解三角形章节测试卷
解三角形测试
解三角形测试卷1.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定2.在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = ( )3．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=( )A.6πB.3πC.23πD.56π4．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于( )A.12π B.6π C.4π D.3π5.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C= （ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24256.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=( )(A)(B)(C)7.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()-4a b c +=，且060C =，则ab 的值为( )（A ）43(B) 3-238.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 9.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为( )A．3 B．6 C．3 D．610.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( )(A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (C)(0，3π] (D) [ 3π，π)12．如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)14.在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若05,8,60a c B ===,则b=_______15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.16.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 17.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =____. 18.在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =_______. 19.在ABC ∆中。
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。
高中数学总复习第04章检测A卷(解析版)
三角函数、解三角形 章节验收测试卷A 卷姓名班级准考证号1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A.25−B.45C.35-D.25【答案】A 【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP −==， 所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=−=， 3422cos 2555sin αα∴+=−⨯+=−，故选A.2．将函数()1223f x sin x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象上每一个点向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A.,,44k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦B.3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.2,,36k k k Z ππππ⎡⎤−−∈⎢⎥⎣⎦D.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意可知平移后的解析式：()1sin 223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()y g x =的单调递增区间：222232k x k πππππ−≤+≤+解得：5 1212k x k k Z ππππ−≤≤+∈3．若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．【解析】 因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.4．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】 由题可知所以由余弦定理所以，故选C.5．已知函数()222cos sin 2f x x x =−+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x −=+−+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max35422f x =+=，故选B. 6．已知4sin cos 3αα−=，则sin 2α=（ ）． A ．79−B ．29− C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα−−===−−.所以选A.7．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．8．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若＝，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为A ．4B ．2C ．3D ．【答案】A 【解析】 ∵在△ABC 中＝，∴，由正弦定理得，∴．又，∴，∵，∴．在△ABC 中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴△ABC 的面积.故选A ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 11．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2， 故选：D ．12．锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac −=，函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f B 的取值范围是（ ） A.1(,1)2 B.1(,1]2C.D.1(2【答案】A 【解析】22b a ac −=，22222cos b a c ac B a ac ∴=+−=+，2cos c a B a ∴=+，sin 2sin cos sin C A B A ∴=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A ∴=−=−，三角形ABC 为锐角三角形，A B A ∴=−，2B A ∴=，3C A π∴=−，∴022302202B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<−<⎨⎪⎪<<⎪⎩(3B π∴∈，)2π()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=cos 22sin cos cos(2)sin(2)34432x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−++=−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin(2)6x π−，所以()sin(2)6f B B π=−,因为252,23266B B πππππ<<∴<−<,所以1()12f B <<. 故选：A13．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3 【解析】0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点。
