单调性与几个重要不等式
高一数学高级不等式知识点
高一数学高级不等式知识点在高中数学中，不等式是一个非常重要的概念和工具。
不等式不仅存在于代数和几何中，还涉及到实际问题的建模和解决。
在高一数学中，学生们掌握了基本的不等式知识后，接下来将会学习高级的不等式知识。
本文将介绍高一数学高级不等式的一些重要知识点。
1. 绝对值不等式绝对值不等式是高级不等式中的一个重要概念。
它可以通过解决问题中的绝对值关系来确定变量的取值范围。
常见的绝对值不等式有：- |x| < a- |x| > a- |x| <= a- |x| >= a解决绝对值不等式时，可以利用绝对值函数性质、图像和特殊情况进行分析和推理。
同时，注意要正确地对于绝对值进行判断和分析。
2. 幂函数不等式幂函数不等式是高级不等式中比较常见的一类。
它可以通过幂函数的性质和图像来求解。
常见的幂函数不等式有：- x^a < b- x^a > b- x^a <= b- x^a >= b求解幂函数不等式时，可以利用幂函数的单调性、奇偶性、图像和特殊情况进行分析和推理。
3. 分式不等式分式不等式在数学中也是一类比较常见的不等式。
它可以通过分式的性质和图像来求解。
常见的分式不等式有：- (x + a)/(x + b) < 0- (x + a)/(x + b) > 0- (x + a)/(x + b) <= 0- (x + a)/(x + b) >= 0求解分式不等式时，可以利用分式的性质、图像和特殊情况进行分析和推理。
同时，注意要对分式的分母进行判断和分析。
4. 复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式通过逻辑运算（如与、或、非等）组合而成的不等式。
在解决复合不等式时，需要考虑逻辑运算的优先级和运算规则。
常见的复合不等式形式有：- 不等式1并且不等式2- 不等式1或者不等式2- 不等式1与不等式2同时满足在解决复合不等式时，可以利用逻辑运算的概念、不等式的性质和图像来进行分析和推理。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
大学中常用不等式
大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
中职数学不等式的性质逐字稿
中职数学不等式的性质逐字稿基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
扩展资料不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
基本不等式两大技巧“1”的'妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式知识点总结
不等式知识点总结1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d cd>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：112a b a b --+≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ 2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时,()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥。
基本不等式
1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①基本不等式原始形式（1）若，则（2）若，则②基本不等式一般形式（均值不等式）若，则③基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”④求最值的条件：“一正，二定，三相等”⑤常用结论（1）若，则(当且仅当时取“=”）（2）若，则(当且仅当时取“=”）（3）若，则(当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”⑥（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.⑦（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.⑧（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑨，（其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑩绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：，，当且仅当时取号）。
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳1．基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2ab ba b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式：).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b aa b R b a ab b a),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．：(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，xx y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.25min =y[自测·牛刀小试]1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )"A ．18B ．36C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.2．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18！4．函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．利用基本不等式证明不等式|[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++ba保持例题条件不变，证明：a ＋12＋b ＋12≤2.>———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：.c b a cab b ca a bc ++≥++：利用基本不等式求最值[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )…A.245 B.285C ．5D ．6(2)已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________． ———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；~(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值；(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．`利用基本不等式解决实际问题[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足124+-=t kx (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； %(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？!———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.￥3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入)600(612-x万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x51万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．^1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如abba222≥+逆用就是),0,0(222>>+≤babaab逆用就是)0,()2(2>+≤babaab等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)(2)).,,(2)2(222”时取“当且仅当==∈≥+≤+baRbaabbaba(3),0,0(1122222>>+≥≥+≥+babaabbaba).”时取“当且仅当==ba\3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用&1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，ab的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2 C ．348 D ．344 [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．>(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 2．解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；(2)正确理解b a ,的几何意义，并能正确用A 、B 、C 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将)0(128>++m m m 化成利用基本不等式求最值的形式．[变式训练]1．已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4%2．若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 3．若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________．练习一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) ；1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+πC ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （b a <），其全程的平均时速为,v 则( ) A ．ab v a << B ．