几个重要的放缩不等式总结
不等式的放缩技巧
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高中数学 经典资料 第121课--导数中的不等式放缩
第121课导数中不等式放缩基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.（2）与隐零点相关的放缩问题常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.一、典型例题1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()()f xg x >解析：设()()()h x f x g x =-23e 91x x x =+-+，∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数，∴可设()00h x ¢=，∵()060h ¢=-<，()13e 70h ¢=->，∴()00,1x Î.当0x x >时，()0h x ¢>；当0x x <时，()0h x ¢<.∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+，又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.∵()00,1x Î，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.2.已知函数()2e x f x x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()e 2e 1ln 1x x x x +--³+.答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析解析：（1）()e 2x f x x ¢=-，由题设得()1e 2f ¢=-，()1e 1f =-，()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.y x =-+（2）()e 2x f x x ¢=-，()e 2x f x =-，∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，所以()()ln222ln20f x f ³=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+，故可猜测：当0,1x x >¹时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.下证：当0x >时，()()e 21f x x ³-+，设()()()e 21,0g x f x x x =--->，则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-，()g x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<，∴()ln20g ¢<，所以，存在()00,ln 2x Î，使得()00g x ¢=，所以，当()()00,1,x x Î+¥时，()0g x ¢>；当()0,1x x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2e e 210x g x x x =----³，当且仅当1x =时取等号，故()e 2e 1,0x x x x x +--³>.又ln 1x x ³+，即()e 2e 1ln 1x x x x +--³+，当1x =时，等号成立.二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.（1）求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数；（2）求证：()2f x >.答案：（1）1个；（2）见解析解析：（1）()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-，设()1e x g x x=-，则()21e 0x g x x ¢=+>，()()1e x g x f x x¢==-在()0,+¥上递增，()11e 10,202f f=->=-<，存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=，所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.（2）由（1）可知，()y f x =在()00,x 上递减，在()0,x +¥上递增，()()00000min 011e ln 2(1)2x f x f x x x x x ==-=+><<，所以()2f x >.2.已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.（1）当1m ³时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ³-，证明：当()0,1x Î时，()1f x x >+.答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）()e x g x m ¢=-，由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>，ln x m <得()0g x ¢<，所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1e xx x ax x x ++++>，由（1）得：e 1x x ³+，所以()22e 1x x ³+，所以211e 1x x x +<+，()0,1x Î，()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+，令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-，当()0,1x Î时，π1cos cos1cos 32x >>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x ¢<，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()0h x ¢<，所以()h x 在()0,1上为减函数，因此，()()314cos12h x h a >=++，因为π4cos14cos 23>=，而72a ³-，所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而()0,1x Î，所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x <£时，()12f x x >.答案：见解析解析：只需证：ln 1ln 2x x x x -->，令()ln g x x x =-，()ln 12x h x x =+，由()110g x x =-=¢解得：()1,x g x =在(0,1)递减，在(1,2]上递增，故()()min 11g x g ==，由()21ln x h x x -¢=可知：()h x 在(0,2]上递增，故()()()max min 1ln2212h x h g x +==<=，故()()h x g x <，即()12f x x >.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时，()ln f x x >.答案：见解析解析：由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+，且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上，所以0110b ---=，所以2b =-.所以()e 2x f x =-.先证e 21x x ->-，即e 10(0)x x x -->>，令()e 1(0)x g x x x =-->，则()e 10x g x ¢=->，所以()g x 在(0,)+¥是增函数.所以()(0)0g x g >=，即e 21x x ->-.①再证1ln x x -³，即1ln 0(0)x x x --³>，令()1ln x x x j =--，则11()1x x x x j -=-=¢，()0x j ¢=时，1x =，()0x j ¢>时，1x >，()0x j ¢<时，01x <<.所以()x j 在(0,1)上是减函数，在(1,)+¥上是增函数，所以min ()(1)0x j j ==.即1ln 0x x --³，所以1ln x x -³.②由①②得e 2ln x x ->，即()ln f x x >在(0,)+¥上成立.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R Î．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．（1）求a 最大整数值；（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n +++++<-．