直线与抛物线关系：抛物线的简单几何性质(3)
2.4.2抛物线的几何性质(三)
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
y12 y2 2 y1 y2 0 ∵ y12=2px1，y22=2px2∴ 2p 2p ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y1 y2 2p ( x x1 ) ∴ ∴ k AB ∴直线 AB： y y1 y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
OA OB , 且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方
程是：( D )
x p (B) x 3 p (C) x 3 p (D)x 5 p (A) 2 2
.
F
x
O
x
.
B
例4 A 、B 是 抛 物线 y 2 2 px( p 0) 上 的 两 点, 满足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
复习练习：
已知抛物线 y 2 32 x ，若 ABC 的三个顶点都在该 抛物线上，且点A的纵坐标为8， ABC 的重心恰在抛 物线的焦点上，求直线BC的斜率。
y 2 8 x 例1. 求抛物线
被点P(-1,1)平分
的弦所在直线方程.
变形:求斜率为4且与抛物线 y 2 8 x 相交的平行弦的中点轨迹方程.
2.4.2抛物线的简单几 何性质(3)
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
抛物线的简单几何性质(3)典型例题解析
典例剖析［例1］已知双曲线的方程是9822yx-=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.【解】∵双曲线9822yx-=1的右顶点坐标是(22，0).∴222=p ,且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上.∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2=82x ,x =－22.【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识. ［例2］A 为抛物线y 2=－27x 上一点，F 为焦点，｜AF ｜=1487，求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.【解】设A （x 1,y 1）,∵2p =27,∴F 的坐标是(－87，0).∵｜FA ｜=1487,∴871421=-x p ,∴x 1=－14,代入抛物线方程y 2=－27x ,得y 1=±7.∴A 点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). ∵21-=OA k 或21=OA k 且OA ⊥l∵k l =2或k l =－2. ∵l 过焦点F (－87，0).∴l 的方程是y =2(x +87)或y =－2(x +87)，即8x －4y +7=0或8x +4y +7=0.【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.[例3]设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明：直线AC 经过原点O, 【证明】∵抛物线的焦点为F （2p ，0），∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p ，代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2. ∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上，∴点C 的坐标为（-2p ，y 2）.∴直线OC 的斜率为k=111222x y y p p y ==-，即k 也是直线OA 的斜率.∴直线AC 经过原点O. 【点评】本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O ，这里是利用了直线OC 与直线AC 的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.[例4]A 、B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB （O 为坐标原点）.求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； （2）直线AB 经过一个定点.【证明】（1）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1、y 22=2px 2. ∴OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0，y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2，从而x 1x 2=4p 2也为定值. （2）∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，∴2121212y y p x x y y +=--.∴直线AB 的方程为y-y 1=212y y p +(x-x 1),即y=212y y p +x-212y y p +·py 221+y 1，y=212y y p +x+2121y y y y +，亦即y=212y y p+(x-2p).∴直线AB 经过定点（2p ，0）.【点评】本例的证明还可以设OA 的方程为y=kx ，OB 的方程为y=-k1x ，由OA 的方程与抛物线的方程联立求得A 点的坐标，再由OB 的方程与抛物线的方程联立求得B 点的坐标，利用A 、B 的坐标证明.。
3.3.2抛物线的简单几何性质(第3课时直线与抛物线)-高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性
故点 P 的轨迹方程为 y2＝4x. 方法二：由题意，动点 P 到定点 F(1，0)的距离比到 y 轴的距离大 1. 而 F(1，0)到 y 轴的距离为 1.∴当 x≥0 时，原条件等价于点 P 到 F(1，0)与到直 线 x＝－1 的距离相等，故点 P 在以 F 为焦点，x＝－1 为准线的抛物线上，
离最短，并求出距离的最小值．
法一：设 p(x0，y0)是 y2＝2x 上任一点，
则点 P 到直线 l 的距离 d＝|x0－y0＋3|＝y220－y0＋3＝|y0－12＋5|，
2
2
22
当 y0＝1 时，dmin＝542，∴P 12，1 .
