线性代数(武汉纺织大学)
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示;非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题............................................................ - 12 -31、线性相关（无关)与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ,12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ,M 13＝32312221a a a a对M 11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ,这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
武汉纺织大学考试试卷模板
图论及应用2011年12月26日√√信科091、092一二三四五六七八一、(10分) 求下图的最小生成树T, 并求其权和.2 3 4 62 7 45 53 1二. （10分）用Dijkstra 算法求解下图中从1v 到其余各点的最短距离（要求写出详细步骤） 三．(10分)有8种化学药品需要空运飞越整个国家。
某些药品之间要发生化学反应，所以不能放在同一个容器中。
化学药品被标记为c 1,c 2,…,c 8。
下面列出的是某种给定的化学药品能够发生反应的其它化学药品 ： 1256:,,c c c c 2357:,,c c c c 3247:,,c c c c 43678:,,,c c c c c 512678:,,,,c c c c c c 61458:,,,c c c c c 723458:,,,,c c c c c c 84567:,,,c c c c c 求运送这批化学药品需要的最少容器，并给出这批药品的一种最少分类存储方式。
(要求用图论方法求解)四(10分) 证明：在任何图中，奇度点个数为偶数。
、填空题（每空3分，共30分）1．无向完全图K6有条边。
2．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有片树叶。
3 设连通无向图G有4个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加条边。
4 连通无向图G点数为n，边数为m，若G是平面图，则G有个面。
5 对下列图，试填下表（是⨯⨯类图的打〝√〞，否则打〝×〞）。
G1G6.下图的点色数为_______;边色数为_______。
题33、用匈牙利算法求下图的最大匹配。
大一线性代数知识点概述
大一线性代数知识点概述线性代数是大一学习数学的一个重要领域，它主要研究向量空间、线性映射和矩阵等代数结构及其相互关系。
在大一学习线性代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和概念，本文将对这些知识点进行概述。
一、向量及其运算向量是线性代数中最基本的概念之一。
在大一线性代数中，我们主要学习二维和三维向量。
二维向量通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
三维向量通常表示为(a,b,c)，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法和数乘运算是学习线性代数时必须掌握的基本运算。
二、矩阵及其运算矩阵也是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，在大一线性代数中，我们主要学习二维矩阵。
矩阵的加法、数乘和乘法是线性代数中常用的运算。
特别地，矩阵乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，掌握好矩阵乘法的规则对于理解线性代数的许多概念和理论具有重要意义。
三、行列式行列式是线性代数中一种重要的数学工具，用于求解线性方程组的解以及判断矩阵的可逆性。
在大一线性代数中，我们主要学习二阶和三阶行列式的计算。
行列式的计算方法有多种，例如拉普拉斯展开、三角形形式等，理解和掌握这些计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
四、向量空间向量空间是线性代数中一个基本的概念，它是由若干个向量组成的集合，并满足一定的条件。
在大一线性代数中，我们需要学习如何判断一个向量集合是否构成一个向量空间，以及如何求解向量空间的基、维数等问题。
了解向量空间的概念和性质有助于我们进一步学习线性代数的高级内容。
