第四章弹塑性波的相互作用
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弹 塑 性 力 学第四章
x x x y 3 2 2 3 2
x e 2 x y e 2 y z e 2 z
（4-3）
y y x y 3 2 2 3 2
且
K
E 3 1 2
因此
E K e 3 1 2v
广义胡克定律
3、 应力张量和应变张量表示的广义胡克定律
球张量
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
m
1 x y z x y z x y z 3 3E 1 E 2 1 2 x y z 1 2 m m, K 3 3K 3 1 2 3 E E m
1 m 3K 2 K 3
对比等式两边，可得：sij 2Geij
广义胡克定律
（4-12） 广 sij 2Geij 西 工 物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的 学 院 相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。
广义胡克定律可写为 m 3K m
x y z
2 ij sij m ij ij e 2 ij 3 ij m 2G eij m ij 2Geij 3 G m ij 3
偏张量
eij ij m ij
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个（E、v、G)，但只有两个是 独立的。 1 v v 张量记法： ij ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
x e 2 x y e 2 y z e 2 z
（4-3）
y y x y 3 2 2 3 2
且
K
E 3 1 2
因此
E K e 3 1 2v
广义胡克定律
3、 应力张量和应变张量表示的广义胡克定律
球张量
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
m
1 x y z x y z x y z 3 3E 1 E 2 1 2 x y z 1 2 m m, K 3 3K 3 1 2 3 E E m
1 m 3K 2 K 3
对比等式两边，可得：sij 2Geij
广义胡克定律
（4-12） 广 sij 2Geij 西 工 物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的 学 院 相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。
广义胡克定律可写为 m 3K m
x y z
2 ij sij m ij ij e 2 ij 3 ij m 2G eij m ij 2Geij 3 G m ij 3
偏张量
eij ij m ij
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个（E、v、G)，但只有两个是 独立的。 1 v v 张量记法： ij ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性详解
弹塑性的未来发展
智能材料
未来弹塑性材料将与智能传感器和控制系统集成,实现自主监测和自适应调节,提高结构系统的稳定性和可靠性。
高性能应用
在航空航天、汽车制造、能源等领域,弹塑性材料将发挥更大作用,提高关键部件的抗冲击和耐疲劳能力。
仿生设计
从生物体的运动机理中吸取灵感,开发出更高效、协调的弹塑性机构,应用于机器人、生化假肢等领域。
制造工艺控制
弹塑性理论在冲压、挤压、锻造等成形加工中发挥重要作用,可预测工件变形、确定最佳工艺参数,提高产品质量。
生物医学应用
医疗器械和义肢设计需要利用弹塑性分析,确保其能适应人体组织的变形特性,提高舒适度和功能性。
弹塑性的重要性
1
提高结构安全性
弹塑性能够增强材料和结构在外力作用下的变形能力,有效降低意外事故发生的风险,提高结构的安全可靠性。
弹塑性的影响因素
应力-应变关系
材料的弹塑性行为主要取决于其应力-应变曲线的形状,包括弹性模量、屈服强度和最大强度等关键参数。
材料成分与微观结构
材料的化学成分、晶粒大小、相组成等微观结构特征直接影响其宏观力学性能和弹塑性行为。
应力状态与几何形状
零件或结构的受力状态和几何形状会导致局部应力集中,从而影响弹塑性响应和失效模式。
工程应用
20世纪中后期,弹塑性理论和方法广泛应用于工程实践,在航空、汽车、建筑等领域发挥了重要作用。
现代进展
当前,随着计算机技术的发展,弹塑性分析方法不断创新,在复杂结构设计、材料选择和工艺优化中展现强大的潜力。
弹塑性的基本原理
数学描述
弹塑性通过应变-应力关系的数学模型来描述材料在力学作用下的变形行为。这些模型结合了材料的弹性特性和塑性特性。
第四讲 流体弹塑性模型
5. 计算数据和分析结果
按照所要研究的问题中材料可能出现的状态范围计 算压强、能量等数据。计算等温线、Hugoniot曲线 和等熵线。 考察计算结果的合理性，是否满足热力学稳定性及 压强和能量是否自恰。
2. 状态方程导引（续）
状态方程应用中几种具体形式
1.