八年级数学上册试题 第十一章 三角形章节测试卷--人教版(含详解)
第十一章《三角形》章节测试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形2．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）A．B．C．D．3．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（ ）A．1根B．2根C．3根D．4根4．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（ ）A．以上都可以B．高C．中线D．角平分线5．长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）A．4B．5C．6D．116．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（ ）A．90°B．20°C．45°D．70°7．如图所示，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝（ ）A．30°B．150°C．120°D．60°8．如图，在△ABC中，AB＝2021，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）A．1B．2C．3D．49．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（ ）A．10B．11C．12D．1310．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）A．90°B．135°C．270°D．315°11．△ABC的两边是方程组{x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（ ）A．∠A+∠D﹣45°B．12（∠A+∠D）+45°C．180°-（∠A+∠D）D．12∠A+12∠D二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝20°，则∠1＝ °．14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝ ．15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠AFD的度数为 ．16．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝ ．三．解答题（共8小题，满分86分）17．已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？18．如图，∠ABC＝∠FEC＝∠ADC＝90°．（1）在△ABC中，BC边上的高是 ；（2）在△AEC中，AE边上的高是 ；（3）若AB＝2.4cm，CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．19．如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求（1）∠ACD的度数；（2）∠AEF的度数．20．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组{3x−y=55x+2y=23求此等腰三角形的周长．21．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由．22．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点O处．（1）∠AOD ∠BOC；（填“＞”“＜”“＝”）（2）若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；（3）在图2中，已知∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，当a6m b11与a n+1b2n﹣11是同类项时，求∠BOD的度数．23．问题1现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 ．24．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．答案一．选择题1．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．2．【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．3．【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．故选：B．4．【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．故选：C．5．【解答】解：8﹣3＜x＜8+3，5＜x＜11，只有选项C符合题意．故选：C．6．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠BAD+∠B＝90°，∴∠DAC＝∠B＝20°，故选：B．7．【解答】解：∵∠1＝∠2＝150°，∴∠ABC＝∠BAC＝180°﹣150°＝30°，∴∠3＝∠ABC+∠BAC＝60°．故选：D．8．【解答】解：∵AD为中线，∴DB＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2021﹣2018＝3，故选：C．9．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是12边形．故选：C．10．【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．11．【解答】解：方程组{x+2y=104x+3y=20的解为：{x=2 y=4，∵△ABC的两边是方程组{x+2y=104x+3y=20的解，第三边长为奇数，∴2＜第三边长＜6，1∴第三边长可以为：3，5．∴这样的三角形有2个．故选：B．12．【解答】解：∵四边形的内角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴2∠EBC＝∠ABC，2∠ECB＝∠BCD，∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠BCD)=12×[360°−(∠A+∠D)]，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°−12×[360°−(∠A+∠D)]=12(∠A+∠D)，故选：D．二．填空题13．【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠1＝∠ABC﹣∠D＝50°﹣20°＝50°．故答案为：50．14．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，故答案为60°．15．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠CAD＝40°，∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，∴∠AFD＝110°﹣40°＝70°，故答案为：70°．16．【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，∴AD＝DB，AF＝CF，∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，∴设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝四边形ADGF的面积，∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1，∴四边形ADGF的面积=23×12×6=2，∴S1+S2＝2，故答案为：2三．解答题17．解：设这个多边形为n边形，n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，n边形的外角和为：360°，根据题意得：（n﹣2）×180°＝3×360°，解得：n＝8，答：这个多边形是八边形．