命题37 双曲线(解析版)
专题2.9 圆锥曲线-双曲线(解析版)
专题2.9 圆锥曲线-双曲线1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．1．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上．当BF AF ⊥时，BF =． （1）求双曲线C 的方程．（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON △的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三）【答案】（1）2214x y -=；（2）是定值，2．【分析】（1）由BF =可得2)b a c a =+，求出a 即可得出方程；（2）设出点M ，N 的坐标，可得点P 的坐标，代入双曲线C 的方程，可得1mn =，设2MON θ∠=，利用渐近线方程的斜率得角θ的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得sin 2θ，由M ，N 的坐标得OM ，ON ，结合sin 2θ及三角形面积公式即可求出MONS．【解析】（1）由题意，易得(c,0)F ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，则由BF =，可得2)b a c a =+，)22220c ac ∴--=，即)2220e e -=．又1c e a =>，解得e =，222254c a a b ∴==+， 解得2244a b ==，∴双曲线C 的方程为2214xy -=．（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为12y x =±， 设(2,)M m m ，(2,)N n n -，其中0m >，0n >．P 为线段MN 的中点，,2m n P m n -⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22()()144m n m n +--=，解得1mn =．设2MON θ∠=，则1tan 2θ=． 又sin 1tan cos 2θθθ==，22sin cos 1θθ+=，02πθ<<，sin θ∴=，cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ∴==．又OM =，ON =，114sin 222225MON S OM ON mn θ∴=⋅⋅=⋅==△， MON ∴△的面积为定值2．【名师点睛】本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点M ，N 的坐标，设2MON θ∠=，得出1mn =和sin 2θ．2．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞． 【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果． 【解析】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =．因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =．①又双曲线过点，所以22231a b-=．② 由①②解得1a =，b =1C 的标准方程为2213y x -=．（2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=．因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN ==2d <，故2103m ≤<． 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-==-，则1212S S PQ MN +=⋅== 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞． 即12S S +的取值范围为[)12,+∞．【名师点睛】设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键．3．已知双曲线2222:1x y C a b-=，点(P 在C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）2214x y -=；（2）存在；27364QM QN ⋅=；定点23,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由已知得到a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 、c ，即可求出双曲线C 的方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立方程组，用“设而不求法”表示出QM QN ⋅为常数，求出t ，即可求出定点Q ．【解析】（1）由题意，222221631a b ca abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得24a =，21b =． 所以双曲线方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立221,41x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()224230m y my -+-=． 所以240m -≠，且()2241240m m =+->△，解得23m >且24m ≠． 设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以12224m y y m +=--，12234y y m =--， 所以()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()222121212122232111144m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=--+--2224420444m m m +=-=----． 所以()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+-+=-++---- 为常数，与m 无关， 所以8230t -=，即238t =，此时27364QM QN ⋅=． 所以在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为常数． 【名师点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点(3,1)P 在C 上，且1210PF PF ⋅=．（1）求C 的方程；（2）斜率为3-的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D ．若直线,PA PD的斜率存在且分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值． 【试题来源】江苏省徐州市高三二检考试（数学学科）【答案】（1）22188x y -=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由点的坐标求c ，再根据双曲线定义求a ，即可求解；（2）设直线l 方程为3y x m =-+，直接求出,PA PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，化简即可求解．【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，其中c =．因为1210PF PF =10=，解得216c =或0c ，又0c >，故4c =．所以2a =-=a =所以2228b c a =-=．所以C 的方程为22188x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --． 设直线l 方程为3y x m =-+，与双曲线C 方程联立， 消去y 得，228680x mx m -++=．由()22(6)3280m m ∆=--+>，得||8m >．1234m x x +=，21288m x x +=．所以()()()2212121212339398m y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++=-+．所以1212121212121211133339y y y y y y k k x x x x x x ---+--⋅=⋅=---+--()()2122128381838m x x mx x -+--==--+-． 所以12k k ⋅为定值．【名师点睛】设直线l 方程为3y x m =-+，联立直线与双曲线方程，消元，由根与系数关系可得123 4 mx x+=，21288mx x+=，计算斜率12k k⋅化简是解题关键，属于中档题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两个焦点分别为()12,0F-，()22,0F，点(P在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点()0,2Q的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若OAB的面积为，求直线l的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y-=；（2）2y=+和2y=+．【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c=，所以224a b+=，代入双曲线方程，可得()222221044x yaa a-=<<-，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线l的方程为2y kx=+，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数关系，可得1212,x x x x+的表达式，代入弦长公式，即可求得AB，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案．【解析】（1）依题意，2c=，所以224a b+=，则双曲线C的方程为()222221044x yaa a-=<<-，将点P代入上式，得22252314a a-=-，解得250a=(舍去)或22a=，故所求双曲线的方程为22122x y-=．（2）依题意，可设直线l的方程为2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得()221460k x kx---=．因为直线l与双曲线C交于不同的两点,A B，所以()22210(4)2410kk k⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1kk≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩(*)设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题．6．已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ．（1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）221832y x -=；（2）8- 【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k值，即可得答案；（2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案．【解析】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，又该双曲线过点()2,3，所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c === 在12F PF △中，2222121212121212()280cos150222PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===-，解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【名师点睛】解题的关键是掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题． 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为O 到直线BD的距离是B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2214x y -=；（2）存在，直线l 的方程为21630x y -+=． 【分析】（1）记双曲线的焦距为2c，得到c =；根据题中条件，得到直线BD 的方程，由点到直线距离公式，求出21b =，进而可求出2a ，得出双曲线方程；（2）先假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，设3:2l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与双曲线方程，根据判别式确定k 的范围；记MN 的中点为P ，根据根与系数关系求出P 的坐标，由BMN △为等腰三角形，得到BP MN ⊥，由斜率之积为1-，列出方程求出k ，即可得出结果． 