P( E , )
形式
若不考虑热传导，则方便的形式是用能量E作变 量，而不用温度T作变量。 2.
略的因素。
塑性应力应变关系特点
出现塑性变形后，应力和应变之间不存在单值对应关系， 应变不但由当时的应力决定，而且依赖于加载历史。 加载和卸载时，应力和应变的关系不同。
3.弹塑性应力应变关系（续）
弹塑性应力－应变关系基本内容
1。初始屈服准则 材料由弹性变形开始转变到塑性变形时的判别准则。 2。加载函数 塑性变形的增量 deijp 会不会发生？已经发生了塑性变形 的材料从一个状态转变到其临近状态能否继续发生塑性变形。 3。
对于很多混合物，相加模型还是相当可靠。
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型（续）
e。对于重材料，可以使用Thomas-Fermi原子统
计理论。对于轻材料，使用原子统计理论要注意。 f。在常态下呈现晶体结构的固体，Gruneisen状 态方程是一个很好的近似。对于液体如水以及聚合
物等材料，要用到一些半经验方法处理。
物质相态的改变
改变的条件 压强或温度。
相变类型
第一类相变：伴随着相变潜热和体积跃变。如：固固相变、固 夜相变、以及一般的气液相变等。 第二类相变：没有相变潜热和体积跃变，但是有比热等的变化。 如：铁磁体转变为顺磁体，二元合金中的有序无序转变，金属 转变为超导态，液态氦转变为超流态等。
第四章弹塑性波的相互作用1110
第四章
弹塑性波的相互作用
一种 弹塑性加载波的相互作用;
迎面加载（同号加载） 追赶加载（递增硬化材料）形成冲击波
二种：卸载波的相互作用;
1
第四章
弹塑性波的相互作用
4.1 弹塑性加载波的相互作用 4.1.1 强间断塑性波的迎面加载 问题: 长为L的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态.两 端突然受到突加恒速冲击载荷,右端X=L处v3 >0,在左端 v4<0.讨论杆中的弹塑性波的传播.
初始状态对应于va ,σa（>0）状态，杆两端分别受到渐加
载荷到vc和vb后均保持恒值，有vY < vc < va < vb 。分析波 的传播规律. 连续波的动量守恒条件:
d 0Cdv
代替强间断的动量守恒条件: [ ] 0C[v]
X
13
第四章
弹塑性波的相互作用
杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用
把特征线ab和ac分别分成m段和n段，根据分割点做出 相应的特征线将相互作用区域分成许多小网格，近似认为网
格内的质点速度、应力等参量值是相等的。
19
第四章 弹塑性波的相互作用
于是特征线段 Qs 的斜率可近似按 Q 点的状态 来确定，特征线段 Rs 的斜率可近似按 R 点的 状态来确定。
X s X Q C ( Q )(ts tQ ) S点的位置： X X C ( )(t t ) R R s R s
2
第四章
分析:
弹塑性波的相互作用
杆中波的传播 ：撞击面开始,从杆的左端向右传播弹塑性强
间断拉伸波,同时从杆的右端向左传播弹塑性强间断拉伸波,
但由于初始冲击速度不同,引起应力扰动幅度不同。两波相
弹塑性波的相互作用
一种 弹塑性加载波的相互作用;
迎面加载（同号加载） 追赶加载（递增硬化材料）形成冲击波
二种：卸载波的相互作用;
1
第四章
弹塑性波的相互作用
4.1 弹塑性加载波的相互作用 4.1.1 强间断塑性波的迎面加载 问题: 长为L的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态.两 端突然受到突加恒速冲击载荷,右端X=L处v3 >0,在左端 v4<0.讨论杆中的弹塑性波的传播.
