连续值布尔代数

连续值布尔代数1，影响连续值逻辑运算模型的诸因素一般性讲，二值命题是由对分明概念进行确定性判断形成的，它的真值可以通过概念直方图直接确定，利用论域U上的集合运算就可以得出布尔逻辑代数的各种运算模型（见图8）。

图8 二值命题是对分明概念进行的确定性判断形成连续值命题的情况比较复杂，它可能是对分明概念进行的模糊（概率）性判断，也可能是对模糊概念进行的确定性判断，还可能是对模糊概念进行的模糊（概率）性判断。

图9表示的是对模糊概念进行的确定性判断，在这种情况下，要确定论域U中某元素u属于模糊集合A的程度x，首先需要在特征空间E中确定与元素u对应的分明集合X，E上的模糊测度x=m(X) 是连续值命题的真度。

显然，m(E)=1, m( )=0，一般情况下m(X)是[0, 1]中的实数。

从图9可以看出，利用特征空间E上的集合运算可以得出连续值逻辑代数的各种运算模型。

这与二值命题的情况有些相似，不同的是一个直接在论域U中进行，由于集合之间的相对位置已经给定，逻辑运算模型不会变化；另一个是间接在特征空间E中进行，集合之间的相对位置并未确定，逻辑运算模型将随相对位置及其他因素而变化。

认识到这一点是研究连续值逻辑代数的关键。

图9 对模糊概念进行的确定性判断在特征空间E中影响集合X的大小、相对位置和模糊测度性质的因素有：1）命题真值的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使命题为真的因素和使命题为假的因素之间的矛盾，可从完全的真，半真半假到完全的假连续地变化。

命题的真度用柔性参数x∈[0, 1]表示，如x ＝1表示命题完全为真，x＝0.75表示命题偏真，x＝0.5表示命题为半真半假，x＝0.25表示命题偏假，x＝0表示命题完全为假（图10）。

图10 真度反映了由真/假之间矛盾引起的不确定性真度变化对逻辑运算结果的影响全部反映在如下的逻辑运算模型中，它们是关于真度的调整函数，以后特称为基模型（图11，下面再详细讨论）。

非运算N(x)＝1－x与运算T(x, y)＝max(0, x＋y－1)或运算S(x, y)＝N(T(N(x), N(y)))＝min(1, x＋y)蕴涵运算I(x, y)＝max(z|y≥T(x, z))＝min(1, 1－x＋y)等价运算Q(x, y)＝T(I(x, y), I(y, x))＝1－|x－y|平均运算M(x, y)＝N(S(N(x)/2, N(y)/2))＝(x＋y)/2组合运算C e(x, y)＝ite{min(e, max(0, x＋y－e))|x＋y＜2e;N(min(N(e),max(0, N(x)＋N(y)－N(e))))|x＋y＞2e; e}＝min(1, max(0, x＋y－e))其中e∈[0, 1]是表示弃权的幺元，ite{y|x; z}是条件表达式，意思是“如果x，则y；否则z”。

图11 连续值逻辑运算的基模型(其中e=0.5)2）两命题之间广义相关关系的不确定性，它决定（受制）于特征空间中使双方友好的因素和使双方敌对的因素之间的矛盾，可以从完全友好状态、偏友好状态、不敌不友状态、偏敌对状态到完全敌对状态连续地变化（见图12）。

两个命题之间广义相关关系的不确定性用广义相关系数h∈[0, 1]来刻画，其中：图12 两命题间广义相关关系的不确定性h＝1表示双方处在完全友好状态。

它在特征空间E中表现为集合X和集合Y是完全包含关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相吸关系，相互的吸引力最大，排斥力最小；h＝0.75表示双方处在偏友好状态。

它是居中的朋友关系，在特征空间E中，表现为集合X和集合Y 是成比例的相交关系（交集的面积和两个因子集的面积成正比），用概率论的术语说是两个集合中的元素具有独立相关关系，相互的吸引力和排斥力相等；h＝0.5表示双方处在不敌不友的中性状态。

从朋友关系的角度看，中性状态在特征空间E中表现为集合X和集合Y尽可能不相交的关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相斥关系，相互的吸引力最小，排斥力最大。

从敌对关系的角度看，中性状态是最弱的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力最强，杀伤力最弱，叫最小相克关系；h＝0.25表示双方处在偏敌对状态。

它是居中的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力和杀伤力相等，叫僵持关系；h＝0表示双方处在完全敌对状态。