18．解：（1）在△ABC中，BC边上的高是线段AB；故答案为线段AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是线段CD；故答案为线段CD；（3）∵S△AEC=12×AE×CD=12×CE×AB，∴CE=AE⋅CDAB= 2.5（cm）．19．解：（1）∵DF⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠D＝48°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝83°；（2）∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AEF＝90°﹣∠A＝55°．20．解：解方程组组{3x−y=55x+2y=23得{x=3 y=4，所以，等腰三角形的两边长为3，4．若腰长为3，底边长为4，由3+3＝6＞4知，三角形的周长为10．若腰长为4，底边长为3，则三角形的周长为11．所以，这个等腰三角形的周长为10或11．21．解：延长CD交AB于点E，∵∠BEC是△ACE的一个外角，∴∠BEC＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，同理，∠BDC＝∠BEC+∠B＝111°+32°＝143°，而检验工人量得∠BDC＝149°，所以零件不合格．22．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC．故答案为：＝；（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．故∠AOC和∠BOD在数量上的关系为：∠AOC+∠BOD＝180°；（3）∵a6m b11与a n+1b2n﹣11是同类项，∴{6m=n+111=2n−11，解得{m=2n=11，∵∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，11﹣2＝9，∴∠BOC＝90°×2=20°，11−2∴∠BOD＝90°﹣20°＝70°．故∠BOD的度数是70°．23．解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：由折叠得：∠A＝∠DA′A，∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案为：∠1＝2∠A；（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．24．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAD=12∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAD ＝∠BAD =12∠BAC ，∵AE 是△ABC 的高，∴∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣∠C ，∴∠DAE ＝∠CAD ﹣∠CAE =12∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）=12（180°﹣∠B ﹣∠C ）﹣90°+∠C =12∠C −12∠B ，即∠DAE =12∠C −12∠B ； （3）不变，理由：连接BC 交AD 于F ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点D 作DN ⊥BC 于N ，∵AE 是∠BAC 的角平分线，AM 是高，∴∠EAM =12（∠ACB ﹣∠ABC ），同理，∠ADN =12（∠BCD ﹣∠CBD ），∵∠AFM ＝∠DFN ，∠AMF ＝∠DNF ＝90°，∴∠MAD ＝∠ADN ，∴∠DAE ＝∠EAM+∠MAD ＝∠EAM+∠ADN =12（∠ACB ﹣∠ABC ）+12（∠BCD ﹣∠CBD ）=12（∠ACD ﹣∠ABD ）．。
解三角形测试
解三角形测试卷（5.9） 一、选择题1.在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是 ( ) A. 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B. ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D. ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.在△ABC 中，若a=角A=30°,则c 等于 ( )以上都不对3. △ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边的长分别为a 、b 、c.设向量p =（a+c,b ）,q =(b-a,c-a)若p ∥q，则角C 的大小为 ( ) A.6π B.3π C.2π D.23π4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac b c a 3222=-+，则角B 的值为（）A.6π B. 3π C. 566ππ或 D. 233ππ或5.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A ，B ，C 的对边，如果2b=a+c ，B=6π，△ABC 的面积为32，那么b 等于 ( )1 D.26. 如图，在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么该塔吊的高是 ( )A.201⎛⎝⎭mB.20(1mC.10mD.20m7.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若向量m =(a+b,-c),n =(sin A+sin B,sin C)，且n m∙=3asin B,则角C 的值为 ( )A.6π B.3π C.23π D.56π8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，若22,sin a b C B -=，则A=A.30°B.60°C.120°D.150°9.在△ABC 中，∠B=60°，最大边与最小边的比为12，则三角形的最大角为 （ ） A.60° B.75° C.90° D.115° 10.若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题11.在△ABC 中，角A=60°,AB=2，2ABC S ∆=,则BC= . 12.在△ABC 中，若b=5,∠B=4π,sin A=13,则a= .13.在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+cacos B+abcos C 的值为 .14.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.）cos A= acos C,则cos A= .15.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC=3BD ，AD=2，∠ADB=135°,若则BD= .二、填空题11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csin A=acos C. （1）求角C 的大小.（2cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值,并求取得最大值时角A 、B 的大小.17.已知△ABC ，且(1)求边AB 的长； （2）若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数.18.如图，甲船以每小时直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距.问乙船每小时航行多少海里？19．在ABC ∆中 ，已知1sin sin 4=C B ，bc a c b =-+222，且C B > ，求C B A ,,．20.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量m=(3cos 2A ,3sin 2A ),n =(cos 2A ,sin 2A ),且满足|n m（1）求角A 的大小；（2）若试判断△ABC 的形状.21.如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．。
