数学：1.7.1《定积分的简单应用》课件(新人教A版选修2-2)
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
2019人教版高中数学选修2-2课件：1.7 定积分的简单应用(共31张PPT)
成的曲边梯形的面积S=
.
图1-7-2
预习探究
× √ √
预习探究 知识点二 定积分在物理中的应用
变速直 线运动
变力 做功
预习探究
√
√ √
备课素材
1．定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积．解题时，一般先要 画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限． 2．定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或 补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边 形的面积，可直接利用相关面积公式求解．
到x=b(a<b),变力F(x)所做的功为
.
(2)利用定积分求变速直线运动的位移,其积分变量是时间,被积函数是速度对时间的函
数;利用定积分求变力所做的功,其积分变量是位移,被积函数是力对位移的函数.
考点类析
例2 一点在直线上从时刻t=0 s开始以速度v=t2-4t+3(v的单位:m/s)运动,求: (1)该点在t=4 s时的位置; (2)该点前4 s走过的路程.
图1-7-4
(1)直线y=-x+2与曲线y=x2所围成的封闭图形的各顶曲边梯形的面积?
(3)所求图形的面积用定积分怎样表示?
(4)利用微积分基本定理计算所求图形的面积.
考点类析
考点类析
例1 求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围成的图形的面积.
考点类析
考点类析
[答案] A
考点类析
[小结] 解答此类题型的关键是熟练掌握功的计算公式,通过这个公式将物理 问题转化为数学问题.
备课素材
1．利用“微元法”思想求变力作功、水压力等物理问题．
[例] 设弹簧在1 N力的作用下伸长 0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作 多少功？
2014年人教A版选修2-2课件 1.7 定积分的简单应用
= ee1 = 1.
O
B
x
【小结】
求曲边图形的面积 (1) 将函数曲线所围成的曲边图形分成几个 曲边梯形的和或差. (2) 每个曲边梯形的面积等于函数在给定区间 上的定积分. (3) 当给定区间的函数在 x 轴下方时, 函数在 此区间上的定积分为负, 曲边梯形的面积等于定 积分的相反数.
习题 1.7 A组 第 1 题. B组 第 1、 2、 3 题 .
练习: (课本58页) 只一题.
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (1) 画出图形, 解出交点 A(3, 9),
y y=x2
y=2x3 A
S = 0 (2 x 3)dx 0 x 2dx 1 2 3 3 = ( x 3 x)|0 ( x 3 )|0 3 = 32 3 3 1 33 3 = 9.
3
3
B C
O
C
x
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (2) 画出图形, 解出交点 A(1, e),
1 S = e1 0e xdx = e (e x )|1 0
y C 1
y= ex A y= e
y y= x4 B
y = 2x
A
C
x
例2. 计算直线 y=x4, 曲线 y= 2 x 以及 x 轴所围 图形的面积 S.
解: 画出图形, y = 2x D 解法二 (课本), S2 S1 解交点得 A(4, 0), B (8, 4). A C x O 所求面积应为 曲边梯形 ODA的面积S1与图形ADB的面 积S2之和. 而S2又等于曲边梯形DACB与△BAC的面积之差. 4 8 8 ∴面积 S= 0 2 x dx [4 2 xdx 4( x 4)dx] 3 3 2 2 2 2 1 8 4 2 2 =( x ) |0 ( x ) |4 ( x 2 4 x) |8 4 3 3 2 = 40 . 3
2016-2017学年人教A版选修2-2 1.7 定积分的简单应用课件(26张)
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
∴在t＝4s时的路程为
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
题型三
求变力所做的功
例3 设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹 簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功． 分析 因为弹簧的力是一个变力，所以不能用常规的方 法求解，需用定积分去求解．
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
解 由已知得
1 49 答：物体在[ ，0)时间段内的运动路程为 . 2 4
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
题型二 利用定积分解实际问题 例2 设A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B 站，电车开出ts后到达途中C点，这一段加速度为1.2m/s2， 到C点速度达24 m/s.从C点到B站前的D点以等速行驶，从D
规律技巧 积分是位移．
加速度函数的定积分是速度，速度函数的定
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
变式训练1 一物体作变速直线运动，其速度函数为 1 2t，2≤t≤1， v(t)＝2，1<t≤3， 1 t＋1，3<t≤6. 3 1 求该物体在[2，6]时间段内的运动路程．
b S＝ v(t)dt，需根据题意写出函数v(t)．
a
解
(1)设A到C经过t1s，由1.2t1＝24，
高中数学人教A版选修2-2第一章 1.7定积分的简单应用课件
4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y
1 2
y2
1 6
y3 ) |42
18
练习 3：计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
y x2
图2.如图
y
y f2(x)
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
图y3.如图
a
b
0
x
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
图4.如图
y
y f2(x)
a
0
bx
b y f1( x)
A4 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
(1)
(2)
b
(1) S a f (x)dx
oa c b x
(3)
b
(2) S a f (x)dx
b
c
(3) S c f (x)dx a f (x)dx
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
人教版数学高二选修2-2讲义1.7定积分的简单应用
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1．会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2．会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分与平面图形面积的关系阅读教材P 56～P 58“练习”以上部分，完成下列问题．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系：(1)如图1-7-1①，阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛0a g (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝_____.① ②图1-7-1(2)如图1-7-1②，阴影部分的面积为S ＝______________.所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．【答案】 (1)⎠⎛0a [f (x )－g (x )]d x (2)⎠⎛0b [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛ba [f (x )－c (x )]d x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝sin x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，与x轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛π22πsin x d x.()(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为⎠⎛1x3d x＋⎠⎛12(2－x)d x.()(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为⎠⎛-22(4－x2)d x.