湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(原卷版)
湖南省衡阳八中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)(实验班) Word版含解析
2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）R一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．b1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）cA．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞01B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0JC．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0wD．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0J2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）wA．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]o3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）2A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）fA．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x75．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）gA．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]m6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）WA．B．C．D．27．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）8A．B．2 C．D．3e8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）AA．B．C．D．/9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）AA．24 B．20 C．16 D．12=10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）=A．4 B．3 C．2 D．111．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假，则实数m的取值范围是．14．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是（填上所有正确的序号）．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【考点】四种间的逆否关系．【分析】直接利用逆否的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否的定义可知：当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】四种的真假关系．【分析】据复合的真假与简单真假的关系，得到p，q全真；p真即不等式恒成立转化成求最值，q真即二次方程有根，△≥0【解答】解：∵“p∧q”为真，∴得p、q为真，若p为真则有a≤（x2）min=1；若q为真则有△=4a2﹣4（2﹣a）≥0．故得a≤﹣2或a=1．故选项为A3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，进而得到答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，若输出结果为2，则|x|=2，则x=2或x=﹣2，故选：C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C5．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选D．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D7．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．【解答】解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）①，得x2+x1=﹣②，且（，）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m ③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m ④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故选A．8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．【解答】解：=，即为3ccosA=acosC，即有3c•=a•，即有a2﹣c2=b2，又a2﹣c2=2b，则2b=b2，解得b=4．故选A．11．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ，可得a n +1﹣a n =1+n ，利用“累加求和”可得a n ，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ， ∴a n +1﹣a n =1+n ，∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =n +（n ﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A ．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x ∈R ，x 2+2mx +m ≤0”是假，则实数m 的取值范围是 （0，1） ． 【考点】的真假判断与应用．【分析】本题先利用原是假，则的否定是真，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论． 【解答】解：∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”，∴“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”． ∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”是假， ∴“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”是真．∴方程x 2+2mx +m=0的判别式：△=4m 2﹣4m ＜0． ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．14．双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为，所以AF 1与BF 1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF 1B是以AB 为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a 、b 、c 的等式，化简整理为关于离心率e 的方程，解之即得该双曲线的离心率．【解答】解：根据题意，得右焦点F 2的坐标为（c ，0）联解x=c 与，得A （c ，），B （c ，﹣）∵∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0解之得：e=（舍负）故答案为：15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是①④⑤（填上所有正确的序号）．【考点】的真假判断与应用；轨迹方程．【分析】利用平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），可得•=m，对选项进行分析，即可得出结论．【解答】解：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m （m≥4），∴•=m①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；③曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，故不正确；④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．积为2S△MNG故答案为：①④⑤．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数．（2）欲求事件“|m﹣n|＞10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|＞10”中包含的基本事件的个数m；最后算出事件A的概率，即P（A）=．