四川省成都外国语学校2015届高三10月月考 数学理

四川省成都外国语学校2015届高三10月月考 数学理试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ｉ卷一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卡上) 1．已知集合A={0)2)(1(|≥+-+x x x }，集合B 为整数集，则A B=（ ） A.}0,1{- B.}1,0{ C.}1,0,1,2{-- D.}2,1,0,1{-2．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ） A.向左平移21个单位长度 B.向右平移21个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 3．已知i i a 2)(2=-，其中i 是虚数单位，那么实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C.1-D.2- 4．若,0,0>>>>d c b a 则一定有（ ） A.d b c a > B.d b c a < C.c b d a < D.cbd a > 5．若3π-=x 是x a x sin cos +的对称轴，则x a x sin cos +的初相是（ ）A.6π-B.π67C.π65D.6π6．已知数列}{n a 的前n 项和)0(1≠-=a a S n n ，则数列}{n a （ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列7．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A.52 B.107C.54D.1098．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37， 则输入的整数i 的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 69．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义 A*B=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C 。

若A={1,2}B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C(S)=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 110．如图所示，等边△ABC 的边长为2，D 为AC 中点，且△ADE 也是等边三角形，在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，⋅的取值范围是（ ）A.]23,21[B.]21,31[C.)34,21( D.)35,41(第Ⅱ卷二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上） 11．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列}{n a 的公比为____________。

12．已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的取值范围是 。

13．已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 。

14．设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N=240，则N = 。

15．已知函数)(x f 的定义域为[5,1-]，部分对应值如下表：)(x f 的导函数)('x f y =命题：①函数)(x f 是周期函数；②函数)(x f 在[0,2]上是减 函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的 最大值是4；④当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；⑤函数a x f y -=)(的零点个数可能为0，1，2，3，4。

其中正确命题的序号是_____________（写出所有正确命题的序号）。

三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）16．（12分）已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，32,4,3,15231====b b a a 。

（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 中，n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和S n 。

17．（12分）已知向量)sin ,sin (cos ),cos 2,sin (cos x x x n x x x m --=+=。

（1）求x f ⋅=)(的最小正周期和单调减区间； （2）将函数)(x f y =的图象向右平移8π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若2,22)B (,0)2A (===b g f ，求a 的值。

18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE 是边长为6的正三角形。

（1）求证：平面DEC ⊥平面BDE ； （2）求二面角C —BE —D 的余弦值。

19．某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人。

（1）求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率； （2）记X 表示抽取3人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望。

20．（13分）已知数列}{n a 满足01>=a a ，前n 项和为S n ，S n =)1(1n a aa++。

（1）求证：}{n a 是等比数列； （2）记)(||1*N n a n a b n n n ∈=，当515=a 时是否存在正整数n ，都有bmb n ≤？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由。

21．（14分）设函数x a x x x f ln )(2+-=，其中0≠a 。

（1）若6-=a ，求)(x f 在[1,4]上的最值；（2）若)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围； （3）求证：不等式)(11ln *3N n nn n n ∈->+恒成立。

成都外国语学校高2015届10月月考数 学 试 卷 参 考 答 案出题人：张勇 审题人：于开选一、选择题。

11．3 12．)12,1(-- 13．1-=x y14．（理）4 （文）2115．②⑤ 16．（1）n n n b n a 2,== （2）S n =22)1(1+⋅-+n n17．（1）ππ=+=T x x f ),432sin(2)()](83,8[Z k k k ∈+-ππππ↘（2）A=4π，632,3B ,cos 2)(===a x x g π18．（1）BD ⊥CD ，BD ⊥DE ⇒BD ⊥面DEC （2）40130，取DE 中点F ，连接CF ，在△BOE 内作PF ⊥BE 交BE 于P ∠CPF 为二面角C —BE —D 的平面角，△EFP ∽△EBD ⇒PF=7133，CP=7101219．（理）（1）P(A)=1216110=C C （2815（文）49/16 20．（1）)1(1n n a a a S ++= )2)(1(111≥++=--n a aaS n n 相减得 )2(111≥⋅-=⇒-=+⋅--n a a a a a aaa n n n n n 故}{n a 是等比数列。

（2）)(0,0,0ln ,ln )1(,)1(*12211N k b k b a a na b a a k n n n n n n ∈<>∴<-=-=+-- 若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数 ).(ln )222)(22(*22222N k a a k ka kb b k k k ∈+-+-=-+ 当53222>+k k 即23>k 时，k k b b 222<+ 又2,24≥>k b b 时 >>>864b b b ∴存在m =4，满足题意。

21．解：（1）,612)('x x x f --=令23,20)('21-==⇒=x x x f （舍），)(x f 在[1,2]↓，[2,4]↑∴04ln 612)4(,0)1(,2ln 62)2()(min >-==-==f f f x f ∴)2ln 1(124ln 612)4()(max -=-==f x f（2）即0)('=x f 在),0(+∞ 有两不等根 即022=+-a x x 在),0(+∞有两不等实根 令a x x x g +-=22)(，则8100)0(0<<⇒⎩⎨⎧>>a g a （3）先证)1ln(32+<-x x x 恒成立，令nx 1=即证。