【解析】（1）记双曲线的焦距为2c ，由题意，可得225c =，即5c =，又B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为132x yb +=-， 即213x y b -+=， 又坐标原点O 到直线BD 的距离是31313， 所以2231311233b =⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得21b =，所以2224a cb =-=，因此双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由（1）可得()0,1B ，假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，则直线l 的斜率显然存在，设3:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ， 由223214y k x x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 整理得()22221412940k x k x k ----=，因为直线l 与双曲线C 有两不同交点，所以()()2422140144414940k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-+>⎪⎩， 解得247k <且214k ≠，则2122212212149414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，所以()2121222123331414k k y y k x x k k k ⎛⎫+=++=+= ⎪--⎝⎭， 记MN 的中点为P ，则222362,1414k k P k k ⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭， 为使BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形， 只需BP MN ⊥，所以1BP MN BP k k k k ⋅=⋅=-，即222321141614k k k kk --⋅=--，整理得281520k k +-=，解得2k =-或18k =， 因为2k =-不满足247k <，应舍去，故18k =， 所以存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，此时直线l 的方程为1382y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21630x y -+=． 【名师点睛】求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，根据判别式判断斜率的范围，结合根与系数关系以及题中条件，求出斜率，即可得解．8．设双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，A 、B 为其左､右两个顶点，P 是双曲线1C 上的任意一点，引QB PB ⊥，QA PA ⊥，AQ 与BQ 交于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为2C ，1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e，当1e ≥2e 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）；（2）1e <≤【分析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，根据椭圆的几何性质得出A 、B 的坐标，由QB PB ⊥，QA PA ⊥，由直线的斜率公式得出Q 点的坐标间的关系式，从而得出Q 点的轨迹方程；（2）由（1）得2C 的方程为224221x y a a b -=，利用椭圆的几何性质求出2221111e e =+-，最后根据1e ≥2e 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，000(,0),(,0),,,1,1,11QB PB QA PA A a B a QB PB QA PA k k k k y y x a x a y y x a x a-⊥⊥∴⋅=-⋅=-⎧⋅=-⋯⋯⎪++⎪∴⎨⎪⋅=-⋯⋯⎪--⎩①②，由①⨯②得002222221y y x a x a ⋅=--③，00002222222221,x y y b a b x a a -=∴=-， 代入③得222221b y a x a⋅=-，即22224b y x a a =-， 即22224a xb y a -=，经检验点(,0),(,0)a a -不合题意，因此Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）．（2）由（1）得Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外），所以2C 的方程为224221x y a a b -=，422222222222111111a a a ab e a bc a e +==+=+=+--， 12e ≥，2212e ∴≤+=，1e ∴<≤ 【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和数学运算的能力． 9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（通用版）【答案】（1）221124x y -=；（2）． 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及,,a b c 之间的关系进行求解即可；（2）直线l 与双曲线C 的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．【解析】（1）设双曲线C 的方程为 22221x y a b-= (a >0，b >0)．由已知得，a ＝c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为221124x y -=．（2）设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋与221124x y -=联立，得(1－3k 2)x 2－kx －36＝0．由题意可得2130(1)k -≠，22()4(13)(36)0(2)k ∆=--⋅-⋅->，120(3)x x +=<，122360(4)13x x k -=>-，解不等式(1)(2)(3)(4)，得3<k <1．所以当3<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点．所以k 的取值范围为 10．已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点．（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；（2）由点到直线的距离求出||||PQ PR ，，求积后由双曲线方程化简即可．【解析】（1）双曲线渐近线方程为3y x =±，又1b =，所以23a =， 双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22222000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为22000000|||||3|||||224x x x y PQ PR +-⋅=⋅=又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值．【名师点睛】00(,)P x y ，利用点到直线的距离求出2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==后，根据点00(,)P x y 在双曲线上，化简求值是解题关键．11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F ，且过点 （1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线两条渐近线分别为1l ，2l 已知直线:2l y x m =+交1l ，2l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求AOB 的面积【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y -=；（2）2．【分析】（1）设方程为22(0)x y λλ-=≠，将点代入方程即可求解． （2）求出直线2y x m =+与x 的交点(,0)2mD -， 再求出,A B y y ，由 12ACBA B SOD y y =⋅⋅-即可求解．【解析】（1，故该双曲线为等轴双曲线，设方程为22(0)x y λλ-=≠，代入点，得422λ-==，故双曲线的方程为22122x y -=（2）在直线方程2y x m =+中，令0y =，得(,0)2mD -， 故12ACBA B SOD y y =⋅⋅-，联立2222x y y x m ⎧-=⎨=+⎩， 得223420x mx m +++=，由题意得2221612(2)4240m m m ∆=-+=-=，故26m =，联立2y x y x m =⎧⎨=+⎩，得A y m =-；联立2y x y x m=-⎧⎨=+⎩，得3B my =，因此211222233AOBA B m m m SOD y y m =⋅⋅-=⋅-⋅--== 12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆．（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=．【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解． 【解析】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--，由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--，即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=．所以M 的轨迹方程为224x y +=．13．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离等于a ．（1）求双曲线C 的离心率； （2）若c =(2,1)P -的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，试求直线l 的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1；（2）23y x =--．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===，结合条件a b =，即可得解； （2）利用点差法，设点1122(,),(,)A x y B x y ，带入作差可得2k =-，利用点斜式即可得解． 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线为0bx ay -=， 焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===， 根据题意得a b =，所以离心率c e a === （2）由（1）知ce a==c =1a b ==， 所以双曲线方程为221x y -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，带入双曲线方程可得2211222211x y x y ⎧-=⎨-=⎩，作差可得222212120x x y y --+=（*）， 由P 为线段AB 的中点，可得12124,2x x y y +=-+=， 带入（*）可得12124()2()0x x y y ----=，所以12122y y k x x -==--， 所以直线l 的方程为23y x =--， 带入221x y -=可得2312100x x ++=，144120240∆=-=>，有两个交点，满足题意，故直线l 的方程为23y x =--．14．已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=+l y kx C 的左右两支各有一个交点，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2213x y -=；（2）(．【分析】（1）由题可得2,c a ==b 即得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出． 【解析】（1）双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A，∴双曲线的焦点在x轴上，且2,c a ==2221b c a ∴=-=，∴双曲线C 的方程为2213xy -=；（2）联立直线与双曲线方程2213x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得()221390k x ---=，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，()22272361309013k k k ⎧∆=+->⎪∴⎨-<⎪-⎩，解得k ⎛∈ ⎝⎭．15．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x ． 【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程． 【解析】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩， 所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， 所以324AB k ⋅=，得8AB k =， 所以直线AB 方程为810yx ，满足0∆>，符合题意 ．【名师点睛】（1）由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c ．（2）()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程．。