它是最强的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力最弱，杀伤力最强，叫最大相克关系。

广义相关系数h对逻辑运算模型的影响全部反映在T性生成元完整簇F(x, h)＝x m, m∈(－∞, ∞)上，其中：m＝(3－4h)/(4h(1－h))。

当m→－∞时，F(x, 1)＝ite{1|x＝1; ±∞}; 当m→0－时，F(x, 0.75－)＝1＋log x; 当m→0＋时，F(x, 0.75＋)＝ite{0|x＝0; 1}; 当m＝1时，F(x, 0.5)＝x; 当m→∞时，F(x, 0)＝ite{1|x＝1; 0}。

F(x, h)对二元运算基模型L(x, y)的影响是L(x, y, h)＝F－1(L(F(x, h), F(y, h)), h)3）命题真度误差的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使测度出现正误差的因素和使测度出现负误差的因素之间的矛盾，可以从最大正误差状态、无误差状态到最大负误差状态连续地变化。

误差状态的不确定性用误差系数k∈[0, 1]来刻画，其中k＝1表示最大正误差状态，k＝0.5表示无误差状态，k＝0表示最大负误差状态。

真度误差状态的不确定性对柔性命题逻辑运算模型的影响完全反映在N性生成元完整簇Φ(x, k)＝x n，n∈(0, ∞)上，其中n＝－1/log2k。

当n→0时，Φ(x, 0)＝ite{0|x＝0; 1}; 当n＝1时，Φ(x, 0.5)＝x; 当n→∞时，Φ(x, 1)＝ite{1|x＝1; 0}。

Φ(x, k)对一元运算基模型N(x)的作用方式是N(x, k)＝Φ－1(N(Φ(x, k)), k)它对二元运算基模型L(x, y)的作用方式是L(x, y, k)＝Φ－1(L(Φ(x, k), Φ( y, k)), k)4）命题相对权重的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使命题权重相对增加的因素和使命题权重相对减少的因素之间的矛盾，可以从最大相对权重状态、平等权重状态到最小相对权重状态连续地变化。

命题相对权重的不确定性用偏袒系数β∈[0, 1]来刻画，其中β＝1表示最大偏左状态，β＝0.5表示无偏袒状态，β＝0表示最小偏左状态。

偏袒系数β对柔性命题逻辑运算模型的影响完全反映在二元运算模型上[10]，当β＝1时，y失去作用；当β＝0.5时，x, y平等起作用；当β＝0时，x失去作用。

β对二元运算基模型L(x, y)的作用方式是L(x, y, β)＝L(2βx, 2(1－β)y)k, h, β三个不确定参数及其调整函数如图13所表。

图13 k, h, β三个不确定参数及其调整函数k, h, β三者对二元运算模型L(x, y)共同的影响方式是L(x, y, k, h, β)＝Φ－1(F－1(L(2β F(Φ(x, k), h), 2(1－β) F(Φ(y, k), h), h), k) 目前我们尚未发现第5种影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素，已知的其他不确定性因素，如论域特性的不均匀性、信息的不完整性和动态性，应该在谓词逻辑层面去解决。

根据上述关于影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素的分析，搞清楚了有关辩证矛盾是如何决定不确定性的最大影响范围和影响方式，得到了它的调整函数，可以依据三角范数原理和逻辑运算公理，得到连续值逻辑代数中的各种运算模型。

2，非运算公理及模型1）非运算模型N(x)是[0, 1]→[0, 1]的一元运算，它必须满足以下的非运算公理：x∈[0, 1]边界条件N1 N(0)＝1, N(1)＝0单调性N2 N(x)单调减, iff ∀x, y∈[0, 1], 若x＜y, 则N(x)≥N(y)逆等性N3 N(x)有逆等性, iff ∀x∈[0, 1], N(x)＝N－１(x), N－１(x)是N(x)的逆2）N3＝ite{0|x＝1; 1}是最大非算子，N0＝ite{1|x＝0; 0}是最小非算子，N1＝1－x是中心非算子。

非运算模型只受误差系数k的影响，是一个N范数完整簇N(x, k), 它由生成基N(x)＝1－x和N性生成元完整簇Φ(x, k)＝x n, k＝2-1/n n, n＝－1/log2k相互作用而生成N(x, k)＝Φ-1(1－Φ(x, k), k)＝(1－x n)1/n其中参数k是N(x, k)的不动点, 也是非运算中的阈元, 最大非算子是N3＝N(x, 1), 中心非算子是N1＝N(x, 0.5), 最小非算子是N0＝N(x, 0)（见图14）。