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，m n506090100事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种∴．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求椭圆方程为．…（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得=0，再由点P（，）在椭圆上，联立可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出A，B中点坐标，得到M坐标，把M坐标代入椭圆方程，可得m与k的关系，把|OM|化为含有k的代数式，结合已知k的范围求得|OM|的取值范围．【解答】解：（1）A（0，b）．∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，∴=（c﹣，﹣）•（c，﹣b）=c（c﹣）+=0．把点P（，）代入椭圆C： +=1，得，解得a2=4，∴b2+c2=4，可得b2=4﹣c2，代入c（c﹣）+，解得c=，b=．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0．△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=32k2﹣8m2+16＞0，即4k2﹣m2+2＞0 ①．，∴=．∴AB中点G（），则M（），∵M在椭圆上，∴，整理得：．把代入①得，恒成立．∴|OM|====．∵|k|≤，∴1≤2k2+1≤2，则，∴|OM|的取值范围为．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）（i）确定，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，，令，所以…又点B在椭圆的第一象限上，所以，∴…∴，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为…（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为…所以原点O到直线MN的距离=，…所以直线MN始终与圆相切．…2016年10月18日。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期末考试+数学(理)创新班附加题(答案)
附加题：（共20分）1.（4分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）.A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种 解析：只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.2.（4分）当1,<∈x R x 时，有如下表达式：xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112，两边同时积分得： 11111222222011d d d d d 1nx x x x x x x x x+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰， 从而得到如下等式：23111111111ln 2.2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：原式3.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.9810.04 10.269.9110.13 10.02 9.2210.04 10.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=. X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈.。
2017-2018学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
2017年下学期期末质量检测参考答案高二数学（理科）一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷对应题号的横线上）11.2- 12.5 13.30 14.2115.46三、解答题:（本大题共6小题，满分50分） 16.(本小题10分)解：（1）n n a a 211=+ ，且13=a ，01≠∴a ，∴数列{n a }是公比为31的等比数列，1)31(213=⋅=a a ，91=∴a ，31)31()31(9--=⨯=n n n a …………………………5分（2）由（1）知n b n -=3，11-=-+n n b b ，又21=b ，∴数列}{n b 是首项为2，公差为1-的等差数列，252)32(2nn n n S n +-=-+=…………………………………………………………10分17.(本小题10分)解：（1）当1-=a 时，原不等式化为012>-+x x ，解得251--<x 或251+->x ∴不等式的解集为|{x 251--<x 或251+->x }………………………4分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCBDCDDDAD（2）由已知得：对),1(+∞∈∀x ，12-<x x a 恒成立令1)(2-=x x x f （)1>x ， 4211111)1(2)1)(2≥+-+-=-+-+-=x x x x x x f （ 当且权当2=x 时取等号， 故4<a ……………………………………………10分18.(本小题10分)解：（1） bc a c b 3)22-=-（,即bc a c b -=-+222在ABC ∆中，由余弦定理得212cos 222-=-+=bc a c b A 又π<<A 0，32π=∴A ……………………………………………………5分 （2）在ABC ∆中，由正弦定理得A aB b sin sin =，即32sin3sin 1π=B，21sin =∴B ， 又20π<<B ，6π=∴B ，6π=∴C ，6sin 1321π⨯⨯⨯=∆ABC S 43=…………10分19.(本小题10分)解：（1）证明： AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AC AA ⊥∴1，又AB AA ⊥1，A AB AC = ，⊥∴1AA 平面ABC ， ∴AA 1⊥BC ………………………4分（2）在ABC ∆中，有222BC AC AB =+，AC AB ⊥∴分别以1,,AA AC AB 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 )0,0,3(),4,4,0(),4,0,0(11B C A ，)4,0,3(),0,4,0(111-==B A C A ， 设平面11BC A 的法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨⎧=-=04304111z x y ，yzx。
湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=（）x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7A . 3.25B . 2.6C . 2.2D . 02. （2分）(2018·郑州模拟) 下列说法正确的是（）A . “若，则”的否命题是“若，则”B . “若，则”的逆命题为真命题C . ，使成立D . “若，则”是真命题3. （2分）设一随机试验的结果只有A和，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D（ξ）等于（）A . mB . 2m（1－m）C . m（m－1）D . m（1－m）4. （2分） (2017高二下·集宁期末) 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A . 72B . 120C . 144D . 1685. （2分） (2016高二上·鞍山期中) 经过两点（x1 ， y1），（x2 ， y2）的直线方程都可以表示为（）A . =B . =C . （y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）D . y﹣y1=6. （2分）点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·东丰期末) 圆A :与圆B :的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 内含8. （2分） (2015高二下·椒江期中) （2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项是（）A . ﹣11B . ﹣10C . 1D . ﹣99. （2分）已知为两条不同直线,为两个不同平面,给出下列命题:①②③④其中的正确命题序号（）A . ③④B . ②③C . ①②D . ①②③④10. （2分）投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·浙江) 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）A . D（ξ）减小B . D（ξ）增大C . D（ξ）先减小后增大D . D（ξ）先增大后减小12. （2分） (2017高二下·寿光期中) 高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A . 