重难点13六种双曲线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）题型一：待定系数法求双曲线方程 一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为2y x =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】C【分析】由题意可得2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a -=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，可得直线l 为3(3)y x a =-，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和 1AF B △的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a-=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，所以直线l 为tan(3)3(3)3y x a x a π=-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222123(3)x y a a y x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2263110x ax a -+=， 则2121263,11x x a x x a +==，所以2121213()4AB x x x x =+⋅+-2221084416a a a =-=， 因为122AF AF a =+，122BF BF a =+，所以11224420AF BF AF BF a AB a a +=++=+=， 因为1AF B △的周长为36，能力拓展所以1136AF BF AB ++=， 所以201636a a +=，得1a =， 所以双曲线方程为 2212y x -=，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22x y λ-=()0λ>2=，解得：2λ=. 所以等轴双曲线的标准方程为222x y -=.此时，顶点坐标)，其中一条渐近线方程为：y x =.1=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为( ) A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a 、b 、c 即可求其标准方程． 【详解】双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同，则焦点坐标为(20)，，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c ，则c =2，ca a==b =∴所求双曲线方程为：22122x y -=．故选：C ．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 的实轴长为（ ）A ．3B ．23C ．6D ．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=， 解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为2直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（ ）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B．满足AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan 2θ=，即b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S =△△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB 线l 只有1条，B 错误；C 选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确； D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析】由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y xC a b-=，根据焦点()0,5到渐近线的距离为3，可求得,b a ，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y x C ab-=，双曲线C 的渐近线方程为ay x b =±，取a y x b=，即焦点()0,5F 到渐近线0ax by -=555b bb c ===．所以3b =，所以4a ==，所以双曲线C 的方程为221169y x-=，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为43a y x xb =±=±故选项B 错误； 离心率54c e a ==，故选项C 正确； 双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 正确. 故选：ACD ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1-- 【答案】AD【分析】通过计算求出双曲线1C 的离心率和实轴长，即可判断选项A 和B 的正误；联立直线AB 和椭圆的方程求出222318333B a x a a +=-=-+++，即得点B 的横坐标的取值范围，即可判断选项C 和D 的正误. 【详解】双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，则设双曲线的方程为223y x λ-=（0λ≠）， 由双曲线且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得314λ-=，得14λ=，∴双曲线1C 的方程为22443x y -1=，即2211344x y -=， ∴双曲线的离心率1212e ==，实轴的长为1， 故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆2C 的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，将()11,A y （10y >）代入22221x ya b+=（0a b >>）得212211y a b +=，∴21b y a=，∴直线AB 的方程为()212b y x a =+，联立()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()222321a x a x ++--2310a -=，()()()22222243310a a a +∆=-++>，根据根与系数的关系得221313B a a x +-=+⋅，则B x =222318333a a a +-=-+++． 由21a >得234a +>，则28023a <<+， ∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确， 故选：AD ． 三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)2的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2214y x -=【分析】由题设双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，进而待定系数求解即可. 【详解】解：因为双曲线的渐近线为2y x =±， 故设其方程为()2204y x λλ-=≠，因为点)2在双曲线上，所以，22214λ=-=，即所求方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -=四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用已知条件求出a ，b 的值即可求解；（2）由题意得出直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与双曲线E 的方程得到m ，k 的关系式，联立直线PH 与l 表示出点H 坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l 的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以b a =; 又双曲线E经过点(，所以221231a b-=，而0,0a b >>，故解得a =1b =， 所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=.(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，联立直线l 和双曲线E 的方程得2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ， 消去y 并整理得()222136330kxkmx m ----=，因为直线l 与双曲线E 相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k -≠且()()222236413330k m k m ∆=--⋅--=，化简并整理得2221313m k k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，又因为直线PH 与l 垂直，()2,0P ，所以直线PH 的方程为()12y x k=--， 联立()12y x x y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ ，解得222121km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ， 即点2222,11km k m H k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以()()()22222221km k m OHk -++=+()222222441k m m k k +++=+()()()2222141km k ++=+2241m k +=+223331k k +==+，所以OH当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()2,0P 作直线l 的垂线为0y =，此时)H或()H，则OH =综上所述，OH【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±． (1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由． 【答案】(1)222x y -=(2)证明见解析(3)存在定圆221x y +=与直线AB 相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB 的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB 的距离为定值，故存在定圆与直线AB 相切 (1)22311a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得a b ==则22:2C x y -=(2)证明:易知直线AB 一定不为水平直线, 设为x my n =+,设()(112,,A x y B x ,)()222,y D x y -,联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩,整理得()2221220m y mny n -++-=, 则212221n y y m -=-, 由于外接圆过原点且关于y 轴对称,设为220x y Ey ++=,则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩ ⇒()()2222211122,y x y y x y +=+ ⇒()22122y y +()21222y y =+ ⇒()()121210y y y y --=又12y y ≠，所以121y y =(3)因为2122211n y y m -==-, 所以221n m =+则原点到直线AB的距离1d ==,故存在定圆221x y +=与直线AB 相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值. 