《解直角三角形》章节测试题
《解直角三角形》章节测试题时间100分钟 满分100分 班级 姓名 得分一、 选择题(（每题3分，共21分）)1. 在∆Rt 中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ）A 也扩大3倍B 缩小为原来的31 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 2. 如图（1），在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是（ ）A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm3.若3tan(a+10°)=3，锐角a 的度数是( ) A 、20°B 、30°C 、35°D 、50°4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）A ．c=A a sinB ．c=Aa cos C ．c=a·tanA D ．c=a·cotA 5. 当锐角α>60°时，则cosα的取值范围是（ ）A ．21cos 0<<α B.23cos 0<<α C.23cos 21<<α D ．22cos 21<<α 6. Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．332 C ．10 D ．12 7. 点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（，）B ．（-，）C ．（-，-）D ．（-，-）二、 填空题（（每题3分，共48分））8． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则sin B ＝ ，tan B ＝ ．图（1）9．在△ABC 中,∠C=90°,若cosA=53，则tanB=_____,cotB= , cosB= . 10． 一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．11． 在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．12． 在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠A=______．13． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，面积为24cm 2，b=6cm, 则sin A ＝ .14． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA=23，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______. 15． 2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______;=+ 65cos 25cos 22______16． =+ 12cos 12sin 22______; =+ 56sin 34sin 22______．17． 已知锐角α,(1).sin28°=cosα，则α=________, (2).tan28°=cosα,则α=________;(3).cos38°=sinα，则α=________, (4).cot 2432'22''=tan α,则α=____________ .18.sin40 ，sin75 ，tan45 ，cot25 的大小关系是（用""<符号连接）___________________19、若∠A 是锐角，且sinA ＝cosA ，则∠A 的度数是 .20、在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sinA 的值是 ；21、如图(2)，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ；22、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，如果a ：b ：c ＝1：3:2，那么∠A ：∠B ：∠C ＝ ；23、如图（3），∠C ＝900，∠DBC ＝300，AB ＝DB ，那么tanA＝ ；三、计算（每题3分，共12分）24、---10)21(30sin 2|060cot -|＋132+图（2）图（3）25112sin 602cot 30tan 601--+26、0)20093(30tan 160sin 160cos -+++27、 60sin 225tan 25cot 30tan 3-+四、简答题（19分）28、（9分）如图(4)，一船在A 处看见灯塔B 在它的南偏西300方向，这时，船和灯塔B 的距离为40海里，然后船向西南方向航行到C 处，这时，望见灯塔B 在它正东方向，那么，船航行了多少海里？图（4）E 29、（10分）如图(5)，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E.若BD ＝8，sin ∠CBD ＝43,求AE 的长。
解直角三角形测试题及答案
《解直角三角形》整章测试【1】一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133-（D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B =，23BC =，则AC 等于（ ）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)（53332+）m (B)（3532+）m (C)533m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)22-(C)32- (D)3-7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航 行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)156km(B)152km (C)15(62)+km(D)5(632)+km北东ABC8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（）(A)13(B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A =． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长. 17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c β，，，字母的式子表示）．（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）． 20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． （1A C B a b（2AC B a β （3AC B aD Ec b A BCD EA BC21.（本题12分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．四、附加题（本题20分）22.现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm，高96cm（上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的sin810.987=0.990=sin830.993=0.995=cos90.987=0.990=0.993=0.995=章《解直角三角形》整章测试答案：～8 BABA ACDD三、17.解：2=原式2=-2=18.解：（1）AB=（2）tanAB aβ=（3）acABb=．19．解：分两种情况：（1）当ACB∠为钝角时，BD是高，90ADB∴∠=．在Rt BCD△中，40BC=，30BD=∴CD==．在Rt ABD△中，50AB=，ABC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路EF 图1 2 图3∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-，新课标第一网∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ==∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒=∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°． ∴∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ） 能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·°当81α∠=°时，纱窗高：96sin81960.98794.75295.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。