直线与抛物线
法二：设与抛物线相切且与直线 x－y＋3＝0 平行的直线方程为 x－y＋m＝0，
由
k≠0， Δ＝0，
即
k≠0， 16－4k8＋12k＝0，
得 k＝1或 k＝－1. 3
所以直线方程为 y－2＝13(x＋3)或 y－2＝－(x＋3)，
即 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0.
综上所述，直线方程分别为：y＝2 或 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0.
直线与抛物线
抛物线中的最值
例 3：在抛物线 y2＝2x 上求一点 P.使 P 到直线 x－y＋3＝0 的距
l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0).
04轨迹方程
PART
ONE
轨迹方程
y
DC
O
x P
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
直线与抛物线的位置关系专题
抛物线的简单几何性质————叶双能一．教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 二．教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.（1（2(3)例4x ：只（2）例2变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线2=4y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.(教材69页例4)方法（一）方程联立−−→求交点坐标−−→根据两点间距离公式 方法（二））方程联立−−→根据韦达定理求12+x x −−→运用弦长公式 方法（三）（数形结合）方程联立−−→根据韦达定理求12+x x −−→运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式：1212(1):|=||+||+p)||=|y |+||+p AB x x AB y ⎧⎨⎩焦点在x 轴上（2焦点在y 轴上：（由焦半径公式推导而来） 变式2：已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于两点。
（1）求证：OA OB ⊥；（2）当OAB ∆k 的值（16±） （本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法(1)⎧⎨分解成两个共底的三角形的面积之和）(1).(2).(3).((1)例3(5).求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(6).AF BF 求证：以（或）为直径的圆与y 轴相切(7).求证：点A 、O 、B1三点共线.(8).若AF a BF b ==，，M 是A1,B1的中点，求证MF =−−→变式练习：若抛物线的方程为22x py =，则能得到什么结论？:例４．已知抛物线C ：24y x =．（１）在抛物线C 上求一点P ，使得点P 到直线3y x =+的距离最短.（2）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()3,0A 的距离最近，并求最近的距离． （３）若点A 的坐标为()1,1，在抛物线C 上求一点P 使得||||PF PA +最小，并求最小值. （４）若点A 的坐标为()1,4，在抛物线C 上找一点Ｐ使得||||PF PA +最小，并求最小值.（５）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()0,2A 距离与P 到准线的距离之和最小，并求最小的值. （6 ）求下列函数的最值.（7||CD 的的面例 为抛物线.0OB OC =，若存在，求出定点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由．三．练习反馈：1. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标为______________________.2. 过抛物线28y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，则||AB =___________________________.3. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列，则有（ ）A.123||||||FP FP FP += B. 222123||||||FP FP FP += C. 2312||||||FP FP FP =+ D. 2231||||.||FPFP FP = 4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线x y 42=上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积5.6.7.S 8.9（22x =于M (1)10. A 、B ，OB ⊥.45的11.4，求b 变式2：已知抛物线x y 2=截直线1y kx =+所得的弦长为4，求k 的值.（四）小节.。
抛物线的几何性质(3)
Hale Waihona Puke 【说明】（1）直线与抛物线的位置关系判断方法与双曲 线相同，特别注意有一个公共点的情况，除了相切外， 还有与对称轴平行的情况. （2）直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：联立方程， 方程组解的个数，就是直线与圆锥曲线的公共点个数.
x2 y2 5.已知双曲线 2 2 1 (a 0 , b 0) 的右焦点为F， a b 若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有 一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ D ）
y 1 k ( x 2) 则由 2 得 ky2 4 y 4(2k 1) 0 y 4x 1 (1)当k=0时，y 1, x . P
4
1 直线l与抛物线只有一个公共点 ( ,1). 4 16(2k 2 k 1) (2)当k≠0时，
2
.
y x
y 2 -2
O
解：
联立
y kx 1
y x
x2 y2 4
得 (1 k 2 ) x 2 2kx 5 0 ∵直线与双曲线没有公共点，
2
x
(2k ) 4 5 (1 k ) 0
2 2
-2
y kx 1
5 5 k , 或k . 2 2
y
. . . .A
l
B
k 2 x 2 4k 2 8 x 4k 2 0
O
F
.. ..