答案：（1）2；（2）见解析解析：由题意知，()()e ln x f x x a ¢=-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()0f x ¢³恒成立．（1）先证明e 1x x ³+．设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x ¢=-，则函数()g x 在(),0-¥上单调递减，在()0,+¥上单调递增，∴()()00g x g ³=，即e 1x x ³+．同理可证ln 1x x £-∴()ln 21x x +£+，∴()e 1ln 2x x x ³+³+．当2a £时，()0f x ¢>恒成立．当3a ³时，()01ln 0f a ¢=-<，即()()e ln 0x f x x a ¢=-+³不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．（2）（1）知，()e ln 2x x ³+，令1t x t -+=，∴111e ln 2ln t t t t t t-+-++³+=∴11e ln tt t t-++³．由此可知，当1t =时，0e ln2>．当2t =时，213e ln 2->，当3t =时，324e ln 3->， ，当t n =时，11e ln n n n n -++³．累加得0121e e e e n ---+++++>23341ln2ln ln ln 23nn n +++++ ．又0121e e e e n ---+++++=111e e 11e 111e e n -<=---，∴2334ln2ln ln 23++1e ln e 1n n n +++<-．。
常用的放缩不等式
常用的放缩不等式指数函数放缩放缩成一次函数1） e^x\geq x+1>x （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f\left( x \right)=e^x-x-1 ,则 f'(x)=e^x-1 ;令f'(x)=0 得： x=0 ；所以 x\in(-\infty,0) 时，f'(x)<0, f(x) 单调递减；x\in(0，+\infty) 时，f'(x)>0, f(x) 单调递增；故 f(x)_{min}=f(0)=0 ,所以f\left( x \right)=e^x-x-1\geq0 ，即 e^x\geq x+1 ,又 x+1>x ,因此e^x\geq x+1>x （仅当 x=0 取等）；2）e^x\geq ex （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 x-1 代入不等式1） e^x\geq x+1 得：e^{x-1}\geq \left( x -1\right)+1=x ，不等式两端再乘以 e 即可得到 e^x\geq ex ,仅当x-1=0，即x=1时取等号；放缩成反比例函数3）e^x\leq \frac{1}{1-x},\left ( x <1\right) （仅当x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 -x 代入不等式1）e^x\geq x+1 得： e^{-x}\geq -x+1 ；令 -x+1>0 即 x <1 ，再让不等号两端同时乘以 e^x 、同时除以 -x+1 ，不等号方向不变；得 \frac{1}{1-x}\geq e^x ，当且仅当-x=0，即x=0 取等号；4）e^x< -\frac{1}{x},\left ( x <0\right)\color{red}{证明：}当 x<0 时， 1-x>-x>0 ,所以 \frac{1}{1-x}<\frac{1}{-x} ;由 e^x\leq \frac{1}{1-x},\left ( x <1\right)得 :e^x\leq \frac{1}{1-x}<-\frac{1}{x} ;放缩成高次幂函数5）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\geq0) （仅当 x=0 取等号）；6）e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\leq0) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1 ,则 f'(x)=e^x-x-1 ，由1） e^x\geq x+1可得 f'(x)\geq0 ,所以 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 单调递增；又 f(0)=0 ,因此当 x\in[0,+\infty) 时，f(x)\geq f（0)=0 ,即e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）；当 x\in(-\infty,0] 时，f(x)\leq f（0)=0 ,即e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）；7）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1 ,则f'(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1 ，由5）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\geq0) ；6）e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\leq0) 可知： x\in(-\infty,0) 时，f'(x)<0, f(x) 单调递减；x\in(0，+\infty) 时，f'(x)>0, f(x) 单调递增；故 f(x)_{min}=f(0)=0 ,所以f(x)=e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1\geq0 ,即e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3.对数函数放缩放缩成一次函数1） ln(x+1)\leq x （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}因为 e^x\geq x+1 ,所以对不等式两边取对数即可得 lne^x=x\geq ln(x+1) ，取等号的条件与不等式e^x\geq x+1相同，即当 x=0 取等号；2）lnx\leq x-1<x （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 x-1 代入不等式1） ln(x+1)\leq x得：lnx\leq x-1，当x-1=0，即x=1 取等号；又 x-1< x ,所以lnx\leq x-1<x；放缩成双撇函数3）lnx\geq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x}\right),\left( 0<x\leq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；4）lnx\leq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x}\right),\left( x\geq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=ln x-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}) ,则f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{x^2})=-\frac{x^2-2x+1}{2x^2}=-\frac{(x-1)^2}{2x^2}\leq0 ，所以 f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 单调递减；又f(1)=0 ,因此当 x\in(0,1] 时，f\left( x \right)\geq f(1)=0 ,即lnx\geq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)（仅当x=1 取等号）；当 x\in[1,+\infty) 时，f\left( x \right)\leq f(1)=0 ,即lnx\leq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)（仅当x=1取等号）；5） lnx\geq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}},\left( 0<x\leq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；6） lnx\leq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}},\left( x\geq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 \sqrt{x} 代入不等式 