《解三角形》单元测试题1
《解三角形》单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．在ABC ∆中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ）A ．2B ．232-C ．13-D ．)12(2- 2．根据下列条件，确定三角形有两解的是（ ） A ．060,6,3===A b a B ．030,5,4===C b c C ．0120,2,3===B b aD ．060,4,5===C b c3．已知ABC ∆中，030,1,3===B b a ，则其面积等于（ ）A ．23或3 B ．23 C ．23或43 D ．43 4．在△ABC 中，2m :1)(m :m sinC :sinB :sinA +=，则m 的取值范围是（ ） A ．R m ∈ B ．2>m C ．0>mD ．21>m 5．已知三角形的三边长分别是)0(33,2,3222>++++m m m m m m ，则这个三角形的最大角是（ ） A ．0150 B ．0135 C ．0120 D ．0906．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，则A ∠等于（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 7. 在△ABC 中，已知0120,4,6===C b a ，则B sin 的值是（ ）A ．1957 B ．721 C ．383- D ．1957- 8. 钝角三角形三边长为2,1,++a a a ，其最大角不超过0120，则a 的取值范围是（ ）A ．)3,23[B ．)25,1[ C ．]3,2( D ．)3,0( 9．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10．甲、乙两楼相距m 20 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．m m 3320,2315 B ．m m 320,310 C ．m m 320,)23(10+ D ．m m 3340,320 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)11．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 12．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________． 13．△ABC 中，A 为锐角，2lg 21sin lg 1lg lg -==+A c b ，则△ABC 为 三角形．14．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 三、解答题(本大题共5小题，共66分)15．(本小题共12分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △． 16.(本小题共12分)在△ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=求A 的值． 17．(本小题共14分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长. 18．(本小题共14分)在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 19. (本小题共14分) 一缉私艇A 发现在北偏东45方向,距离12 nmile的海面上C 处有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.600 2 1DCB A 17题图ABC北 东19题图。
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解三角形章节测试卷班级 姓名 座位号一、选择题（新题型的注释）1．在△ABC 中，若 ,222bc a c b =-+ 则A = ( ) A 090 B 0150 C 0135 D 0602．.在△错误！未找到引用源。
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是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形 3．ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．21B ．23C.1D.3 4．△ABC 中，45A ∠=︒，105B ∠=︒，A ∠的对边2a =，则C ∠的对边c 等于（ ）.（A ）2（B ）3（C ）2（D ）15．的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6．锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是( )A. (2,3)B.)2,2(C.)2,0(D. )3,0( 7．在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则b =( ) A.42 B.43 C.46 D.3238．在ABC ∆中，3:2:1::=C B A ，则c b a ::等于（ ）.A 3:2:1 .B 1:2:3 .C 2:3:1 .D 1:3:29．在ABC ∆中，如果60A =，4c =，234a << ,则此三角形有（ ）A. 两解B. 一解C. 无解D. 无穷多解10．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，223a b bc -=ABC ∆A B C a b c a b c 2c a =cos B =14342423，则角A=（ ）.A ．B ．C ．D ．11．在Rt ABC ∆中，CD 是斜边上的高线，:3:1AC BC =则:ABC ACD S S ∆∆为 （ ）． A ．4:3 B ． 9:1 C ．10:1 D ．10:9 12．在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 ( )A ．35B ．34C ．D ．24二、填空题（题型注释）13．设△ABC 中，a:(a+b):(c+b)＝3:7:9,则cosB ＝ ．14．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向前进。
15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为、、，若△ABC=，则角C 的大小为16．对于ABC ∆,有如下命题：①sin 2sin 2A B =若,则ABC ∆一定为等腰三角形；②在ABC ∆中，若0120A ∠=，5,7AB BC ==，则ABC ∆的面积是唯一确定的值；③222sin sin cos 1A B C ABC ++<∆若，则一定为钝角三角形； 则其中正确命题的序号是 (把所有正确的命题序号都填上)17．.设的外接圆半径为，且已知，，则＝________．三、解答题（题型注释）18．（本题9分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且.2cos cos ca bC B +-= （1）求角B 的大小；（2）若4,13=+=c a b ，求ABC ∆的面积.45=C 4=AB R ABC ∆R S c b a 4222c a b -+32ABC ∆4AC AB ⋅=- ()221a b c bc-+=-,,a b c ,,A B C ABC ∆01500120060030sin 23sin C B=19． （本题8分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a ，，，已知412cos -=C 。