【答案】(1)22 1.3x y -=(2)23【分析】（1）表达出直线OB 方程，直线BF 的方程，联立后得到B 点坐标，得到直线AB 的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a =，从而求出双曲线方程；（2）求出M 点坐标，N 点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-，结合220013x y -=得到2243MF NF =，从而得到MF NF恒为定值，并求此定值. (1)设(c,0)F ， 因为1b =，所以21c a =+OB 方程为1y x a=-， 直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得：(,)22c cB a -， 又直线OA 的方程为1y x a=，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得：23a =， 故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=，因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-，则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则220013x y -=，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3x x x MF x NF y x x x ---====+---+-，所求定值为233MF NF =. 12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x (2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a =，2a =， 又2ca=22c =2224b c a =-=， 故C 的方程为22144-=y x .(2)由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=， 又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠， 故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ， 由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-， 因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+， 整理可得()()1212222y y t t x x +++=， 当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---， 所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916x y -=(2)存在，21m =或95m = 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，则0MF NF ⋅=，结合韦达定理可得m 的值. (1)由已知设双曲线方程为22221x y a b-=，又a ，b ，c 成等差数列，且双曲线过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2222222216531a c ba b c a b +=⎧⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得3a =，4b =，5c =， 故所求方程为221916x y -=， (2)由（1）得()30A -,，设AP ､AQ 方程分别为()13y k x =+､()23y k x =+， 则()()1,3M m k m +，()()2,3N m k m +，因为以MN 为直径的圆经过()5,0F ，所以MF NF ⊥即0MF NF ⋅=， 即()()2212530m k k m -++=，设PQ 方程为5x ny =+，与221916x y -=联立得()221691602560n y ny -++=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122160169n y y n +=--，122256169y y n =-， 所以()()()121212122121212123388864y y y y y y k k x x ny ny n y y n y y =⋅==+++++++，即()1222225649256128064169k k n n n ==--+-， 所以()()2245309m m --+=，251141890m m -+=，解得21m =或95m =. 题型二：相同渐近线双曲线方程求法 一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -= D ．221916x y -=或221169y x -=【答案】C【分析】根据共渐近线0bx ay ±=的双曲线的设法2222x y a bλ-=，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340x y ±=的双曲线为22169x y λ-=，即221169x y λλ-=，故25||25λ=，故1λ=±， 故选：C ．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（ ）．A B C ．4 D ．2【答案】D【解析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，又因为点(P -在双曲线上，再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程，然后求解焦距即可． 【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线， 设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，∵点(P -在双曲线上， ∴122λ-=，解之得32λ=， 因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==.故选：D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a ，b ，c 即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k -=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠，将点(代入可判断A ；由A 求出,,a b c ，即可求出离心率，判断B ；求出双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入曲线方程即可判断C ；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A ，由y =可得223y x =，从而可设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠.又由双曲线C 过点(，代入得2231λ⨯-=，即1λ=，故选项A 错误；对于选项B ，由双曲线C 的方程可知a =1b =，c = 所以C 的离心率2ce a==，故选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，满足2331x y e -=-，故选项C 正确；对于选项D ，联立221031y x y --=-=⎪⎩，解得x =0y =，10y --=与双曲线C 只有一个交点⎫⎪⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,a b 的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A 、B 的正误，利用已知的条件和,a b 的关系可求基本量，从而可判断C 、D 的正误.【详解】渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ==A 错误.又渐近线的方程为y x =，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为y x =， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =所以双曲线C 的方程为22184x y -=，故C 正确.直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a abc c⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零； （2）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b .三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y -=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______． 【答案】221818x y -=【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设()22:049x y C λλ-=>，根据焦点到渐近线距离为b 可构造方程求得λ，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C 的方程为：()22049x y λλ-=>，即22149x y λλ-=； 则24a λ=，29b λ=，双曲线焦点到渐近线距离为b ，∴2λ=， ∴双曲线C 的方程为：221818x y -=.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b -=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________【答案】【分析】根据给定条件求出a ，b 的关系，再由双曲线C 过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，而双曲线22:146x y D -=的渐近线为y x =，依题意，a b =C 经过点()2,6，则223641a b -=，解得：a b == 所以双曲线C的实轴长为故答案为：四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，13λ=-. 【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出ba=c 的值，从而求双曲线1C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AM BN 斜率，根据韦达定理求12k k 的值，从而求出λ的值.【详解】（1）2C的渐近线为y =，b a∴22c a=+=，1,a b ∴==， 所以双曲线1C 的标准方程2213y x -=. （2）由已知，()()()()11221,01,0,,,,,A B M x y N x y -，l 过点()2,0F 与右支交于两点，则l 斜率不为零，设:2l x my =+，由22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()22311290m y my -++=， 因为l 与双曲线右支交于两点，所以21223109031m y y m ⎧-≠⎪⎨=<⎪-⎩，解得m ⎛∈ ⎝⎭ ()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，121222129,3131m y y y y m m ∴+=-=--， 121212,011y yk k x x ==≠+-，()()()()121211212212112211133y x y my k my y y k y x y my my y y -++∴===-++， 121212493y y m m y y +=-=-，()121234my y y y ∴=-+， ()()121121212212313144433933444y y y y y k k y y yy y -++-∴===--++-+，∴存在13λ=-使得12k k λ=.题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为 （ ） ABCD【答案】D【分析】由双曲线方程可求得2,1,a b c ==. 【详解】由2214x y -=可得：2,1,a b c ===，故离心率为c e a ==， 故选：D2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．103C ．52D ．173【答案】D【分析】设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||AF ，1||BF ，在直角三角形1AF B 中，在12AF F △中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】解：设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||2AF a m =+，1||2BF a n =+， 由3cos 5BAC ∠=-，可得12cos 53F AF ∠=，在直角三角形1AF B 中，122s 54in 2a n F AF a m +∠==+，① 222(2)()(2)a n m n a m +++=+，②在12AF F △中，可得2224(2)2(2)53c m a m m a m =++-+⋅③ 由①②可得23an =，43a m =， 代入③可得222161008104993353a a a a c =+-⨯⨯， 即为22917c a =，则173c e a ==， 故选：D ．