课题正弦交流电基本概念及正弦量的相量表示法
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
03-1正弦交流、相量
4. 平行四边形法则（加减运算）
A1 A1 e
设：
j 1 j 2
A1 1 A 2 2
A2 A2 e
A2
A
A A1 A2
2
1
A1
3.2
正弦量的相量表示方法
练习题
已知A= -8+j6和B=3+j4，试求A+B、A-B、AB和A/B。
答案
A+B 5 j10 A-B 11 j2 A B 10143.13 553.13 50 163.74 A/B 290
电压称为正弦交流电流或电压（正弦量）。
交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生 器所输出的电压都是随时间按正弦规律变化的。 因此，正弦电路是电工学中很重要的部分。
本章即讨论有关正弦电路的一些基本概念、 基本理论和基本分析方法。
3.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电路
由同频正弦激励、线性电阻、线性电容和线性
i I m sin( t )
3.2
正弦量的相量表示方法
复指数函数虚轴投影和正弦函数间对应关系示意图：
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴 上的投影值来表示。
+j
u
u U m sin t
ω
0
+1
0
Um
t
3.2
正弦量的相量表示方法
相量的表示法和复数表示法类似
3.1
正弦交流电的基本概念
例
已知：i sin 1000t 30 A
I m 1A I 1 0.707A 2
幅度：
频率：
1000 rad/s 1000
第六讲 正弦交流电的基本概念及
I= √2
Im
U= √2
Um
E=
返回
Em
√2
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Байду номын сангаас
2.1.(1) 分析计算正弦交流电时是否也与直流电一样 是从研究它们的大小和方向着手？ 【答】不是，应从研究它们的频率、大小和相位着手。
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例2-2 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为 =2f=2×50=100 =314rad/s
【答】（a）式中 ( a ) i
10 30
10 sin( t 30 ) A 是瞬时表达式，
是相量表达式，二者不等；（b）式中I为有效值， 5 45 A U 20 60 V 是相量，二者不等；（c）式中 是相量表达式， 是瞬时值表达式，二者不等。 )V 20 2 sin( t 60
2.2 正弦量的相量表示法
一、相量法
正弦交流电动势 e E m sin( t ) 的相量式为：
E E (cos j sin ) E
说明： （1）相量是表示正弦量的一种方式，相量不是时间 函数。
（2）相量是正弦量的复数表示形式，但不是正弦量。
（3）相量的加减只能是同频率正弦量的相加或相减
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
= u － i = －60O －30O = －90O
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交流电相位差分析
e1 = Em1sin（ ωt + 1 ） e2= Em2sin（ ωt + 2）
正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
正弦交流电的基本概念、相量表示法
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
02-l+2正弦交流电的基本概念、正弦量的相量表示法
E1
1
E2
E E1 E2 E
E E1 E2 E
2—2
正弦量的相量表示法
四、相量的加法和减法（可用相量式或相量图）
解： 将图逆时针旋转300后得：
E1
E
60 0
E2
再顺时针旋转回300后得：
2—2 正弦量的相量表示法 小结：
正弦量的表示方式： （1）三角Байду номын сангаас数（瞬时值）表示法：e=Emsin(ω t+ ) （2）正弦波形图表示法： （3）相量（复数）表示法：是分析正弦交流电的主要方 法。
正弦量的相量表示法
一、相量法 实际生活中通常都是在同频正弦量之间作比较和运算，只 需考虑有效值和初相位，用相量表示正弦量更方便。 相量：表示正弦量的复数。 又称为复数符号法。 相量法：用相量式来表示正弦量， 可以表示为（不是等于）
其中
E Em
2
j
1
E 表示正弦电动势e的复数，读作相量E。只表达了电动势e 的有效值E和它的初相位 ，但未表达e的时间进程ω t，因而 不是真正的正弦量，只能在同频率正弦量之间进行运算。
四、相量的加法和减法（可用相量式或相量图） E E1 E2 正弦量的加减法也可以在相量图上进 行。在作相量图时一般不画出坐标轴。 选定一个相量作为参考相量，假设其 初相位为零，画在水平轴上，其他相 量就可根据其与参考相量的相位差而 E 2 画出，按平行四边形法则加减。
2一l正弦交流电的基本概念
二、角频率 周期T (s) ：正弦量交变一次 Em (一个周期内的波形称周波) 所需的时间。 频率f (Hz) ：每秒内的周波数。 （我国工频为50 Hz） f=1/T 角频率ω (rad/s):正弦量每秒钟所 经历的弧度。
电子技术基础： 正弦交流电路
1 T
t Im2 sin2 ωtdt
0
1 T
T 0
Im2
(1
cos 2
2ωt
)dt
Im 2
即 I Im 2
i(t) Im sin t
同样可定义电压有效值 U Um
2
2I sin t
注意：电气工程上电压电流的大小，一般都用有效值来表示， 电气工程测量仪表一般也指有效值。但耐压值指的是最大值。
单相电压220V是指有效值，其最大值约为311V. 电路计算中一般用有效值运算。
3.1.2 正弦交流电的频率与周期
周期T : 正弦量变化一个循环所需要的时间。单位是秒 (s）。
频率f : 单位时间内的周期数。单位是赫兹（Hz )。
显然 f =1/T 或 T =1/f
角频率ω :
i
T Im
反映正弦量变化的快慢。
电压电流相量形式满足KCL，KVL，有效值不满足 KCL、KVL. 求交流电路应用相量关系计算 。
．
例．3 图示电路中，已知．U=220∠0°V U1=100∠60°V，求U2 的值。
解：由基尔霍夫电压定律，得
U&
.