（1）求C sin 的值；（2）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长。
20．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，32S ∆=． （1）求边长a 、c 的值； （2）求sin sin sin a b cA B C++++的值21．.已知函数1)sin (cos 212sin 23)(22---=x x x x f （1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,且c=7，0)(=C f ，若向量B ），（n A m sin 3)sin ,1(==与向量共线，求a , b 的值。
22．设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围. 23．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b C B 32,== 求（1）A cos 的值. （2）求⎪⎭⎫⎝⎛+42cos πA 的值。
l ABC ∆1=a Ab c C a =+21cos ,,,c b a C B A ,,ABC ∆参考答案1．D 2．D【解析】因为向量的关系式可知，结合向量的数量积公式可知，2c b c c o s Aa c c o s B abc o s C=++,利用余弦定理化角为边，可知该三角形是直角三角形，选D 3．B 【解析】011sin 12sin 6022S ac B ==⨯⨯⨯=234．C【解析】因为180()180(45105)3C A C ∠=-∠+∠=-+=,所以12s i n 2,2sin sin sin 22c a a Cc C A A⨯=∴===. 5．B 6．A【解析】解：根据正弦定理得：sin sin =a bA B则由B=2A ， 得：b a =sin sin 22cos sin sin ==B AA A A而三角形为锐角三角形，所以A ∈（6π，4π ） 所以cosA ∈22， 32）即得2cosA ∈(2,3) 故选A 7．C 8．C 9．A【解析】由正弦定理得：0sin 4sin 6023,sin sin sin a c c A C A C a a a ⨯=∴===2323,01a a>∴<< ，∴三角形有解；又c a >，所以有两解。
故选A 10．A11．D 12．C13．3514．30° 15．45° 16．②③【解析】解：因为①sin 2sin 2A B =若,则+=2=若或A B A B πABC ∆一定为等腰三角形；错误。
②在ABC ∆中，若0120A ∠=，5,7AB BC ==，则ABC ∆的面积是唯一确定的值；正确 ③222sin sin cos 1A B C ABC ++<∆若，则一定为钝角三角形，正确 17．18．0120=B ,11333sin 32224ABC S ac B ∆==⨯⨯=【解析】解：(1)∵.2cos cos ca b C B +-= 即：2222222.22a c b bac a b c a c ab +-=-+-+…………………………………………………………（1分） 222b a c ac ⇒=++……………………………………………………………………（3分）∴22cos 2a c ac B ac++==21-∵0B π<<∴0120=B ………………………………………………………………………………（5分）(2)13{4b ac =+=22213{216b a c ac =⇒++= 即：222213{216a c ac a c ac ++=⇒++= ∴3ac =………………………………………………………………………………（8分） ∴11333sin 32224ABC S ac B ∆==⨯⨯=…………………………………………（9分） 2219．（1）解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ，及π<<C 0， 所以410sin =C 。
………………………………………………………4分（2）解：当2=a ，C A sin sin 2=时，由正弦定理CcA a sin sin =，得4=c 。
由411cos 22cos 2-=-=C C ，及π<<C 0得46cos ±=C 。
由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得01262=-±b b 。
解得6=b 或62。
所以⎩⎨⎧==.4,6c b 或⎩⎨⎧==.4,62c b …………………………………………………8分20．（1）由1133sin 12222S bc A c ∆==⨯⨯⨯=，解得：2c =， 由22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，得3a =；…………6分 （2）由正弦定理有：32sin sin sin 32a b cA B C====， 2sin sin sin sin a b c aA B C A++∴==++21．解：（1）12cos 21223)(--∑=x x x f 1)62(--∑=πx162)62(22262-=-∑+-=-∴）mm x （k k x πππ时当 即2)(-=mm x f T=π （2）a b A B 33=∴∑=∑61162601)62(01)62()(ππππππ<-<-∴<<=-∑∴=--∑=c c c c c f3262πππ==-∴C c 即由余弦定理31cos 2222==-+=，b a c ab b a C 即22．解：（1）由得 …………又 …………，，， 又 …………（2）由正弦定理得：,…………………故的周长的取值范围为. …………13'（2）另解：周长 由（1）及余弦定理…………………… 又即的周长的取值范围为. ………… 13'23．解：（1）由a b C B 32,==，得a c b 23==..............3分312323243432cos 222222=⨯⨯-+=-+=∴aa a a a bc a cb A ....................6分(]2,3l ABC ∆12b c a l a b c +>=∴=++>10'2b c +≤22()1313()2b c b c bc +∴+=+≤+8'221b c bc ∴+=+2222cos a b c bc A=+-1a b c b c=++=++l (]2,3l ABC ∆1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴65,66πππB 20,,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,3A π=10'⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 21πB 3112sin cos 22B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭8'()()()221sin sin 1sin sin 33l a b c B C B A B =++=++=+++C c sin 32=B A B a b sin 32sin sin ==6'3π=∴A 0A π<< 21cos =∴A 0sin ≠C 1sin cos sin 2C A C ∴=4'()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C=+=+2'1sin cos sin sin 2A C C B+=b c C a =+21cos（2）,31cos =A A 为锐角 322cos 1sin 2=-=∴A A ......8分924cos sin 22sin =⋅=∴A A A ， 971cos 22cos 2-=-=A A .....10分182784sin 2sin 4cos 2cos 42cos +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πππA A A ..........12分。