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．21+ B ．31+C ．31-D ．2【答案】B【分析】设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '，易证FPF '为直角三角形，解出2a 与2c 代离心率的计算公式即可求解 【详解】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '因为OFP △外接圆M 的半径为1，则1MO MF MP === 又四边形MFOP 为菱形，所以1OF OF MP '===则MOF △为正三角形，所以60∠=MFO ，30PFO FPO ∠=∠= 因为//OP MF ，所以60POF MFO '∠=∠=，又OP OF '= 所以OPF '△为正三角形，所以60OPF '∠=，所以90FPF '∠= 在Rt FPF '△中，22FF c '==，cos303PF FF '==1PF '= 所以312PF PF a '-= 所以231231c e a ===- 故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．52D 10【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点， 以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设11DF AF x == ，则22DF x a =- ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x == ， 连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+ ，2222DC DF CF x a =+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥ ， ∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥ ，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+- ， 解得：3x a = ，123,DF a DF a == ；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F += ，()()22232a a c += ， 得2252a c = ，10ce a= ， 故选：D.5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB =，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（ ）. A ．62B ．103C ．6D ．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,a b 关系后即可求出离心率.【详解】因为A 在B 的上方，且这两点都在C 上，所以(2,3),(2,3)A a b B a b -，则||23AB b =．因为DA AB =，所以A 是线段BD 的中点，又EA x ∥轴，所以||||ED EB =，EA BD ⊥， 所以BDE 的内心G 在线段EA 上．因为G 到y 轴的距离为43a ， 所以4||||324||||23aEG ED a GA DA a ===-，所以60EDA ∠=︒，因此||23||23EA a DA b ==，即3a b =．故2101b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：B 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（ ） A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6214+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则6t <6t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114FM F N =【答案】BC【分析】求得双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率判断选项A ；求得12F PF △的周长判断选项B ；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C ；求解满足题意条件的直线MN 判断选项D. 【详解】选项A ：双曲线C ：22145x y -=的离心率32e = 双曲线()221045x y m m m-=>++的离心率e =则双曲线()221045x y m m m -=>++和C 的离心率不一定相等.判断错误； 选项B ：P 为C ：22145x y -=上一点，且1290F PF ∠=︒ 则有222112364PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，整理得12PF PF +=则12F PF △的周长为6+判断正确；选项C ：由221451x y y tx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)8240t x tx -+-=由题意可知，方程22(54)8240t x tx -+-=无解 当2540t -=时，方程22(54)8240t x tx -+-=有解；当2540t -≠时，则有()()222540896540t t t ⎧-≠⎪⎨+-<⎪⎩，解之得t <t >故若直线1y tx =-与C没有公共点，则t <t >判断正确； 选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 方程可设为3x ty =-令1122(,),(,)M x y N x y ，由114FM F N =，可得214y y = 由221453x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)30250t y ty --+= 则有12212230542554t y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，则有122123055425454t y t y t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，整理得2191000t +=，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 为水平直线时，方程为0y =则(2,0),(2,0)M N -，11(1,0),(5,0)FM F N ==，即115FM F N =. 综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得114FM F N =.判断错误. 故选：BC 三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c 的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2by x =±，右焦点(c,0)F ，∵渐近线与圆相交，3<，即3b <，∴2=22413c b =+<， ∴双曲线C的离心率为：c e a =<1e >．∴e ⎛∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1F B ，1F A ，设2F B x =，则12F B x a =+，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出1sin F AB ∠，1tan F AB ∠，再根据锐角三角函数得到143AB F B =、1153F A F B =，从而得到方程求出x ，再在12F F B △利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1F B ，1F A ，则1F ，A ，C 和1F ，B ，D 都三点共线，设2F B x =，则12F B x a =+. 由()14cos cos π5F AB BAC ∠=-∠=， 所以2113sin 1cos 5F AB F AB ∠=-∠=所以111sin 3tan cos 4F AB F AB F AB ∠∠==∠，又AB BD ⊥，所以113tan 4F B F AB AB ∠==，即143AB F B =， 1113sin 5F B F AB F A ∠==，即1153F A F B =， 又22F A AB F B =-，因此1242233F A F A x a a -=+=，即x a =， 在12Rt F F B 中()()22222210c x a x a =++=，即2252c a =.故e =9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．【分析】设()00,P x y ()002,0x y >>，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P 处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,F F 到切线l 的距离，列出方程，求出b ，即可求出离心率．【详解】设点()00,P x y ()002,0x y >>，有222222000021444x y y b x b b-=⇒=-． 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，联立双曲线方程，由0∆=可解得204b x k y =，所以切线方程为()()22440b x x y y b--=，1(,0)F c -到切线l距离221d ==，2(,0)F c 到切线l距离222d ==所以()422442240201242242222000041616316416b b x bb c x b d d b b x y b x b x b+--====++-，即b =所以2,a c ==，故e =四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A ，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P 满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.【答案】(1)222x y b +=；【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)P x y ，由|||PA PB =222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C 相切，b ∴=2221mb k=+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a kmx x a k b-∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=.222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b+-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e =故曲线E【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围 一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（ ） A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+= C ．22123114e 4e += D ．22121314e 4e += 【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a 表示出12,PF PF ,在12F PF △中根据余弦定理可得到2212314e 4e +的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-， 设121222,3π=∠=F F c F PF ， 则在12PF F △中由余弦定理得()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+-， ∴化简2221234a a c +=，该式变成22123114e 4e +=. 故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △23，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） A 3B ．2 C ．23+D ．523+【答案】D。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
专题50 双曲线-高考数学复习资料(解析版)
的取值范围是( )
33 －， A. 3 3
22 22 －， C. 3 3
33 －， B. 6 6
23 23 －， D. 3 3
【答案】 A
【解析】 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x20－y20＝1，所以M→F1·M→F2＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0) 2