x
8 4k 2 x1 x2 k2 x1 x2 4
解方程组①②③得
②
x 2
③
2 2 k . 3
作业讲评： 2.4.2（二）【自主评价2】
抛物线的简单几何性质3
y
联立
y y
kx 2 2x
b
b2 x1x2 k 2
k 2 x2 (2kb 2)x
同理y1 y22b kb2来自0 O.F
A
•M
B
x
由OA OB
x1x2
y1 y2
0
即 b2 k2
2b k
0
b
2k
lAB : y kx 2k 与x轴交点(2,0)
6、已知直线l：x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点，
设A x1, y1 、B x2, y2
设l : x my a代如y2 2 px得
y2 2 pmy 2 pa 0
y1 y2
2 pa又x1
y12 2p
、x2
y22 2p
..x.1.x.2...a.2...........
y
A
O
P
x
B
y2=2px
l
过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p＞0）交 于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆C(C为 圆心），试证明抛物线顶点在圆C上。
求证：OA⊥OB.
证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)
所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB
y
A
O
C(2p,0) x
B
y2=2px
L:x=2p
变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y 2 =2px(p>0)
交于A、B两点，求证：OA⊥OB.
设A x1, y1 、B x2, y2
设P(x, y), C(3,0)
| PC | (x 3)2 y2 x2 5x 9(x 0)
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2
2
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2 5x12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2） 2 2 5x2 9 y2 45 5 y1 y2 5 x1 x2 kMN 9 x1 x2 9 y1 y2 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5 x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 1和抛物线 C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.
y
x F
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：
1、根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法．
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线 两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1）， 求直线l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法
3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交 于A、B，求AB中点的轨迹方程.
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 3: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 42 52 41 40 25
o
dmax
思考：最大的距离是多少？
65 41 42 52 41
40 25
1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
A
B
说明：直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
题型三：中点弦问题
例3 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
题型三：中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
O F M
.
x
B
b2 2b x1 x2 2 同理 y1 y 2 k k
b 2 2b 0 b 2k 由OA OB x1x2 y1 y2 0 即 2 k k
l AB : y kx 2k 与x轴交点(2,0)
练习：
1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相 切的直线方程.
相交（一个交点）
相交
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25
y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
题型二：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 4, b 1, c 3.
2 2 2
的右焦点，
右焦点F ( 3,0).
y x 3 2 x 2 y 1 4
直线l方程为: y x 3. 消y得： 5x2 8 3x 8 0
关于y轴对称
x∈R y≤0
关于y轴对称
关于x轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
复习回顾：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
抛物线的简单几何性质(2)
2015年12月4日星期五
方程
图 形 范围
对称性
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y
x2 = 2py （p＞0）
x2 = -2py （p＞0） y
（p＞0）
y
l O F x
l
y
F x
l x l
F
O
O
O
F
x
x≥0
y∈R x≤0 y∈R
关于x轴对称
x∈R y≥0
两式相减得：
b2 ( x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
由b ( x x2 ) a ( y y ) 0
2 2 1 2 2 2 1 2 1
y y b2 即 2 x x a
2 1 2 1 2 1 2 2
k AB
2 y1 y1 b2 x1 x2 x0 b 2 x1 x2 a y1 y1 a 2 y 0
.
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y
A
（2）设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y kx b
y kx b 联立 2 k 2 x 2 (2kb 2) x b2 0 y 2x
2 2
，
平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过 A2， 1 引椭圆的割线，求截 得的弦的中点的轨迹方程；
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知：
.
P
F
O
x
P到F的距离等于到直线 y 5的距离
说明：（1）联立方程组，结合判别式求解
（2）注意斜率不存在的情形
2、顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x－y－4＝0 所得弦长为 3 5 ，求抛物线方程.
说明： （1）联立方程组，结合韦达定理求解 （2）直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )，
则有： 2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2 y1 y2 又k AB x1 x2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上， 2 2 2 2 x y x1 y1 2 2 1 1 2 2 a b a 2 b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例3：已知椭圆 1，直线l： 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64k 2 - 4 25 （k 2 - 225） 0
mx 2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
△ 0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离
△=0 △ 0
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．