图14 非运算模型完整簇及其生成元完整簇3，与运算公理及模型1) 与运算模型T(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的与运算公理: x, y, z∈[0, 1]边界条件T1 T(0, y)＝0, T(1, y)＝y单调性T2 T(x, y)关于x, y单调增结合律T3T(T(x, y), z)＝T(x, T(y, z))上界性T4 T(x, y)≤min(x, y)2）与运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇T(x, y, k, h, β)＝(max(0, 2βx nm＋2(1－β)y nm－1))1/mn其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失，T(x, y, k, h)＝(max(0, x nm＋y nm－1))1/mn其中当k＝0.5时，误差的影响消失，T(x, y, h)＝(max(0, x m＋y m－1))1/mT(x, y, h)有四个特殊算子（见图15）:Zadeh与算子T(x, y, 1)＝T3＝min(x, y)概率与算子T(x, y, 0.75)＝T２＝xy有界与算子T(x, y, 0.5)＝T1＝max(0, x＋y－1)突变与算子T(x, y, 0)＝T0＝ite{min(x, y)|max(x, y)＝1; 0}图15 特殊的h型与运算模型图4，或运算公理及模型1) 或运算模型S(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的或运算公理: x, y, z∈[0, 1] 边界条件S1 S(1, y)＝1, S(0, y)＝y单调性S2 S(x, y)关于x, y单调增结合律S3S(S(x, y), z)＝S(x, S(y, z))下界性S4 S(x, y)≥max(x, y)2）或运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇S(x, y, k, h, β)＝(1－(max(0, 2β(1－x n)m＋2(1－β)(1－y n)m－1))1/m)1/n其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失，S(x, y, k, h)＝(1－(max(0, (1－x n)m＋(1－y n)m－1))1/m)1/n 其中当k＝0.5时，误差的影响消失，S(x, y, h)＝(1－(max(0, (1－x)m＋(1－y)m－1))1/mS(x, y, h)有四个特殊算子（见图16）:Zadeh或算子S(x, y, 1)＝S3＝max(x, y)概率或算子S(x, y, 0.75)＝S２＝x＋y－xy有界或算子S(x, y, 0.5)＝S1＝min(1, x＋y)突变或算子S(x, y, 0)＝S0＝ite{max(x, y)|min(x, y)＝0;1}图16 特殊的h型或运算模型图在S(x, y, k, h)和T(x, y, k, h)之间存在对偶律N(S(x, y, k, h), k)＝T(N(x, k), N(y, k), k, h)N(T(x, y, k, h), k)＝S(N(x, k), N(y, k), k, h)当h∈[0.5, 1]时, S(x, y, h)和T(x, y, h)满足相容律S(x, y, h)＋T(x, y, h)＝x＋y5，蕴涵运算公理及模型1) 蕴涵运算模型I(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的蕴涵运算公理: x, y, z∈[0, 1] 边界条件I1I(0, y)＝1, I(1, y)＝y, I(x, 1)＝1单调性I2I(x, y)关于y单调增, 关于x单调减连续性I3 I(x, y)关于x, y连续保序性I4I(x, y, k, h)＝1, iff x≤y (除h＝0和k＝1外)推演性I5T(x, I(x, y))≤y (假言推论)2）蕴涵运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇I(x, y, k, h, β)＝(min(1, 1－2βx nm＋2(1－β)y nm))1/mn其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失，I(x, y, k, h)＝(min(1, 1－x nm＋y nm))1/mn其中当k＝0.5时，误差的影响消失，I(x, y, h)＝(min(1, 1－x m＋y m))1/mI(x, y, h)有四个特殊算子（见图17）:Zadeh蕴涵I(x, y, 1)＝I3＝ite{1|x≤y; y}概率蕴涵I(x, y, 0.75)＝I２＝min(1, y/x) (Goguen蕴涵)有界蕴涵I(x, y, 0.5)＝I1＝min(1, 1－x＋y) (Lukasiewicz蕴涵)突变蕴涵I(x, y, 0)＝I0＝ite{y|x＝1; 1}图17 特殊的h型蕴涵运算模型图6，等价运算公理及模型1) 等价运算模型Q(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的等价运算公理: x, y, z∈[0, 1] 边界条件Q1 Q(1, y)＝y, Q(x, 1)＝x单调性Q2 Q(x, y)关于|x－y|单调减连续性Q3Q(x, y)关于x, y连续保值性Q4Q(x, y)＝1, iff