132B . 180C . 240D . 600二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（105，102），已知p（95≤X≤105）=0.34，估计该班学生数学成绩在115分以上的有________ 人．14. （1分） (2017高二下·湖北期中) 已知P（A）= ，P（AB）= ，则P（B|A）=________．15. （1分） (2016高二上·临川期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x= 时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为________．16. （1分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为________三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·遵义期末) 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费xi和年利润yi（i=1，2，3，4，5）进行了统计，列出了下表：x（单位：千元）2471730y（单位：万元）12345员工小王和小李分别提供了不同的方案．（1）小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程： =1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R2=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据（yi﹣ i）2=1.15）参考公式：相关指数R2=1﹣回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = ﹣ x，参考数据：ln40=3.688， =538．18. （5分）(2019高二上·阜阳月考) 设关于的不等式的解集为，，若是的必要条件，求的取值范围．19. （5分）(2017·绵阳模拟) 已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．20. （10分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望．21. （15分）已知等差数列{an}的公差为d，a3=5，且（a1x+d）5的展开式中x2与x3的系数之比为2：1．（1）求（a1x﹣a2）6的展开式中二项式系数最大的项；（2）设[a1x2﹣（a3﹣a1）x+a3]n=b0+b1（x﹣2）+b2（x﹣2）2+…+b2n（x﹣2）2n，n∈N*，求a1b1+a2b2+…+a2nb2n 的值；（3）当n≥2时，求证：＞11×16n+8n4．22. （15分）(2016·湖南模拟) 某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版 含解析
2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆命题是 A. 若a b >，则a c b c +≤+ B. 若a c b c +≤+，则a b ≤ C. 若a c b c +>+，则a b > D. 若a b ≤，则a c b c +≤+ 【答案】C【解析】试题分析：“若则”的逆命题是“若则”，所以原命题的逆命题是“若，则”，故选C.【考点】四种命题2．抛物线24x y =的准线方程是（ ）．A. 1y =B. 1y =-C. 1x =-D. 1x = 【答案】B【解析】 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B3．双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是 A. 169y x =±B. 169x y =±C. 43y x =±D. 43x y =± 【答案】C【解析】由题意得，双曲线的标准方程为221169y x -=，令220169y x -=得43y x =±，即双曲线的渐近线方程为43y x =±。
选C 。
4．已知向量()1,a m =， (),1b m = ，则“1m =”是“//a b ”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件得2//1a b m ⇔= ，解得1m =±。
因此由“1m =”可得“//a b ”，反之不成立。
故“1m =”是“//a b”成立的充分不必要条件。
选A 。
5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是 A. 22134x y += B. 2214x += C. 22142x y += D. 22143x y += 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为22143x y +=. 【考点】椭圆的标准方程.6．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 ( )A.B. C.D. 56【答案】C【解析】由已知得6m =±，当6m =,则圆锥曲线是椭圆， 1,a b c ===心c e a ==；当6m =-时则是双曲线， 1,a b c =a=1，离心率ce a==故选C. 7．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，- B ．[]-1，0 C ．[]0，1 D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】试题分析：曲线C 在点P 处切线斜率[]tan tan 0,tan 0,14k πθ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦，不妨设()00,P x y ，则[]00220,1x x k y x ='==+∈，因此011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【考点】导数的几何意义；8．命题p ：“x R ∃∈”，使20x<，命题q ：“2a >， 2b >是4ab >成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ∧C. p q ∨D. p q ⌝∨ 【答案】B【解析】对,20x x R ∀∈>恒成立,所以命题p 是假命题.由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q 为真命题.所以B 选项错.选B. 9．函数sin cos y x x x =+的图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】∵()()sin()cos()sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=， ∴函数()f x 为偶函数。
湖南省衡阳市第八中学2018学年高二上学期期末考试数学理试题 bybao
衡阳市八中2018年下学期期末考试高二数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数31i i-（i 是虚数单位）的虚部是 A. 32i B. 32 C. 32i - D.32- 2.设a R ∈，则“1a >”是“11a <”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3.由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为 A. 116 B. 92 C. 1ln 32+ D.4ln3-4.若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D.y x = PD5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为的中点，若,,PA a PB b PC c ===，则BE = A.111222a b c -+ B. 111222a b c --C. 131222a b c -+D. 113222a b c -+ 6.已知()1111231f n n n n =++++++，则()()1f k f k +-等于A. ()1311k ++B. 132k + C.11113233341k k k k ++-+++- D.11341k k -+-7.执行下图所示的程序框图，则输出a 的值为A. 3-B. 13C. 12- D. 2 8.已知函数()x x f x e e -=+，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为32，则该切点的横坐标等于A. ln 2B. 2ln 2C. 29.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 是正方形，四边形是矩形，且1,2AF AD a G ==是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为A. 63 C. 3 D. 310.