傅里叶与信号与系统
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换
bn an
)
2
(n 1,3,5)
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
)
或
2E
f (t)
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 51
2
2
3.1.4 波形的对称性与傅里叶级数的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)
是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶 级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也 将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整 周期对称；另一类是对半周期对称。
那么这个正交函数集也就不完备。
1,cos1t,cos 21t,cos n1t,, sin1t,sin21t,sinn1t,
包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完
备正交函数集。 它具有以下优点：
(1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之
间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号,简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
信号与系统课程第06讲 非周期信号的分解——傅里叶变换
1
第06 讲
上一页 返 回
2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
本章主要内容
4.1 引言 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
上一页 返 回
2 2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
4.1 引言 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱
4.4 非周期信号的频谱
4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
上一页 返 回
3 2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
1
0
+ j 0 j +
F ( j ) = 1
2 +2
(
)
=
−
arctan
2
o
( )
o
− 2
上一页
2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
12
双边指数信号
f (t ) = e− t − t
0
e− t (t)
f (t)e− j t dt =
−
0 e( − j )t dt +
当T→∞时，有 → d , n → , →
上一页
2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
7
∵
F( j) = lim 2Fn ，则
T →
F( j)
lim
T →
Fn
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信
号
与
系
统
—走进傅里叶
目录
一．傅里叶生平 (2)
二．傅里叶的成就 (2)
1. 数学方面 (2)
2. 物理方面 (3)
三．傅里叶事迹 (4)
四．傅里叶变换算法的意义 (5)
五．感想.............................. 错误！未定义书签。
一．傅里叶生平
傅里叶全名让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（1768年3月21日－1830年5月16日），法国数学家、物理学家，提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论上，傅里叶变换也以他命名。
傅里叶于1768年3月21日出生于法国约讷省欧塞尔的一个裁缝家庭。
很早的时候他的父母就双亡，八岁时就沦为了孤儿，曾在军队中教授数学，在1795年他到巴黎高等师范教书，之后又在巴黎综合理工学院占一教席。
1798年他跟随拿破仑东征，被任命为下埃及的总督。
由于英国舰队对法国人进行了封锁，所以他受命在当地生产军火为远征部队提供军火。
这个时期，他向开罗埃及学院递交了几篇有关数学的论文。
1801年，拿破仑的远征军队远征失败后，他便被任命为伊泽尔省长官。
1816年他回到巴黎，六年后他当选了科学院的秘书，并发表了《热的分析理论》一文，此文建立是在牛顿的热传导理论的速率和温度差成正比的基础上。
1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遗稿被整理出版成书。
二．傅里叶的成就
1.数学方面
傅里叶在数学方面的主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函
数的无穷级数。
傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。
同时他还最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。
傅里叶变换的基本思想首先由傅里叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
2.信号与系统方面
傅里叶在信号与系统方面的成就主要是他提出了傅里叶变换原理，对解决这方面的难题提供了极大的帮助。
傅里叶变换原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位，和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。
该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。
最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
三．傅里叶事迹
傅里叶8岁时在一地方军事学院接受教育时就表现出了数学上的天赋；在傅里叶差点被修士劝导为神职人员的时候，法国大革命爆发，傅里叶对大革命报有很大热情并加入了人民党；但是，就像许多巨变一样，大批的知识分子被处死，其中就包括了像拉瓦锡这样的伟大数学家，看到这种趋势，大批的知识分子离开法国以求保命，而在两次从断头台下逃生以后，傅里叶对大革命充满了绝望。
此时，正是拿破仑结束了对知识分子的迫害，并建立新的学校补充知识分子阶层。
1794年，26岁的傅里叶被任命为新建立的巴黎师范高等专科学校的数学首席。
傅里叶对固体热传播做出了深入研究并就此带入了傅里叶级数与积分的研究中去。
1807年12月21日，他在一篇关于热学原理的论文中宣布这个伟大的结果。
但是包括伟大的数学家拉普拉斯、拉格朗日、勒让德、孟济、拉克劳克斯在内的评审委员会虽承认傅里叶此成果的新颖和重要性，但却批评其缺乏数学的严谨因而被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。
1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》。
这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。
傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了现在所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。
然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人
们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。
因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。
傅里叶在研究物理的同时，也在不断的求解着一个个的数学难题，他在求解热传导方程时，傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了现在所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。
正是因为有了傅里叶的这些成果，才迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。
四．傅里叶变换算法的意义
傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。
傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
无论是在数学领域还是物理领域，傅里叶变换都有着重大的意义，首先，傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具。
同时在数学上，利用傅里叶变换"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，从而可以轻松求解，同时著名的卷积定理又指出了傅
里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。
正是由于这样,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。