＝x20＋y20－3<0，即 3y20－1<0，解得－
a2 b2
的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
6 D.
2
【答案】 A
π －1
【解析】
由题易知双曲线
C
的一条渐近线与
x
π 轴的夹角为 ，故双曲线
C
的离心率
e＝
cos
4
＝ 2.
4
x2 y2 3．(2019·宁夏模拟)设 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则
b 2a，即 ＝
2，所以该双曲线
a
a
b 的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
c 法二 由 e＝ ＝
a
b2
b
b
1＋ a ＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
a
（2）（2017
山东）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
的右支与焦点为 F
F1
的直线与双曲
线的上下两支分别交于点 B，A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
考点2 双曲线(解析版)
2010-2015年高考真题汇编专题10 圆锥曲线考点2双曲线1.（2015年福建3，5分）若双曲线的左．右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【解析】由双曲线定义可知,故2.（2015年广东7，5分）已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考核双曲线的离心率与标准方程求解。
显然c=5，e=c/a=5/a=5/4，a=4，从而。
故选B.3.（2015年天津6，5分）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=＞＞的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y=的准线上，则双曲线的方程为（）（A）2212128x y-=（B）2212821x y-=（C）22134x y-=（D）22143x y-=【答案】D【解析】根据双曲线概念，双曲线的渐近线方程为by xa=±，因为过点（2，得到2ba=，b=又因为焦点在抛物线y2=的准线上，因此根据双曲线a、22:1916x yE-=12,F F PE13PF=2PF2126PF PF a-==29PF=1:2222=-byaxC45=e)0,5(2F C13422=-yx191622=-yx116922=-yx14322=-yxb 、c 的关系a 2+b 2=c 2,因此a 2+b 2=7，把2b a =代入得到227a a ⎫+=⎪⎪⎝⎭，解得24a =，23b =，因此选择D4.（2015年安徽4，5分）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C【解析】选项A 和B 中的双曲线的交点都在上，可排除。
D 选项中的双曲线的 渐近线方程为，故也可排除。
因此答案选C. 5.（2015年北京10，5分）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =【解析】双曲线2221x y a -=的渐近线为1y x a =±，故1a -=3a =6.（2015年江苏12，5分）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
专题34 双曲线(解析版)
第九章 解析几何专题34 双曲线考点1 双曲线的定义与标准方程1. 【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a=±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．2. 【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3.【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C的离心率为 ．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===4. 【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c =c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．5. 【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 6. 【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以1c a ==2m =. 7. 【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 8. 【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a –22y b=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 【答案】2 【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 9. 【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】． 【解析】由已知1,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得2x >，所以22x <<，124PF PF x +=∈．10. 【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==. 【解析】依题意有2c b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.考点2 双曲线的几何性质1. 【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==， ∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 2. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ， 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =， ∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△． 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．3. 【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ） A．2B ．1CD ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 4. 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．5. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．6. 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52 C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．7. 【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =A B ．4 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c ==12a =，故选D.8. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =± D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =，因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C D ．【答案】D【解析】c e a ===1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 10. 【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 11. 【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.12. 【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．。
专题09 解析几何第二十三讲 双曲线(解析版)
专题09 解析几何第二十三讲 双曲线答案部分2019年1.【解析】如图所示，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则223c a b +=， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y =±．则1553232OPF S =⨯⨯=△．故选B ． 学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
2.【解析】 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±．3.【解析】根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==，故选C ． 4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，2222111tan 50sec 50cos50c b e a a ==+=+︒=︒=︒. 故选D ． 5.【解析】解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12OP a OF ===，c e a ==故选A ．6.【解析】 由题意知，1b =，c e a===12a =.故选D. 7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ==4=，即2b a =，所以c =故选D ．2015-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a ，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．6．C 【解析】由题意e ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==． 10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)bB c a，2(,)b C c a -，则1222,A B A C b b a ak k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1b a =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±． 12．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 13．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 14．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．15．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a =，即2a b =，所以渐近性方程为22y x =±． 16．23【解析】由题意，右准线的方程为232a x c ==，渐近线的方程为33y x =±，设33(,)22P ，则33(,)22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q 的面积为1211||||432322F F PQ =⨯⨯=． 17．1,2a b ==【解析】依题意有52c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．18．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 19．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以224(3)4λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．20．23【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=， 由2222a c a c+=，c e a =，解得2e =+2e =． 21．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a ，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析)双曲线(解析版)
(a+m)2 +(b+m)2 (a+m)2
所以,当a>b时,e1<e2;
当a<b时,e1>e2.
简单 已测：3518次 正确率：92.9%
22
6.
设双曲线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于
B, C两点,过B, C分别作AC, AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于
=1
D. x2 4
−
y2 3
=1
考点：双曲线的标准方程的求解、双曲线的渐近线问题
知识点：双曲线的标准方程、双曲线的渐近线
答案：D
解析：由题意可得
b a
=
3 2
,
c
=
7,又c2
=
7 = a2+b2,解得a2
= 4, b2
=
3,故双曲线的方程为
x2 4
−
y2 3
=
1.