已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A. ()()()f b f c f d >>B. ()()()f b f a f e >>C. ()()()f c f b f a >>D. ()()()f c f e f d >>11.已知函数()()2ln x f x e x x m ⎡⎤=+-⎣⎦，若对于()()()0,,0x f x f x '∀∈+∞->成立，则实数m 的取值范围是A.(-∞B. (,-∞C. (D.(-12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限内的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A. ()1,+∞B. 4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共64分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则:p ⌝ .14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB = .15.已知0x >，观察下列式子： 23414272562,3,4,5,x x x x x x x x+≥+≥+≥+≥类比有20162017,a x x +≥a = . 16.已知,a R ∈若()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上只有一个极值点，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分8分）已知命题2:8200p k k --≤，命题:q 方程22141x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数k 的取值范围.18.（本题满分8分）已知函数()()2x f x e x x a =++在()()0,0f 处的切线与直线230x y --=平行，其中.a R ∈（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.19.（本题满分9分）如图，四棱锥P A B C D -的底面是直角梯形，//,,AB CD AB AD PAB ⊥∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4,DC O =为BD 的中点，E 为PA 的中点.（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求面PAD 与面PBC 所成角的大小.20.（本题满分9分）在平面直角坐标系xoy 中，动点M 到点()1,0F 的距离与它到直线2x =的距离之比为2. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线()0y kx m m =+≠与曲线E 交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于,C D 两点（且,C D 在,A B 之间或同时在,A B 之外）.问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.21.（本题满分10分）已知函数()ln .f x x x =（1）不等式()12f x kx >-对于任意正实数x 均成立，求实数k 的取值范围； （2）是否存在整数m ，使得对于任意正实数x ，不等式()()x f x m f m e +<恒成立？若存在，求出最小的整数m ，若不存在，说明理由.22.（本题满分8分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（,R αα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线1C 上一点，求PQ 的最小值.。
2017-2018年湖南省衡阳八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）已知命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．3004．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.455．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．6．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）7．（5分）设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）=（）A．1B．2C．D．48．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞）9．（5分）曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．510．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.411．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个12．（5分）已知在椭圆方程+=1（a＞b＞0）中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为．14．（5分）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是．15．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为．16．（5分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x，若对所有x≥0都有f（x）≥ax，则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．18．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为．（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求Eξ及Dξ．20．（12分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．21．（12分）函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，且f'（1）=0，其中a，m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．22．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足；曲线C上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2，BF2分别与C2相交于点C，D 和E，F．求的取值范围．四、附加题：（共20分）23．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种24．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．2．（5分）已知命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，￢q：x=1且y=2，￢p：x+y=3，∴￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=，y=．因此命题p是q的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．4．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．5．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．，n＞1）时，第一【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+步应验证不等式为：；故选：B．6．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）【解答】解：抛物线y=﹣4x2可化为∵2p=，∴∴抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是故选：C．7．（5分）设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）=（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵随机变量ξ：N（2，2），∴δ2=2，则D（ξ）=δ2=2，∴D（ξ）=×D（ξ）=．故选：C．8．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＞0，其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＞0，则g′（x）≥0，则函数g（x）在区间（0，∞）上为增函数，（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0⇒（x﹣2016）2f（x﹣2016）＞22f（2）⇒g（x﹣2016）＞g（2），又由函数g（x）在区间（0，∞）上为增函数，则有x﹣2016＞2，解可得：x＞2018，即不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（2018，+∞）；故选：D．