U. 1
U.&2
UU&22UU&-UU&11 2200oV 10060oV
2
3)转换为瞬时式
i 25 sin(ωt 6.9o ) A
3) 5 6.9o
j. I1
注意，只有同频率量才可进行 相量运算。
相量图
.1 .I
I2
3.3 单一元件的正弦交流电路
3.3.1电阻元件
i(t)
+ uR(t) R -
电路分析基础第3章 正弦交流电路
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
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教学内容：正弦交流电基本概念
教学目标：
1、了解正弦交流电路的组成特点；
2、掌握正弦量角频率、初相、最大值三要素；
教学重点：
正确理解交流电的三要素：初相位、角频率、最大值
教学难点：
正确理解交流电初相位的概念
教学过程：
交流电作为能源的一种，得到广泛应用，正弦交流电容易产生，并能用变压器改变电压，便于输送和使用，且交流电机结构简单、工作可靠、经济性好。
一、提问：
1、电的种类大致分为哪三种？日常家庭用电最多是哪一种电？
注：
(a)直流电(b)交流电(c)脉冲电
电流波形图
正弦交流电：凡是随时间按正弦规律变化的电压、电流或电动势都叫做正弦交流电。
2、直流电和交流电有什么区别呢？
（提问引起学生的注意，增加其好奇心）
那么交流电究竟是一种什么形式的电呢？它与直流电有些什么区别？由那些物理量来描述？
二、基本概念分析
相位差：交流电路中，经常要进行两个同频率正弦量的相位比较，两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差，用ϕ表示。
如电压、电流相位比较
a . 若ϕ=0，表明ψu=ψi，则u与i同时到达正（或负）最大值，也同时达到零，我
们称它们是同相位，简称同相。
b . 若ϕ=±180︒，则称它们的相位相反，简称反相
c . 若ϕ<0，表明ψu <ψi ，则u 滞后于i （或i 超前于u ）一个相位角ϕ
两正弦量同相位和反相位波形 相位：在正弦交流电表达式中，ωt+φ是正弦交流电随时间变化的（电）角度称为该正弦交流电的相位角，简称相位。
它是表示正弦交流电的物理量，单位是rad （弧度）。
初相：t=0时的相位角称为初相φ，它反映了对一个正弦量所取的计时起点。
周期：正弦量变化一周所需时间为周期，用T 表示单位为（s ）。
频率：正弦量在1s 内变化的周期数为频率，用f 表示单位频率（Hz ）f=1/T 角频率：正弦交流电变化一个周期相当于正弦函数变化2π弧度，所以正弦量变化的快慢也可用角频率ω表示。
它指的是正弦量变化的快慢也可用角频率ω表示，单位：rad/s 。
ω=2π/T=2πf
瞬时值：i 描述的是任一瞬间的电流值，称为瞬时值，以小写字母表示。
最大值：Im 交流电流瞬时中的最大数值，称为最大值（幅值），以大写字母带下标m(max)表示。
（不能反映交流电做功的能力，于是引入有效值的概念。
）
有效值：如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同时间内消耗的电能相等，即产生的热量相等时，则此直流电的数值就叫做交流电的有效值。
理论和实验均可证明，正弦交流电压、电流、电动势的有效值与最大值之间的关系为：
U =
I =
E = 从以上的分析可以看出，交流电不同于直流电。
它的大小和方向是随时间不断变化的，而且同一电流流过不同类型的负载时，负载上电压会不同，有相位差，并且其计算不同于直流电。
我们可以得出正弦量的特征表现在变化的快慢、数值的大小及时间上的先后三个方面，他们分别有频率（或周期）、幅值（或有效值）或初相来确定。
所以正弦量的三要素指的就是频率、幅值和初相。
三、归纳
1、正弦交流电的周期、频率、角频率概念。
描述正弦量变化快慢的量有周期、频率和角频率。
频率、周期、角频率三个量都说明正弦交流电变化快慢的同一物理实质的。
2、瞬时值、最大值、有效值
描述正弦量“大小”的量有瞬时值、最大值、有效值。
理论和实验均可证明，正弦交流电压、电流、电动势的有效值与最大值之间的关系为：U=I=E=
3、正弦交流电的相位、初相和相位差
描述正弦量在时间轴上“先后”的量有相位、初相和相位差。
举例
例1：某正弦电压的有效值U=220V，初相ψu=30︒；某正弦电流的有效值I=10A，初相ψi= -60︒。
它们的频率均为50Hz。
试分别写出电压和电流的瞬时值表达式，并画出它们的波形。
电压的最大值为U m= 2U=2⨯220=311V
电流的最大值I m= 2⨯10=14.1A
电压的瞬时值表达式为u = U m sin(ωt+ψu) =311sin(314t+30︒)V
电流的瞬时值表达式为i = I m sin(ωt+ψi) =14.1sin(314t-60︒)A
课堂小结:
1、直流电和交流电的区别
2、正弦交流电的三要素。
3、各个要素内部的相互转换。
作业：P122 3（1）、3（2）。