一般 已测：1871次 正确率：76.7%
,所以 ,则由题意知 ,即 ,所 (
b2 a
)2
=
(c
−
a)∣F D∣
∣F D∣
=
a2
b4 (c−a)
a2
b4 (c−a)
<a+
a2 + b2
a2
b4 (c−a)
<a
+
c
以b4<a2(c
−
a)(a
+
c),即b4
<a2
(c2 −a2
,即) b4<a2b2
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备战2021新高考数学命题分析与探究命题37 双曲线第一部分 命题点展示与分析1．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P满足–2PA PB =，且P 为函数y =OP =（ ）A ．2B ．5 CD 【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ． 2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【思路导引】由12PF F ∆是以P 为直角直角三角形得到221216PF PF +=，再利用双曲线的定义得到122PF PF -=，联立即可得到12PF PF ，代入121212F F P P S F PF =△中计算即可． 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．4.(2019福建模拟，5分)已知A (3，2)是双曲线x 23－y 2＝1上一点，F 1是双曲线的左焦点，B 是双曲线右支上异于点A 的一点．设△ABF 1的内切圆在边AF 1上的切点为P ，则|F 1P |的最小值为( )A. 3 B ．2 3 C ．33－ 2 D ．63－2 2答案：B解析：由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1. 又a ，b ，c >0，∴a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. ∵△ABF 1的内切圆与AF 1的切点为P ， ∴易得|F 1P |＝|AF 1|＋|BF 1|－|AB |2.设双曲线的右焦点为F 2，则F 1(－2，0)，F 2(2，0)．又A (3，2)，∴|AF 1|＝（3＋2）2＋2＝33，|AF 2|＝（3－2）2＋2＝ 3. 又由双曲线的定义可知|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝|BF 2|＋23，∴|F 1P |＝33＋|BF 2|＋23－|AB |2＝53＋|BF 2|－|AB |2≥53－|AF 2|2＝23，当且仅当A ，B ，F 2三点共线时，等号成立．故选B.5.(2018四川南充模拟，5分)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2.若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||F 1F 2＝2||PF 2，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 2－e 1的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫13，＋∞C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：D解析：(法一)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ，||PF 1＝t ，则||PF 2＝c .由题意可得t ＋c ＝2a 1，t －c ＝2a 2，∴t ＝2a 1－c ＝2a 2＋c ，∴a 1－a 2＝c .由e 1＝c a 1，e 2＝c a 2可知1e 1－1e 2＝a 1－a 2c ＝1，∴e 1＝e 2e 2＋1，∴e 2－e 1＝e 2－e 2e 2＋1＝e 22e 2＋1＝1⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2.∵e 2>1，∴0<1e 2<1，∴0<⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2<2，∴e 2－e 1>12.故选D.(法二)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ，||PF 1＝t ，则||PF 2＝c .由点P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，可知c <t <3c .由题意知t ＋c ＝2a 1，t －c ＝2a 2，故e 1＝c a 1＝2c 2a 1＝2c t ＋c ，e 2＝c a 2＝2c 2a 2＝2c t －c ，e 2－e 1＝2ct －c －2c t ＋c ＝4c 2t 2－c 2.∵c <t <3c ，∴c 2<t 2<9c 2，∴0<t 2－c 2<8c 2，∴4c 2t 2－c 2>12，∴e 2－e 1>12.故选D.6.(2016全国Ⅰ，5分)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3) 答案：A解析：∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，（n －3m 2）＋（－m 2－n ）＝4，② 由①得m 2＝1，－1＜n ＜3；②无解． 综上，n 的取值范围是(－1，3)．故选A.7.(2021改编，6分)设动圆C 与两圆C 1：x 2＋(y ＋3)2＝4，C 2：x 2＋(y －3)2＝4中的一个内切，另一个外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．答案：y 24－x 25＝1解：易知圆C 1和C 2的圆心坐标分别为C 1(0，－3)，C 2(0，3)，半径均为2.设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜6＝|C 1C 2|，∴动圆圆心C 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，(4分)又∵32－22＝5，∴动圆圆心C 的轨迹方程为y 222－x 25＝1，即y 24－x 25＝1.(6分)8.(2017全国Ⅲ，5分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案：B解析：(法一)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，∴b a ＝52①. ∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3， ∴a 2＋b 2＝c 2＝9②. 由①②解得a ＝2，b ＝5，∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(法二)∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线C 的方程可设为x 212－λ－y 2λ－3＝1(3<λ<12)，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±λ－312－λx . 又∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ， ∴λ－312－λ＝52，解得λ＝8， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(法三)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴可设双曲线C 的方程为5x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ5－y 2λ4＝1(λ≠0)．∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3，且λ>0， ∴λ5＋λ4＝3，解得λ＝20， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.9．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ． 【答案】2【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =（舍去）．故答案为：2．10．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y Ca b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a=c e a ===11．【2020年高考天津卷7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选D ．12.(2021改编，5分)已知双曲线C: x 2a 2－y 28＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2, O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，||PF 1||＝2PF 2，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 28＝1C.x 26－y 28＝1D.x 28－y 28＝1 答案：B解析：∵P 是双曲线上在第一象限内的点，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .又∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .易得|OP |＝|OM |，|OF 1|＝|OF 2|，∴四边形PF 1MF 2是平行四边形． 又∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°， 即4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c 2＝3a 2，∴a 2＋8＝3a 2，∴a 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 28＝1.故选B.13.(2018安顺模拟，5分)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若点F 2关于直线bx －ay ＝0的对称点恰好落在以F 1为圆心， ||OF 1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案：B解析：由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则点F 2到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b 2＝b . 设F 2关于渐近线bx －ay ＝0的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于点A ，∴|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点．又∵点O 是F 1F 2的中点，∴OA 是△F 1MF 2的中位线，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2＝90°，∴△F 1MF 2为直角三角形，∴由勾股定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2，即4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝2.