x -1≤1或-1≤2x -1<0,即0<x ≤1或x <0.选A.6.A ∵0<a <1,∴函数f (x )在定义域上是减函数,所以当x ∈[a ,2a ]时,f (x )max =log a a =1,f (x )min =log a 2a .由已知得1=3log a 2a ,∴a =(2a )3,解得a =.故选A.247.C 因为函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上为单调函数,而<且f ()>f (),所以f (x )2a 3a 2a 3a =log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上单调递减,由f (1-)>0可得0<1-<1,即0<<1,即x >1.故选C.1x 1x 1x 8.D log 2= -log 23,而0<log 32<1<=log 2<log 2=log 23.∵函数f (x )是偶函数,且在(0,+∞)上单133289调递增,∴f (log 32)<f ()<f (log 23)=f (-log 23)=f (log 2),∴c <b <a ,故选D.32139.C 由题意可得a >0,且a ≠1,故函数t=4-ax 在区间[0,2]上单调递减.再根据f (x )=log a (4-ax )在区间[0,2]上单调递减,可得a >1,且 4-a ×2>0,解得1<a <2,故选C.10.A 由题意可知,函数f (x )的定义域为(-1,1),且f (x )=ln =ln(-1),易知y =-1在(0,1)上为1+x1-x 21-x 21-x 增函数,故f (x )在(0,1)上为增函数,又f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数,故选A.11.A 由题意易知2x -3≠0,即x ≠,排除C,D.当x >时,函数为减函数,当x <时,函数为增函数,选323232A.12.C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点(,),所以函数f (x )的图象经过点(,),所以=,解22121222a 1222得a =,所以函数f (x )在R 上单调递减.因为函数g (x +2)为偶函数,所以函数g(x )的图象关于直线12x =2对称,又x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x ),所以g (x )在[-2,2]上单调递减,所以x ∈[2,6]时,g (x )单调递增.根据对称性,可知距离对称轴x =2越远的自变量,对应的函数值越大,所以g ()<g (3)<g (π).故选C.2。
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第二章 函数 第5节 对数与对数函数 题型27 对数运算及对数方程
1.（2015浙江文9）计算：2
2log2 ，24log3log32 ．
1.解析 122221loglog222，3222423log3log3log3log3222233. 2.（2015安徽文11）151lg2lg222 . 2. 解析 原式lg5lg22lg22lg5lg22121. 评注 1. 考查指数幂运算；2. 考查对数运算. 3.（2015四川文12）2lg0.01log16 _____________. 3.解析 由题意可得2lg0.01log16242.
4．（2015北京文10）32， 123，2log5三个数中最大数的是 . 4.解析 3128 ，1233，2log52，故1322log532，所以最大数是2log5. 5.（2017北京文8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）. （参考数据：lg30.48） A.3310 B.5310 C.7310 D.9310 5.解析 解法一： 因为361361lg3173.2893.283101010MN，因此选项D符合题意. 故选D.
解法二：设36180310MxN ，两边取对数，36136180
80
3lglglg3lg10361lg38093.2810x，所以93.2810x，即MN最接近
9310
.故选D.
2019年 1.（2019北京文7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述．两颗星的星等 与亮度满足212152–lgEmmE，其中星等为km
的星的亮度为kE（=1,2）．已知太阳的星
等 是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10.110
1. 解析 由题意知，lg2EmmE太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg10.1EE太阳天狼星，
所以10.110EE太阳天狼星.故选A.
题型28 对数函数的图像及应用——暂无 2018年
1.（2018上海4）设常数aR，函数2logfxxa，若fx的反函数的图像经过
点3,1，则a . 解析 因为fx的反函数的图像经过点3,1，所以fx经过1,3，即2log13a，
解得7a. 题型29 对数函数的性质及应用 1. (2013陕西文3） 设abc，，均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）. A. logloglogaccbba B. logllooggaaabab C. ()logogglloaaabcbc D. ()loggogollaaabbcc 1.分析 根据对数的运算法则及换底公式判断． 解析 由对数的运算公式logloglog
aaabcbc
可判断选项C,D错误，选项A，由对
数的换底公式知，22clglglgloglogloglglglglglgacbbabbabaacc，此式不恒
成立，选项B，由对数的换底公式知，lglglgloglogloglglglgaccbabbabacc, 故恒成立， 故选B.