() 【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 定积分在物理中的应用阅读教材P58～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为____________________.【答案】 1.⎠⎛ab v(t)d t 2.W＝⎠⎛ab F(x)d x一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.【解析】由题意可知，力F(x)所作的功W＝⎠⎛13F(x)d x＝⎠⎛13(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14 J.【答案】14[小组合作型]利用定积分求平面图形的面积(1)由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A.53B ．1 C.52 D.23(2)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-2所示)的面积为43，则k ＝________ .图1-7-2【自主解答】 (1)由图可知，所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝56＋16＝1.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.【答案】 (1)B (2)2求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．[再练一题]1．(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．4(2)由直线y＝12，y＝2，曲线y＝1x及y轴所围成的封闭图形的面积是()【导学号：62952056】A．2ln 2 B．2ln 2－1C.12ln 2 D.54【解析】(1)由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x－x3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x4⎪⎪⎪2＝4.(2)由题知，x的范围为[0,2]．所以S＝12×32＋⎠⎜⎛1221x d x－32×12＝⎠⎜⎛1221x d x＝ln 2－ln12＝2ln 2.【答案】(1)D(2)A求变速直线运动的路程、位移2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求点P 从原点出发，当t ＝6时，点P 离开原点的路程和位移．【精彩点拨】解不等式v (t )>0或v (t )<0→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移【自主解答】 由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.1．求变速直线运动的物体的路程(位移)(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t . (2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．2．求变力做功的方法(1)要明确变力的函数F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算． (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位换为焦耳．[再练一题]2．在上例题设条件不变的情况下，求P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【解】 依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0， 解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．[探究共研型]变力作功问题探究 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成60°方向做直线运动，则由x ＝1 m 运动到x ＝3 m 时F (x )做的功为多少J .【提示】 W ＝⎠⎛13F (x )cos 60°d x ＝⎠⎛1312F (x )d x ＝⎠⎛1312(5－x 2)d x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 31＝23(J )． 如图1-7-3所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，C D ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5，0≤x ≤90，20，90<x ＜120，(单位：N )，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在C D 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)图1-7-3【精彩点拨】 先求出在AB 段、BC 段上拉力F 沿运动方向的分力，再利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 求出各段上功的大小． 【自主解答】 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力做功公式得：W ＝⎠⎛050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30° d x ＋⎠⎛5090⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪ 500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪9050＋600 ＝1 1254 3＋4502＋600≈1 723(J)．所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J.求变力所做功的步骤1．根据物理学的实际意义，求出变力F (x )的表达式．2．由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )，因此，求功之前应求出位移的起始位置与终止位置．3．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，求出变力F (x )所做的功．[再练一题]3．在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)， 当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ，所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪ 0.10＝10(J)．1．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】 如图，作出三个函数y ＝e x ，x ＝2，y ＝1的图象，由三者围成的曲边梯形如图阴影部分，若选择x 的积分变量，则积分区间应为[0,2]．【答案】 B2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m /s )的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m【解析】 s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m )． 【答案】 B3．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】 如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.【解析】 由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.【答案】 49 5．一物体在变力F (x )＝36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功.【导学号：62952057】【解】 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)． 从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J ．。
1.7 定积分的简单应用 课件-高中数学人教A版选修2-2第一章 导数及其应用
下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8处运动到x＝18处，求
力F(x)在这一过程中所做的功． 解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在[8,18] 上的定积分，从而
18
W＝18F(x)dx＝－36x－1
8
8
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－－92＝52(J)．
从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
0
0
3
3
xdx－ 2 sin xdx＝－cos x ＋cos x 2 ＝3.