故选B.命题方向十二直线与双曲线位置关系的判断问题14.(2019河北模拟，5分)已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2，0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为________．答案：x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0解析：(法一)如图所示，易知点P 位于双曲线x 2－4y 2＝1的内部．由双曲线的几何性质可知，当直线l 与渐近线平行时，直线l 与双曲线C有唯一公共点．由于双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故直线l 的方程为y ＝12(x －2)或y ＝－12(x －2)，即x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.(法二)当直线l 的斜率为0或不存在时，直线l 与双曲线C 有两个公共点，不符合题意． 故设直线l ：x ＝ty ＋2，直线l 与双曲线C 的方程联立，消去x 并整理，得(4－t 2)y 2－4ty －3＝0. 当4－t 2＝0，即t ＝±2时，方程仅有一个实根，即直线l与双曲线有唯一公共点，此时直线l 的方程为x ＝±2y ＋2，即x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.当4－t 2≠0时，Δ＝16t 2＋12(4－t 2)＝48＋4t 2>0，方程有两个解，即直线l 与双曲线C 有两个公共点，不满足题意．综上，直线l 的方程为x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.命题方向十三弦长和面积问题15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B命题点4命题方向命题难度直线与双曲线的位置关系的相关问题直线与双曲线位置关系的判断问题容易 弦长和面积问题 容易 “中点弦”问题一般【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ， 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =， ∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△． 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．16.(2018抚州模拟，8分)求过定点(0，1)的直线被双曲线x 2－y 24＝1截得弦的中点的轨迹方程． 答案：4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)解：易得直线的斜率存在，故可设直线的方程为y ＝kx ＋1，弦的两个端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则4－k 2≠0，且Δ＝4k 2＋20(4－k 2)>0， 解得|k |<5，且k ≠±2.(2分) (法一)∵x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2， ∴x ＝12(x 1＋x 2)＝k 4－k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝k 2(x 1＋x 2)＋1＝44－k 2. 由⎩⎨⎧x ＝k 4－k 2，y ＝44－k 2消去k 得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)∵|k |<5，且k ≠±2，∴－1<4－k 2<0或0<4－k 2≤4，∴y <－4或y ≥1. 综上，弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)．(8分)(法二)⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，①4x 22－y 22＝4，②①－②得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，易知y 1＋y 2≠0，x 1－x 2≠0，∴x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 24（x 1－x 2），即x y ＝k 4，联立y ＝kx ＋1，整理得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)由x y ＝k 4得x 2＝k 216y 2，而|k |<5，且k ≠±2，∴14y 2<x 2<516y 2或0≤x 2<y 24，即14y 2<y 2－y 4<516y 2或0≤y 2－y 4<y 24，解得y <－4或y ≥1，∴弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)．(8分)第二部分 命题点素材与精选1．设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=【答案】A【解析】因为椭圆焦点在x 轴上且长轴长为26，所以13a =，又因为椭圆1C 的离心率为513， 所以5c =，因为曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，所以2224,5,3'''===-=a c b c a ，所以曲线2C 的标准方程为2222143x y -=.故选：A2．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设12||4,||3PF x PF x ==，则由双曲线的定义可得12||-||4322,PF PF x x x a =-===故12||8,||6PF PF ==，又124F F =，故12366416726o 8c s 8F PF +-==⨯⨯∠，故12sin 8F PF ∠=，所以12PF F ∆的面积为1682⨯⨯=故选：D.3．一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C 4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，则FPO ∆为等腰直角三角形. 22c a e =⇒=故答案选B5．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ．点在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ） A ．153 B ．213 C ．53 D ．13【答案】B【解析】不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为120PF PF ⋅=，所以12290,F PF PO OF c ︒∠===． 又P 在渐近线b y x a=上，所以可得P 点的坐标是(),a b ，所以12PN F F ⊥．在直角三角形PNM 中，3MPN π∠=，所以MN =，即2,b a a ==．所以3e ====． 故选：B ．6．已知点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(21,D ．(1,1 【答案】B【解析】若GHE ∆是锐角三角形，则45GEF ∠<︒ 在直角GEF ∆中，2b GF a=，EF a c =+，GF EF < 即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e故选：B7．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．4B ．4(1+C ． D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F )，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =()412+故选B8．如图，1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，过1F 向一条渐近线作垂线，分别交C 的左右两支于A ，B 两点，且2AB BF =，则b a=（ ）A 3B ．2C ．33+D 31【答案】D 【解析】由双曲线的定义得122BF BF a -=，212AF AF a -=， 又2AB BF =，∴12AF a =，24AF a =，又122F F c =，∴222221244163cos 2222a c a c a AF F a c ac+--∠==⨯⨯， 又直线AB 与双曲线的一条渐近线为：b y x a =-垂直， ∴直线AB 的斜率为12tan AF F a b∠=， ∴12cos b AF F c ∠=，∴223 2c a b ac c-=，即2232c a ab -=， ∴2222b a ab -=，故2220b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴ 1b a =+1b a =（舍）， 故选：D. 9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，A 为C 上的点，F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，若2AF =，则C 的方程为（ ）A ．22122x y -= B ．22144x y -= C ．22148x y -= D ．22142x y -= 【答案】B 【解析】由题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得c e a == 即222222=1()2c a b b a a a+=+=，解得1b a =，即a b =， 又因为F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，则22b AF a==，即22b a =， 联立方程组，可得2,2a b ==，所以双曲线C 的方程为22144x y -=. 故选：B.10．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（ ） AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=， 两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a c e ca ca c a ++++∴+===++． ， 2222222222a a c c c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时取等号， 21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选：C ．11．若双曲线22149x y k-=-的一条渐近线方程为20x y +=，则k =______. 【答案】8【解析】由题知：双曲线22149x y k-=-，2a =，9b k =-x 轴， 因为一条渐近线方程为20x y +=，所以912b k a -==，解得8k . 故答案为：8 12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为 1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，。