3） lnx\geq\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)得：ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}lnx\geq\frac{1}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right) ,故lnx\geq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}} ，当\sqrt{x}=1 ，即 x=1 取等号；将 \sqrt{x} 代入不等式 4） lnx\leq\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)得： ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}lnx\leq \frac{1}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right) ,故lnx\leq\sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}} ，当\sqrt{x}=1 ，即 x=1 取等号；放缩成类反比例函数7） ln x\geq1-\frac{1}{x} （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 \frac{1}{x} 代入不等式2） lnx\leq x-1 得：ln\frac{1}{x}=-lnx\leq \frac{1}{x}-1 ,不等式两端同时乘以 -1 即可得：ln x\geq1-\frac{1}{x}，当\frac{1}{x}=1 ，即x=1 取等号；8）xlnx\geq x-1 （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将不等式7） ln x\geq1-\frac{1}{x}两端同时乘以 x 即可得：xlnx\geq x-1，取等号的条件与不等式ln x\geq1-\frac{1}{x}相同，即当 x=1 取等号；9） ln (x+1)\geq \frac{x}{1+x} （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 x+1 代入不等式7） ln x\geq1-\frac{1}{x}得： ln(x+1)\geq1-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=\frac{x}{x+1},当x+1=1，即x=0 取等号；10）ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1},(x\geq1) （仅当 x=1 取等号）；11） ln x\leq\frac{2(x-1)}{x+1},(0<x\leq1) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}设 f\left( x \right)=lnx-\frac{2(x-1)}{x+1} ,则f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4x}{x(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq0 ,所以f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 单调递增；又 f(1)=0 ,因此当 x\in[1,+\infty) 时，f\left( x \right)\geq f(1)=0 ,即ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1}（仅当x=1取等号）；当 x\in(0,1] 时，f\left( x \right)\leq f(1)=0 ,即lnx\leq\frac{2(x-1)}{x+1}（仅当 x=1 取等号）；12） ln (x+1)\geq\frac{2x}{x+2},(x\geq0) （仅当 x=0 取等号）；13） ln (x+1)\leq\frac{2x}{x+2},(-1<x\leq0) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 x+1 代入不等式10）ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1}得：ln (x+1)\geq\frac{2[(x+1)-1]}{x+1+1}=\frac{2x}{x+2} ,当x+1=1，即x=0 取等号；将 x+1 代入不等式11） ln x\leq\frac{2(x-1)}{x+1}得：ln (x+1)\leq\frac{2[(x+1)-1]}{x+1+1}=\frac{2x}{x+2} ,当x+1=1，即x=0 取等号；放缩成二次函数14） lnx\leq x^2-x （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}由 (x^2-x)-(x-1)=(x-1)^2\geq0 可知： x^2-x\geq x-1 ，当 x=1 取等号;再由不等式2） lnx\leq x-1（仅当 x=1 取等号）可得：lnx\leq x^2-x，当 x=1 取等号；15）ln(1+x)\leq x-\frac{1}{2}x^2,\left( -1<x\leq0\right) （仅当 x=0 取等号）；16）ln(1+x)\geq x-\frac{1}{2}x^2,\left( x\geq0 \right) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=ln( x+1)-x+\frac{1}{2}x^2 ,则f'(x)=\frac{1}{x+1}-1+x=\frac{x^2}{x+1}\geq0 ,所以f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 上单调递增，又f(0)=0 ,因此当 x\in(-1,0] 时，f\left( x \right)\leq f(0)=0 ,即ln(1+x)\leq x-\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）当 x\in[0,+\infty) 时，f\left( x \right)\geq f(0)=0 ,即ln(1+x)\geq x-\frac{1}{2}x^2（仅当x=0取等号）；指对混合放缩e^x-lnx>(x+1)-(x-1)=2\color{red}{证明：}将不等式e^x\geq x+1 （仅当 x=0 取等）和lnx\leq x-1 （仅当 x=1 取等号）相减即可得： e^x-lnx>(x+1)-(x-1)=2 ；因为两不等式等号不能同时取到，故该不等式为严格不等号；。
导数中常用放缩不等式
导数中常用放缩不等式在数学中，导数是一个重要的概念。
在求导的过程中，经常需要应用一些放缩不等式，以获得更精确的结果。
这些放缩不等式帮助我们在求导中更好地掌握变量的增减趋势和变化的速率。
本文将介绍一些常用的导数放缩不等式，分为基本放缩不等式、中值定理和极值定理。
1. 基本放缩不等式(1) 幂函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x0)(x/x0)a-a, (a>0)当a>1时，f(x)单调递增一次，当0<a<1时，f(x)在x0左侧单调递增，右侧单调递减。
(2) 三角函数放缩不等式若-functionsadfb6549aaa2a4c7sinx≤x≤tanx (0<x<π/2)cosx≤1≤secx (0<x<π/2)(3) 对数函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0)≤f(x)≤f(x0)+(x-x0)/x0f(x0), x0>0若函数f(x)在[x0, x]上单调递减(或递增)，则有：f(x0)+(x-x0)/x0f(x0)≤f(x)≤f(x0), x0>02. 中值定理(1) 麦克劳林定理对无穷次可导函数f(x)，有如下麦克劳林公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a)(x-a)2/2!+…+f(n)(a)(x-a)n/n!+ (x-a)n∫xaf(n+1)(t-t)n/n!dt(2) 拉格朗日中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，则有：f(b)-f(a)=f’(c)(b-a), c∈(a,b)(3) 均值定理设函数y=f(x)在区间［a,b］上可去掉有限数个点，显然在此区间上存在一点η，使得:f(η)=(f(b)-f(a))/(b-a)3. 极值定理(1)费马(Fermat)定理定理：函数y=f(x)在一点x0处取极值，当且仅当：f’(x0)=0或不存在。
常用不等式-放缩技巧
一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
常用不等式,放缩技巧
常用不等式,放缩技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。