ab v =C.2ba v ab +<< D ．2ba v +=3．若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则ba 11+的最小值是( ) ]A.14B ．1C ．4D ．84．(2013·淮北模拟)函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．25．设,0,0>>b a 且不等式011≥+++ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－26．(2013·温州模拟)已知M 是ABC ∆内的一点，且AB ·AC ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19~二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8．若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) ：10．已知.0,0,0,0>>>>d c b a 求证：.4≥+++acadbc bd bc ad，11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数)(x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)1．已知,1log log 22≥+b a 则ba 93+的最小值为________． 2．设b a ,均为正实数，求证：.221122≥++ab b a ￥3．已知,45<x 求54124)(-+-=x x x f 的最大值．&4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝),1(>x x 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？/[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：、①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．"2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？^提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( )/A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1253．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误!归纳推理[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：,,11,7,4.3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a 则=+1010b a ( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设,331)(+=xx f 先分别求),3()2(),2()1(),1()0(f f f f f f +-+-+然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．#利用本例(2)的结论计算)2015()1()0()1()2013()2014(f f f f f f ++++-++-+- 的值．|归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．!1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋3n＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．类比推理[例2] (2013·广州模拟)已知数列}{na为等差数列，若baaanm==,),,,1(+∈≥-Nnmmn则,mnmanbamn--=+类比等差数列}{na的上述结论，对于等比数列}{nb),,0(+∈>Nnbn若dacanm==,),,,2(+∈≥-Nnmmn则可以得到=+mnb________.———————————————————!类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．2．在ABC∆中，,ACAB⊥BCAD⊥于D,求证：.111222ACABAD+=|%演绎推理[例3] 已知函数).1()(≠>+-=aaaaaxfx且(1)证明：函数)(xfy=的图象关于点)21,21(-对称；(2)求)3()2()1()0()1()2(ffffff++++-+-的值．".———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数,)(bxxaxf+=其中),,0(,0,0+∞∈>>xba试确定)(xf的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．!，2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论!(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，)1sin()(2+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2+=x x f 是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式,3)2(224,2122≥++=+≥+xx x x x x x 由此可以推广为,1+≥+n xpx n 取值p 等于( ) A ．nn B ．2nC ．nD ．1+n3．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(y x ,)的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(y x ,)的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(y x ,)的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(y x ,)的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则;2cb a Sr ++=类比这个结论可知：四面体ABCD S -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为R ，四面体ABC S -的体积为V ，则R ＝( )A.4321S S S S V+++B.43212S S S S V+++C.43213S S S S V+++D.43214S S S S V+++6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．8．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．1.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 0482a B.1 0237682aC.5111 0242a D.2 0474 0962a。
基本不等式求最值的类型与方法经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
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单调性与几个重要不等式
[摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生
(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。
[关键词] 单调性 詹生(Jensen)不等式 杨氏不等式 Holder不等式 不等式
[Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities
in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some
important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality,
andInequality.
[Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder
InequalityInequality
在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过
利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等
式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。
引理1:设在区间有可导,且,,则。
引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立
(1)
证无妨设, 对任意取定的,令
则
当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即
。
在引理2的条件下,假设
,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即
且等号仅在时成立。
证明:由引理2有
再由数学归纳法可以证明
(2)
注意 (1)式通常作为严格凸函数的定义,在连续的情况下只取即可。
(2)式中取则有。取,则由詹生(Jensen)不等式,对任意的,有
,
即,且等号仅在
时成立。
进一步,用替换,最终可以得到
,
即“调和平均-几何平均-算术平均”不等式。
下面再通过引理1和引理2 证明杨氏不等式
,其中,且。
证1(利用引理1) 注意到等价于。
由有。
于是原不等式等价于 。
令,则。
当时,,递增,,即。
当时,,递减,,即。
于是总有。取即得杨氏不等式。
证2 (利用引理2)
令,则。 因此有
,
因此可得。
最后,由杨氏不等式证明Holder不等式和不等式。
对任意的,令
,
由杨氏不等式有
即, 即Holder不等式成立。
特别地,当时,
或
即不等式成立。
以上利用引理1和引理2证明了数学中几个重要的不等式。从中我们也可以
体会到利用函数的单调性或凹凸性证明不等式是非常有效的。
参考文献
[1]《高等数学》(第四版)上册,同济大学高等数学教研室编,高等教育出版社。
[2]《高等数学》下册,张汉林,范周田主编. 北京,机械工业出版社,2008年
注:
本文得到北京工业大学2009教育教学研究立项的资助。