五、线性变换和特征值线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是一个向量空间到另一个向量空间的映射。
在大一线性代数中，我们主要关注二维和三维空间中的线性变换。
线性变换的矩阵表示和线性变换的性质是学习线性代数中的重要内容。
特征值和特征向量是线性代数中另一个重要的概念，它们在矩阵对角化和求解差分方程等问题中具有重要的应用。
大二线性代数知识点归纳
大二线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，对于学习数学、物理学、计算机科学等领域都具有重要的作用。
在大二的学习中，线性代数是一门必修课程，本文将对大二线性代数的知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握相关概念和技巧。
一、向量与向量空间1. 向量的定义与性质2. 向量的线性运算（加法和数乘）3. 向量的内积和外积4. 向量的线性相关性与线性无关性5. 极大线性无关组与极大线性无关集6. 向量空间的基与维数二、线性方程组1. 线性方程组的定义与解集2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组3. 初等变换与线性方程组的等价性4. 线性方程组的解的性质与特解的构造5. 齐次线性方程组的矩阵表示三、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与性质2. 矩阵的加法与数乘3. 矩阵乘法与矩阵的转置4. 子矩阵与主子式5. 行列式的定义与性质6. 行列式的计算方法（余子式与代数余子式）7. 克拉默法则与逆矩阵的求解四、线性映射与线性变换1. 线性映射的定义与性质2. 线性映射的矩阵表示与性质3. 线性映射的核与像4. 线性映射的维数公式5. 线性变换的定义与性质6. 线性变换的矩阵表示与性质7. 特征值与特征向量五、特殊矩阵与特殊线性变换1. 对称矩阵与正交矩阵2. 对称线性变换与正交线性变换3. 施密特正交化过程与正交矩阵的求解4. 对角矩阵与相似矩阵5. 幂等矩阵与幂零矩阵总结：大二线性代数涵盖了向量与向量空间、线性方程组、矩阵与行列式、线性映射与线性变换、特殊矩阵与特殊线性变换等多个知识点。
通过对以上知识点的归纳和总结，我相信读者对大二线性代数的概念和技巧有了更清晰的理解。
希望读者能够在学习过程中注重理论的学习与实践的运用，通过练习和应用将理论知识转化为实际解决问题的能力。
线性代数是一门重要的数学学科，对于培养科学思维和解决实际问题都具有重要的作用，希望读者能够在以后的学习和工作中充分发挥线性代数的作用。
线性代数(武汉纺织大学)
线性代数及其应用作者：方文波段汕江世宏胡雁玲出版社：高等教育出版社目录第0章线性方程组的研究第1章行列式1.1 二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式1.1.2 三阶行列式1.2 n阶行列式1.2.1 排列及其逆序数1.2.2 n阶行列式的定义1.3 行列式的性质1.4 克拉默法则1.5 应用举例1.5.1 用二阶行列式求平行四边形的面积1.5.2 用三阶行列式求平行六面体的体积习题一第2章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义2.1.1 引例2.1.2 定义2.2 矩阵的运算2.2.1 矩阵的线性运算2.2.2 矩阵的乘法运算2.2.3 转置2.2.4 方阵的行列式2.3 逆矩阵2.3.1 引例2.3.2 定义2.3.3 方阵可逆的条件2.4 分块矩阵2.4.1 定义2.4.2 分块矩阵的运算2.4.3 常用的三种分块法2.5 应用举例2.5.1 平面图形变换2.5.2 矩阵在计算机图形学中的应用——齐次坐标2.5.3 希尔密码习题二第3章线性方程组3.1 消元法3.1.1 引例3.1.2 消元法的一般形式3.2 矩阵的初等变换3.2.1 定义3.2.2 初等变换的性质3.3 矩阵的秩3.3.1 引例3.3.2 秩的定义3.3.3 秩的性质3.4 初等矩阵3.4.1 定义3.4.2 初等矩阵的性质3.4.3 求逆矩阵的初等行变换法3.4.4 初等矩阵决定的线性变换3.5 线性方程组的解3.5.1 线性方程组有解的条件3.5.2 线性方程组的解法3.6 应用举例3.6.1 剑桥减肥食谱问题3.6.2 电路网络问题3.6.3 配平化学方程式问题3.6.4 网络流问题习题三第4章向量组的线性相关性4.1 n维向量及其运算4.1.1 向量的定义4.1.2 向量的运算4.2 向量组的线性相关性4.2.1 向量组及其线性组合4.2.2 向量组的线性相关性4.3 向量组的秩4.3.1 定义4.