2. (2013辽宁文7） 已知函数2ln1931fxxx，则1lg2lg2ff（ ）. A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 2.分析 利用fxfx的特殊性求解.
解析 2ln193fxfxxx2ln1932xx
22ln1992ln122xx由上式关系知
1lg2lglg2lg222ffff
.故选D.
3.（2013四川文11）lg5lg20的值是 . 3．分析 借助对数运算法则lglglg,0MNMNMN>及log1aa（0a>且1a）求解.lg5lg20lg100lg101.
4.（2014湖南文9）若1201xx，则（ ）.
A.2121eelnlnxxxx B.21
21
eelnlnxxxx
C.1221eexxxx D.12
21
eexxxx
5. （2014山东文6）已知函数log(,0,1)
ayxcacaa为常数，其中
的图像如图
所示，则下列结论成立的是（ ）.
A. 1,1ac B. 1,01ac C. 01,1ac D. 01,01ac
6.（2014四川文7）已知0b，5logba，lgbc，510
d
，则下列等式一定成立的是
（ ）. A.dac B.acd C.cad D.dac
7.（2014大纲文5）函数3ln(1)(1)yxx的反函数是（ ）.
1 x
E
OA．3(1e)(1)xyx B．3(e1)(1)xyx C．3(1e)()xyxR D．3(e1)()xyxR 8. （2014广东文13）等比数列na的各项均为正数，且154aa，
2122332425logloglogloglogaaaaa________.
9. （2014安徽文11）34331654+loglog8145 . 9. 解析 原式34334332542327loglog10345328. 10.（2014陕西文12）已知,lg,24axa则x________. 11.（2015四川文4）设,ab为正实数，则“1ab”是“22loglog0ab”的（ ）. A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
11.解析 由函数2logyx在定义域0,上单调递增，且2log10， 可知“1ab”是“22loglog0ab”充要条件.故选A.
12.（2015陕西文10）设lnfxx，0ab，若pfab，2abqf， 12rfafb，则下列关系式中正确的是（ ）.
A. qrp B. qrp C. prq D. prq 13.（2015天津文7）已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记
0.5log3af，2log5bf，2cfm，则a，b，c 的大小关系为（ ）.
A.abc B.cab C.acb D.cba 14.（2015天津文12）已知0a，0b ，8ab，则当a的值为 时22loglog2ab取得最大值.
14.解析 2222
2222
loglog211loglog2log2log164,244ababab
„
当2ab时取等号，结合0,0,8,abab可得4,2.ab 15.（2016浙江文5）已知a，0b，且1a，1b，若log>1ab ，则（ ）. A.110ab B.10aab C.10bba D.10bba 15. D 解析 对于选项A，B，当1a，由loglog1aaba，得1ba，所以
110ab，10aab故选项A，B不正确；对于选项C，D，当1b 时，
由loglog1aaba，得1ba ，所以10b ，0ba ，所以10bba ；
当01b 时，所以01ba ，所以10b ，0ba ，所以10bba.故选项D正确，选项C不正确.故选D. 16.（2016全国乙文8）若0ab，01c，则（ ）.
A.loglogabcc B.loglogccab C.ccab D.ab
cc
16. B 解析 由01c可知logcyx是减函数，又0ab，所以loglogccab.
故选B.
评注 作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取4a，2b，12c，可快速
得到答案.另外，对于A，lgloglgacca，lgloglgbccb，因为01c，所以lg0c.又
0ab，所以lglgab，但正负性无法确定，所以A无法判断.对于C，D，可分别
利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误. 2018年
1.（2018天津文5）已知1331
3
711log,(),log245abc，则,,abc的大小关系为( ).
（A）abc （B）bac （C）cba （D）cab 解析 由题意可知：333
7log3loglog9,2，即12a，
110
3111
0444
，即01,b，
1333
17loglog5log52，即ca，
综上可得：cab.故选D.