《配方法》解一元二次方程案例

《配方法》解一元二次方程教学案例

教学目标

【知识与技能】

使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】

经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】

通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

教学重点难点

【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程

教学过程设计

（一）创设情境 导入新课

导语一（1）你能解哪些一元二次方程？

（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

（3）解方程x 2

+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2

+12x-15=0转化为上面方程的形式吗？

导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2

+12a+ 62

=(a+ 6 )2

； （2）x 2- x +4

1=(x+ 2

1

)2

；

3、若4x 2

-mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。

导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？

你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？

[设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2

=1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%]

（二）合作交流 解读探究 1、配方法

[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2

，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。）

即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2

，列方程x(x+6)=16，即x 2

+6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。）

（思考）怎样解方程x 2

+6x-16=0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2

+6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方

程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2

+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同

时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2

+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。）

移 项

9（即(2

6)2）使左边配成

2的形式

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方

法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

2、用配方法解一元二次方程的一般做法

（1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项； （2）方程的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；

（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；

（4）如果右边是非负数，两边直接开平方，解这个一元二次方程。 （三）应用迁移 巩固提高

类型之一 用配方法解一元二次方程

【例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。） （1）x 2

-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x 2

-6x+4=0 解：（1）移项，得x 2

-10x=-24 配方，得x 2

-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2

=1， x-5=±1， ∴x 1=6，x 2=4

（2）整理，得2x 2+5x-8=0。 移项，得2x 2

+5x=8

二次项系数化为1得x 2

+2

5

x=4，

配方，得2

22)4

5(4)45(25

+=++

x x (x+45

)2

=

16

89，

由此可得x+4

5

=±

4

89，

x 1=

4

89

5+

-， x 2=

4

89

5-

-

（3）移项，得3x 2

-6x=-4

二次项系数化为1，得x 2

-2x=-3

4

，

配方，得x 2-2x+12

=-3

4

+12

,

(x-1)2

=-3

1

因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x-1)2

都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。（注：本次活动，教师应重点关注：1、学生对待解问题和已解问题的对比、分析能力；2、给予学生一定的时间去思考，争取让学生自主得出结论；3、鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解）。

[做一做] 解下列方程：

（1）x 2

-8x+1=0； （2）2x 2

+1=3x ； （3）4x 2

-6x-3=0

【分析】（1）把x 2

-8x+1=0移项，得x 2

-8x=-1，两边都加一次项系数的一半的平方，得x 2

-8x+42

=-1+42

，

即(x-4)2

=15，再开平方即可求出方程的解。

（2）先移项化为2x 2

-3x+1=0,再方程两边同时除以2，得x 2

-2

3x+2

1

=0，再

移项，配方。

（3）两边同时除以4，把二次项系数化为1，再移项，配方。

[特别提示]（1）配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边经为非负数，然后用开平方法求解。

（2）配方的关键是“方程两边加上一次项系数一半的平方”

类型之二 二次三项式的配方

【例2】填空：(1)x 2

+6x+_______=(x+3)2

；(2)x 2

-5x+______=(x-______)2

； (3)x 2

+3

4x+______=(x+3

2

)2；(4)x 2+px+______=(x+______)2

。（学生练习，