初始状态对应于va ,σa（>0）状态，杆两端分别受到渐加
载荷到vc和vb后均保持恒值，有vY < vc < va < vb 。分析波 的传播规律. 连续波的动量守恒条件:
d 0Cdv
代替强间断的动量守恒条件: [ ] 0C[v]
X
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第四章
弹塑性波的相互作用
杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用
把特征线ab和ac分别分成m段和n段，根据分割点做出 相应的特征线将相互作用区域分成许多小网格，近似认为网
格内的质点速度、应力等参量值是相等的。
19
第四章 弹塑性波的相互作用
于是特征线段 Qs 的斜率可近似按 Q 点的状态 来确定，特征线段 Rs 的斜率可近似按 R 点的 状态来确定。
X s X Q C ( Q )(ts tQ ) S点的位置： X X C ( )(t t ) R R s R s
2
第四章
分析:
弹塑性波的相互作用
杆中波的传播 ：撞击面开始,从杆的左端向右传播弹塑性强
间断拉伸波,同时从杆的右端向左传播弹塑性强间断拉伸波,
但由于初始冲击速度不同,引起应力扰动幅度不同。两波相
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
2019/10/18
28
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
2019/10/18
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/10/18
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
2019/10/18
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
2019/10/18
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析
水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析一、本文概述《水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析》这篇文章主要探讨了水平地震作用对桩—土—上部结构体系的影响，并详细分析了这一复杂系统在地震作用下的弹塑性动力相互作用。
本文旨在深入理解地震时桩—土—上部结构体系的动态行为，为工程实践提供理论依据和指导，以提高结构的抗震性能。
本文首先介绍了地震作用下桩—土—上部结构体系的研究背景和意义，阐述了国内外在该领域的研究现状和发展趋势。
接着，文章对桩—土—上部结构体系的弹塑性动力相互作用进行了理论分析，包括桩土相互作用、地震波的传播与散射、结构的动力响应等方面。
在理论分析的基础上，本文进行了数值模拟和实验研究。
通过建立合理的数值模型，模拟了不同地震波作用下的桩—土—上部结构体系的动态响应过程，得到了结构的地震反应特性和破坏模式。
同时，结合实验数据，验证了数值模拟的有效性，并对模拟结果进行了深入分析。
本文总结了地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用的研究成果，指出了现有研究的不足和未来研究方向。
文章强调了在实际工程中应考虑桩土相互作用的影响，合理设计抗震结构，以提高结构的整体抗震性能。
通过本文的研究，可以为工程师和科研人员提供有益的参考，推动桩—土—上部结构体系抗震设计方法的改进和完善，为保障人民生命财产安全和提高建筑行业的可持续发展水平做出贡献。
二、桩—土—上部结构相互作用的基本理论桩—土—上部结构的相互作用是一个复杂且关键的动力学问题，涉及到地震波传播、土壤动力学、结构动力学等多个领域。
在水平地震作用下，土壤对桩的约束和桩对土壤的支撑形成了相互作用力，这些力通过桩传递到上部结构，进而影响整个系统的动力响应。
桩—土相互作用的理论基础主要是基于土的动力学特性和桩土之间的接触关系。
土壤在地震作用下的行为受到其本身的物理特性（如密度、弹性模量、泊松比等）和动力特性（如阻尼比、剪切波速等）的影响。
弹塑性力学讲稿课件
详细描述
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
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详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
《弹塑性力学》课件
结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
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弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
弹塑性本构关系和弹塑性波
V
Ruan D, Lu G, Wang B & Yu TX: In-plane dynamic crushing of honeycombs -- A finite element study. IJIE 28(2003): 161-182
d d
c0 , cp
c0
,
if Y , d d E if Y , d d E
❖ cp is a function of strain/stress ❖ For stress-strain curves concave
downwards
– cp decrease as stress increases
undisturbed
x
5
Man-made cellular materials
◄ Hexagonal honeycombs Open-cell nickel foam by
vapor deposition technique ►
◄ Open-cell polymer foam Aluminum foam coated by aluminum skins ►
elastic
❖ 1-D wave equation u v u