x＝y (除h＝0和k＝1外).2）等价运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇Q(x, y, k, h, β)＝ite{(1＋|2βx nm－2(1－β)y nm|)1/mn|m≤0; (1－|2βx nm－2(1－β)y nm|)1/mn}其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失，Q(x, y, k, h)＝ite{(1＋|x nm－y nm|)1/mn|m≤0; (1－|x nm－y nm|)1/mn}其中当k＝0.5时，误差的影响消失，Q(x, y, h)＝ite{(1＋|x m－y m|)1/m|m≤0; (1－|x m－y m|)1/m}Q(x, y, h)有四个特殊算子（见图18）:Zadeh等价Q(x,y,1)＝Q3＝ite{1|x＝y;min(x,y)}概率等价Q(x,y,0.75)＝Q２＝min(x/y,y/x) (I等价)有界等价Q(x,y,0.5)＝Q1＝1－|x－y| (S等价)突变等价Q(x,y,0)＝Q0＝ite{x|y＝1;y|x＝1;1}图18 特殊的h型等价运算模型图7，平均运算公理及模型1) 平均运算模型M(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的平均运算公理: x, y, z∈[0, 1] 边界条件M1min(x, y)≤M(x, y)≤max(x, y)单调性M2 M(x, y)关于x, y单调增连续性M3M(x, y)关于x, y连续幂等性M4M(x, x)＝x2）平均运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇M(x, y, k, h, β)＝(1－(β(1－x n) m＋(1－β)(1－y n) m)1/m)1/n其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失，M(x, y, k, h)＝(1－((1－x n) m＋(1－y n) m)1/m)1/n其中当k＝0.5时，误差的影响消失，M(x, y, h)＝1－( (1－x) m＋(1－y) m)1/mM(x, y, h)有四个特殊算子（见图19）:图19 特殊的h型平均运算模型图Zadeh平均M(x, y, 1)＝M3＝max(x, y)＝S3概率平均M(x, y, 0.75)＝M２＝1－((1－x)(1－y))1/2有界平均M(x, y, 0.5)＝M1＝(x＋y)/2 (算术平均)突变平均M(x, y, 0)＝M0＝min(x, y)＝T3其中还有一些常见的平均算子,如几何平均1－M(1－x, 1－y, 0.75)＝(xy)1/2调和平均1－M(1－x, 1－y, 0.866)＝2xy/(x＋y)8，组合运算公理及模型1) 组合运算模型C e(x, y)是[0, 1]2→[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的组合运算公理: x, y, z∈[0, 1]边界条件C1当x, y＜e时, C e(x,y)≤min(x, y); 当x, y＞e时, C e(x,y)≥max(x, y); 当x＋y＝2e时, C e(x, y)＝e; 否则, min(x, y)≤C e(x, y)≤max(x, y)单调性C2 C e(x, y)关于x, y单调增连续性C3C e(x, y)关于x, y连续幺元律C4C e(x, e)＝x2）组合运算模型可受k, h, β的联合影响，是一个运算模型完整簇C e(x, y, k, h, β)＝ite{min(e, (max(0, 2βx nm＋2(1－β)y nm－e nm))1/mn|2βx＋2(1－β)y＜2e; (1－(min(1－e n,(max(0, 2β(1－x n)m＋2(1－β)(1－y n)m－(1－e n)m))1/m))1/n)|2βx＋2(1－β)y＞2e; e} 其中当β＝0.5时，偏袒性的影响消失C e(x, y, k, h)＝ite{min(e, (max(0, x nm＋y nm－e nm))1/mn|x＋y＜2e; (1－(min(1－e n,(max(0, (1－x n)m＋(1－y n)m－(1－e n)m))1/m))1/n)| x＋y＞2e; e}其中当k＝0.5时，误差的影响消失C e(x, y, h)＝ite{min(e, (max(0, x m＋y m－e m))1/m|x＋y＜2e; (1－(min(1－e,(max(0, (1－x)m＋(1－y)m－(1－e)m))1/m)|x＋y＞2e; e}C e(x, y, h)有四个特殊算子（见图20）:Zadeh组合C e(x,y,1)＝C e3＝ite{min(x,y)|x＋y＜2e;max(x,y)|x＋y＞2e;e}概率组合C e(x,y,0.75)＝C e２＝ite{xy/e|x＋y＜2e;(x＋y－xy－e)/(1－e)|x＋y＞2e;e}有界组合C e(x,y,0.5)＝C e1＝Γ1[x＋y－e]突变组合C e(x,y,0)＝C e0＝ite{0|x,y＜e;1|x,y＞e;e}意义：在一个理论系统内部出现的逻辑矛盾，它往往揭露的是系统的理论缺陷，解决它可以推动该理论系统的完善；如果在一个理论系统外部出现了逻辑矛盾，它暴露的是这个理论的应用局限性，解决它往往可以推动该理论系统向更高级的阶段发展。