211曲线与方程课件1

在曲线C上的等价条件 是 f (x0, y0 ) 0
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k>0)
的点的轨迹方程是xy= k
证明：(1)如图, 设M(x0，y0)是轨迹上的任意一 点． 因为点M与x轴的距离为|y0|， 与y轴的距离为Ix0I，
所以|x0|.|y0|= k,
即(X0，y0)是方程xy＝士k的解
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线 点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
l y x-y=0
得出关系：
M（x0,y0） （1） l 上点的坐标M（x0,y0）都是方程 x-y=0
0x
的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点 M（x0,y0）
2、两者间的关系：点 P(x0在, y0曲) 线C上
点 P(x0的, y坐0 ) 标适合于此曲线的方程 f (x0, y0) 0 通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
可得：
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P(x0, y0)
y
A
0
2x
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
这条曲线C叫做这个方程的曲线
y
f（x，y）=0
说明：
0x
1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系
2、方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
·M
满足关系：
0
x
（1）、如果 (x0 , y0 ) 是抛物线上的点，那么( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果(x0 , y0 ) 是方程 y ax2 (a 0） 的解，那么以它为坐标的点一定
在抛物线上
（5）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
学习例题巩固定义
例1:判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3
对
（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2
错
（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
错
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程
是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这 个圆上.
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
由1、2可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5 的圆的方程.
变式训练：写出下列半圆的方程
y 25 x2
y 25 x2 x 25 y2
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
1、教学目标：理解并能运用曲线的方程、方程的曲 线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数 结合的意识． 2、教学重点：求曲线的方程.
3、教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法 等求曲线方程的方法.
一、分析特例归纳定义
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
由(1)(2)可知，xy＝士k是与两条坐标轴的距离的 积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
都在 l 上
曲线
（2）、求第一、四象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、四象限角平分线 点的横坐标与纵坐标绝对值相等
x= |y|（或x-|y| =0）
曲线
条件
方程
得出关系：
（1）曲线上点的坐标M（x0,y0）都是方程 x- |y|=0
的解
（2）以方程|x|-y=0的解为坐标的点
都 在曲线上
x 25 y2
例子：(2)画出函数 y 2x2 (-1≤x≤2) 的图象C.
y 8
y 2x2
y 8
y 2x2
(-1≤x≤2)
-1 O
2
x
符合条件①不符合条件②
-1 O
2
x
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 y 2x2 (-1≤x≤2)
的图象C.
y 8
y 2x2
(-1≤x≤2)
-1 O
2
符合条件①、 ②
x
下列各题中，各图表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点
的距离等于5，所以 x02 y02 5,
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 #43;y2 = 25的解，那么
5
·M2
0
5x
·M1
x02 +y02 = 25
课本例题
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的
点的轨迹方程是x y= k
(2)设点M1 的坐标(x1,y1)是方程x y ＝+k是的解，则x1y1= + k, 即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横 轴的距离，因此点M1到这两条直线 的距离的积是常数 k，点M1是曲线 上的点．
M（x0,y0）
曲线
（3）、求以（a,b）圆心、r为半径的圆坐标满足的关系
曲线 以（a,b）圆心、r为半径的圆
曲线上任意一点到定点圆心的距离一定等于定长 条件
(x a)2 ( y b)2 r2 方程
得出关系：
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (x a)2 ( y b)2 r2 的解
M（x0,y0） x
（2）以方程 (x a)2 ( y b)2 r2
的解为坐标（x0,y0）的点M都 在 圆 上
（4）、函数 y ax2 (a 0）的图象是关于y轴对称的抛物线
这条抛物线的方程是 y ax2 (a 0）
y
y ax2(a＞0）