0
(4)上下之差：
若在区间[a，b]上 f(x)＞g(x)，则曲线 f(x)与 g(x)所围成
的图形的面积 S＝b[f(x)－g(x)]dx. a 例（2）：求由曲线 y2＝x，y＝x3 所围图形的面积 S.
解：作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图， 如右图所示，所求面积为图中阴影部分
A．46 m
B．46.5 m
C．87 m
D．47 m
解析：s＝6 3
(3t＋2)dt＝32t2＋2t 6
3
＝(54＋12)－227＋6＝46.5(m). 答案：B
3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________. 解析：图形如右图所示，
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx 0
a
问题3：如何求阴影的面积S? 提示：S＝S1－S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围
图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 b[f(x)－g(x)]dx
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1，画出草图，明确面积(常有化归过程)
关系，确定被积函数 f ( x)
2，明确交点坐标.同时确定积分区间
3，积分表示，定理求值
另外: 曲边应该是函数图象的一部分。
f ( x) 0
若 f ( x) 0，那么应该怎么办？
y y＝x2 1 O C B D A 1 1.5 x y2＝x
S
1
0
xdx x dx ( x x )dx
1，画出草图，明确面积(常有化归过程)
关系，确定被积函数 f ( x)
2，明确交点坐标.同时确定积分的区间
3，积分表示，定理求值 另外: 确定被积函数可以 “上减下”
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2.
课外练习 如图，直线y＝kx将抛物线 y＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数k的值.
b
a
f ( x)dx
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ( x) f ( x) ，则
b
a
f ( x)dx F ( x)dx F (b) F (a)
a
b
3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积，微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效快捷的方法，二者强强联 合，可以解决平面几何中曲边图形的面 积问题.
y y＝x－x2 y＝kx
k = 1-
3
1 2
1
O 1－k x
2 2 0 0
1
1
你联想到什么？
结论
所谓“上减下” 确定被积函数
a
y y=f(x)
b
y=g(x)
x
阴影部分面积为
b
a
( f ( x) g ( x))dx
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 y =
2x
及x轴所围成图形的面积 思考1：直线y＝x－4与曲线 y = 2x 及 x轴所围成的图形是什么？怎么求其面积？
S=S曲边梯形ODM+S曲边三角形DMB
4
0
2 xdx ( 2 x x 4)dx
4
8
1 y 练习: 计算由直线y＝2－x， = - x 3
和曲线 y =
y
x 所围成的平面图形的面积. y=
2 3 x A
y＝2－x 1 B
x
13 S = 6
O －1
1
• 利用定积分求曲边图形的面积。其基本步骤 是：
y
y＝x2 1 O y2＝x
(1,1)
1
x
(0,0)
思考3：解题过程怎样表述？
y y＝x2 y2＝x
1 O
C
B
D A 1
x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD.
1
0
2 1 31 1 xdx x dx x | x |0 0 3 3 3
1
2
3 2 1 0
• 通过这道题我们进一步明白了利用定积分可 以求曲边图形的面积。其基本步骤是：
y 换变量怎么样？y＝x－4
A
M
y=
E
2x
B
O
D
x
思考2：你能给出求解过程吗？
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
8 0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 40 x | 4 4 3 2 3
3 2 8 0
y 4 C
M
y＝x－4
B A
y=
2x
O
D 4
8
x
在用定积分求曲边图形的面积时， 我们将碰到什么问题呢？具体应该 怎样解决？
定积分在几何中
的应用
探究（一 )曲线 y ＝x与y＝ x 所围成图 形的面积 2 2 思考1：曲线 y ＝x与y＝x 所围成的图 形是什么？怎样用定积分求其面积？
y y＝x2 y2＝x
2
2
O
x
思考2：被积ห้องสมุดไป่ตู้数分别是什么？积分区间 是什么？
1.7.1
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分 a f ( x)dx 的含义及其几何意 义分别是什么 n b ba f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
y
y＝f(x)
f ( x) 0
O
a
b x
f ( x) 0