9．（5分）曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．5【解答】解先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为﹣2曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为：S=∫﹣21（2﹣x﹣x2）dx而∫﹣21（2﹣x﹣x2）dx=（2x﹣﹣）|﹣21=∴曲边梯形的面积是故选：C．10．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．11．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个【解答】解：根据题意，分个位是0和个位不是0两类情形讨论；①个位是0时，比20000大的五位偶数有1×4×A43=96个；②个位不是0时，比20000大的五位偶数有2×3×A43=144个；故共有96+144=240个；故选：B．12．（5分）已知在椭圆方程+=1（a＞b＞0）中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：e=∈（，1），，﹣，，本题可视为二维几何概型，由于且a＞b＞0，满足b且椭圆的离心率在（，1）之内的概率为p==．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；，右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．14．（5分）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是180．【解答】解：∵（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．==2r，∴的通项公式为：T r+1令=0，解得r=2．∴展开式的常数项==180．故答案为：180．15．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的实轴长是10，即2a=10，则a=5，又由双曲线的焦点在x轴上且b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．16．（5分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x，若对所有x≥0都有f（x）≥ax，则实数a 的取值范围为（﹣∞，2] ．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥ax；（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为x1=ln，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），（1，5，2]，[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由1﹣（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30．（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：300000×0.12=36000．（3）设中位数为x吨．∵前5组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，∴2≤x≤2.5．由0.50×（x﹣2）=0.5﹣0.48，解得x=2.04．故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．18．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．19．（12分）某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为．（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求Eξ及Dξ．【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙能过关的事件分别为A、B，则P（A）==，P（B）=×+=．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：E（ξ）=0.2+1.2+0.6=2，D（ξ）=（1﹣2）2×=．20．（12分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（，，0），D（0，，0），E（，，1），F（0，0，1）．…（1分）（1）设平面CDE的法向量为，平面BDE的法向量，…（2分）由解得．…（4分）∴，…（6分）∴二面角B﹣DE﹣C等于60°．…（7分）（2），…（8分），…（10分）．可得．设点到平面BDF的距离为h，则h=|EF||cos|=2×．…（12分）∴．所以点F到平面BDE的距离为．…（14分）21．（12分）函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，且f'（1）=0，其中a，m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，其导数f'（x）=x﹣（a+m）+．由f'（1）=0得1﹣（a+m）+a=0，解得m=1．（2）由（1）得，f'（x）=x﹣（a+1）+==（x＞0）．当a＞1时，由f'（x）＞0，得x＞a或0＜x＜1，此时f（x）的单调递增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，由f'（x）＞0，得x＞1或0＜x＜a，此时f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＞1，此时f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．综上，当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．22．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足；曲线C上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2，BF2分别与C2相交于点C，D 和E，F．求的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有，∴C1的方程为，设N（x，y）（x＞0），则有，化简得y2=4x（x＞0），即C2的方程为y2=4x（x＞0）．（2）设直线l的方程为x=ky﹣1（0≤k2＜1），联立方程组，消去x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，设AF2，BF2的斜率分别为k1，k2，则有，∴，，直线AF2的方程为y=k1（x﹣1），代入y2=4x有，设C（x3，y3），D（x4，y4），则有，∴，同理．∴，∴．四、附加题：（共20分）23．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．24．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：．25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．。
湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·宜春期末) 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若=λ +μ ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A . [1， ]B . [ ，2 ]C . [2，2 ]D . [1，2 ]2. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若平面α与平面β的法向量分别是 =（4，0，﹣2），与 =（1，0，2），则平面α与平面β的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交不垂直D . 无法判定3. （2分） (2015高二上·仙游期末) “x＞1”是“ ＜1”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知，，且，则（）A .B .C .D . x=1，y=﹣15. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知双曲线与椭圆 + =1共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是（）A . ﹣ =1B . ﹣ =1C . ﹣ =1D . ﹣ =16. （2分） (2015高二上·仙游期末) 双曲线﹣ =1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A .B . 2C . 3D . 