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系4.3.3 向量组的极大无关组的求法4.4 线性方程组解的结构4.4.1 齐次线性方程组解的结构4.4.2 非齐次线性方程组解的结构4.5 向量空间4.5.1 向量空间的定义4.5.2 向量空间的基和维数4.5.3 向量在基下的坐标4.6 应用举例4.6.1 在差分方程中的应用4.6.2 马尔可夫链习题四第5章特征值、特征向量及二次型5.1 向量的内积、长度及正交性5.1.1 内积的定义与性质5.1.2 施密特（schmidt）正交化过程5.1.3 正交矩阵5.2 特征值与特征向量5.2.1 定义5.2.2 特征值与特征向量的计算5.2.3 特征值与特征向量的性质5.3 相似矩阵5.3.1 相似矩阵的概念与性质5.3.2 矩阵可对角化的条件5.4 实对称矩阵的对角化5.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量5.4.2 实对称矩阵对角化的步骤5.5 复特征值5.6 二次型及其标准形5.6.1 二次型的概念5.6.2 矩阵的合同关系5.6.3 化二次型为标准形5.7 正定二次型5.8 应用举例5.8.1 二次曲线的研究5.8.2 条件优化5.8.3 离散动力系统习题五习题答案附录线性代数智能教学平台简介。
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线性代数及其应用
作者：方文波段汕江世宏胡雁玲
出版社：高等教育出版社
目录
第0章线性方程组的研究
第1章行列式
1.1 二阶与三阶行列式
1.1.1 二阶行列式
1.1.2 三阶行列式
1.2 n阶行列式
1.2.1 排列及其逆序数
1.2.2 n阶行列式的定义
1.3 行列式的性质
1.4 克拉默法则
1.5 应用举例
1.5.1 用二阶行列式求平行四边形的面积
1.5.2 用三阶行列式求平行六面体的体积
习题一
第2章矩阵及其运算
2.1 矩阵的定义
2.1.1 引例
2.1.2 定义
2.2 矩阵的运算
2.2.1 矩阵的线性运算
2.2.2 矩阵的乘法运算
2.2.3 转置
2.2.4 方阵的行列式
2.3 逆矩阵
2.3.1 引例
2.3.2 定义
2.3.3 方阵可逆的条件
2.4 分块矩阵
2.4.1 定义
2.4.2 分块矩阵的运算
2.4.3 常用的三种分块法
2.5 应用举例
2.5.1 平面图形变换
2.5.2 矩阵在计算机图形学中的应用——齐次坐标2.5.3 希尔密码
习题二
第3章线性方程组
3.1 消元法
3.1.1 引例
3.1.2 消元法的一般形式
3.2 矩阵的初等变换
3.2.1 定义
3.2.2 初等变换的性质
3.3 矩阵的秩
3.3.1 引例
3.3.2 秩的定义
3.3.3 秩的性质
3.4 初等矩阵
3.4.1 定义
3.4.2 初等矩阵的性质
3.4.3 求逆矩阵的初等行变换法
3.4.4 初等矩阵决定的线性变换
3.5 线性方程组的解
3.5.1 线性方程组有解的条件
3.5.2 线性方程组的解法
3.6 应用举例
3.6.1 剑桥减肥食谱问题
3.6.2 电路网络问题
3.6.3 配平化学方程式问题
3.6.4 网络流问题
习题三
第4章向量组的线性相关性
4.1 n维向量及其运算
4.1.1 向量的定义
4.1.2 向量的运算
4.2 向量组的线性相关性
4.2.1 向量组及其线性组合
4.2.2 向量组的线性相关性
4.3 向量组的秩
4.3.1 定义
4.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系4.3.3 向量组的极大无关组的求法4.4 线性方程组解的结构
4.4.1 齐次线性方程组解的结构
4.4.2 非齐次线性方程组解的结构4.5 向量空间
4.5.1 向量空间的定义
4.5.2 向量空间的基和维数
4.5.3 向量在基下的坐标
4.6 应用举例
4.6.1 在差分方程中的应用
4.6.2 马尔可夫链
习题四
第5章特征值、特征向量及二次型5.1 向量的内积、长度及正交性
5.1.1 内积的定义与性质
5.1.2 施密特（schmidt）正交化过程5.1.3 正交矩阵
5.2 特征值与特征向量
5.2.1 定义
5.2.2 特征值与特征向量的计算
5.2.3 特征值与特征向量的性质
5.3 相似矩阵
5.3.1 相似矩阵的概念与性质
5.3.2 矩阵可对角化的条件
5.4 实对称矩阵的对角化
5.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量5.4.2 实对称矩阵对角化的步骤
5.5 复特征值
5.6 二次型及其标准形
5.6.1 二次型的概念
5.6.2 矩阵的合同关系
5.6.3 化二次型为标准形
5.7 正定二次型
5.8 应用举例
5.8.1 二次曲线的研究
5.8.2 条件优化
5.8.3 离散动力系统
习题五
习题答案
附录线性代数智能教学平台简介。