67. （2分） (2015高二上·仙游期末) 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·仙游期末) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若曲线y=e2x的一条切线l与直线x+2y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A . y= x+1B . y=﹣2x+1C . y=2x﹣1D . y=2x+110. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知命题p：x2﹣4x+3＜0与q：x2﹣6x+8＜0；若“p且q”是不等式2x2﹣9x+a＜0成立的充分条件，则实数a的取值范围是（）A . （9，+∞）B . {0}C . （﹣∞，9]D . （0，9]11. （2分） (2015高二上·仙游期末) 在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，则切点A的坐标为（）A . （1，1）B . （2，4）C . （，2）D . （，）12. （2分） (2015高二上·仙游期末) 如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则b的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣3，1）D . （1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·徐水模拟) 不等式组表示的平面区域为Ω，直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为________．14. （1分） (2015高二上·仙游期末) 命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为________．15. （1分） (2015高二上·仙游期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于________．16. （1分） (2015高二上·仙游期末) 已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1 ，到直线x﹣2y+4=0的距离为d2 ，则d1+d2的最小值是________．三、解答题． (共6题；共75分)17. （10分）(2020·漳州模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线交于、两点，且点，求的值.18. （10分） (2017高二下·河北期末) 已知函数（1）求证：；（2）若方程有解，求的取值范围.19. （10分）(2020·成都模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.20. （15分） (2015高二上·仙游期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3） AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．21. （15分） (2015高二上·仙游期末) 椭圆中心是原点O，它的短轴长为，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q 两点．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．22. （15分） (2015高二上·仙游期末) 函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）= v，g（x）=f（x）+af′（x）．（1）若a＜0，试判断g（x）在定义域内的单调性；（2）若g（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；（3）证明：当a≥1时，g（x）＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共6题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
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2017年下学期衡阳市八中高二期末考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数()32z i i =-的共轭复数z 等于（ ）
A. 23i -+
B. 23i --
C. 23i +
D. 23i -
2.命题:3p x y +≠，命题:1q x ≠或2y ≠，则命题p 是命题q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为
A. 90
B. 100
C. 180
D. 300
4.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45 5.用数学归纳法证明11112321
n n +++⋅⋅⋅+<-（*n N ∈，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A. 1122+< B. 111223++< C. 111323++< D. 11113234
+++< 6.抛物线24y x =-的焦点坐标是（ ）
A. ()0,1-
B. ()1,0-
C. 10,16⎛
⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭
7.设随机变量()2,2N ξ~，则12D ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）
A. 1
B. 2
C.
12 D. 4 8.设函数()f x 是定义在()0+∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()2
2f x xf x x '+>，则不等式()()()220162016420x f x f --->的解集为（ ）
A . ()2014+∞，
B. ()0,2014
C. ()0,2018
D. ()2018+∞， 9.曲线2y x =与直线2x y +=围成的图形的面积为( ) A. 72
B. 4
C. 92
D. 5
10.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
A. $0.4 2.3y x =+
B. $2 2.4y x =-
C. $29.5y x =-+
D. $0.3 4.4y x =-+ 11.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A. 288个
B. 240个
C. 144个
D. 126个
12.已知在椭圆方程()22
2210x y a b a b
+=>>中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >
，则椭圆的离心率在⎫⎪⎪⎝⎭
之内的概率为（ ） A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式为．
14.
若22)n x
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．
15.若双曲线2
21
x
y
m
-=的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为__________．
16.设函数()x x
f x e e-
=-，若对所有0
x≥都有()
f x ax
≥，则实数a
的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]
L分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数. 18.已知函数()e cos x f x x x=-．（Ⅰ）求曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x在区间π[0,]2上的最大值和最小值．19.某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独
立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
2
3
.
（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求Eξ及Dξ．20.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，2
AB=，1
AF=．
（1）求二面角B DE C --的大小； （2）求点F 到平面BDE 的距离. 21.已知函数()()21ln 2
f x x a m x a x =
-++，且()10f '=，其中R a m ∈、. （1）求m 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间．
22.已知()()121
,0,1,0F F -，
曲线1C 上任意一点M 满足21MF MF -=曲线2C 上的点N 在y 轴的右边且N 到2F 的距离与它到y 轴的距离的差为1．
（1）求12,C C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与1C 相交于点,A B ，直线22,AF BF 分别与2C 相交于点,C D 和,E F ．的取值范围．。