x
t
Engineering strain
v
t x
0
v t
x
v t
1 0
x
1 0
d d
x
c2
x
c2 1 d 0 0 d
2020年9月24日
2u t 2
c2
2u x2
1
塑性波的速度取决于硬化模量
c
1
0
– slope reduces with strain
Ruan D, Lu G, Wang B & Yu TX: In-plane dynamic crushing of honeycombs -- A finite element study. IJIE 28(2003): 161-182
d d
c0 , cp
c0
,
if Y , d d E if Y , d d E
❖ cp is a function of strain/stress ❖ For stress-strain curves concave
downwards
– cp decrease as stress increases
undisturbed
x
5
Man-made cellular materials
◄ Hexagonal honeycombs Open-cell nickel foam by
vapor deposition technique ►
◄ Open-cell polymer foam Aluminum foam coated by aluminum skins ►
elastic
❖ 1-D wave equation u v u
x
t
Engineering strain
v
t x
0
v t
x
v t
1 0
x
1 0
d d
x
c2
x
c2 1 d 0 0 d
2020年9月24日
2u t 2
c2
2u x2
1
塑性波的速度取决于硬化模量
c
1
0
– slope reduces with strain
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第四章
弹塑性波的相互作用
也可以表示为以位移为未知函数 的两阶偏微分方程：
2u 2u 1 d m 2 2 d m C0 C0 2 2 t X 0 dX dX
第四章
弹塑性波的相互作用
采用特征线法求解，可得对应的特 征线方程和特征线上相容条件。
第四章
弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
X t d m 1 d m C02 C02 t X 0 dX dX
第四章
弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
2 0C0 t X 0 X t
4 2 0C1 (4 2 )
第四章
弹塑性波的相互作用
两弹性波波相遇后t2时刻应力图
两弹性前驱波首先相 遇于a点。两波相遇界面的 右侧有：
5 1 5 1 Y Y 5 ， 0C1 0C1
两波相遇界面的左侧有：
5 2 5 2 5 Y Y 0C1 0C1
d E m E m X X dX 0C02 d d m 0C02 m X dX dX
第四章
弹塑性波的相互作用
如果X点和X +dX 两点卸载开始时的 m分 别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点的 卸载应力 分别如图中i点和h点所示，则表 达式 / X 中各项的意义如图中所示。
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
不带(”)和(’) 的区域都是混合 波区，在物理平 面和状态平面上 有一一对应的区 域。
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
第四章
弹塑性波的相互作用
下面我们来求解 sRaQ区。 由简单波区特征线方 程，我们可以求出a 、 Q、R三点的位置和状 态，下面我们求s点的 位置和状态。
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弹塑性波的相互作用
如果网格划分的足 够小，则网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。 于是特征线段Rs的 斜率可近似地按R点的 状态来确定，Qs的斜率 可近似地按Q点的状态 来确定。
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弹塑性波的相互作用
于是可得：
X S X Q C( Q )(tS tQ )
X S X R C( R )(tS tR )
S Q R a
S Q R a
第四章
弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
解abdc区这类在两条不 同系的特征线上给定 v 和 ，则可在以这两条 特征线和经过它们端点 的另两条特征线为界的 曲线四边形中求得单值 解的问题，常称为 Darboux问题或特征线 边值问题。
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弹塑性波的相互作用
如果用 来表示，则上四式可化为：
d b
d
b
d
d 0C
d 0C
d b b d
d c d c
b a b a
d c
c
b a
b
a
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弹塑性波的相互作用
设有一长为l 的均匀等截面杆， 原先处于静止的自然状态。两端同时 受到突加恒速冲击载荷，其值在右端 为 v3 0 ，在左端为 v4 0 。于是在 杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸 波。
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弹塑性波的相互作用
强间断弹塑性加载波相互作用
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弹塑性波的相互作用
两波相遇前，和弹塑性简单波的情 况完全一样。图中0，1、2、3、4各区 的状态均可作为已知，即： 0 0 0 Y 1 2 Y，1 2 0C0 3 1 0C1 (3 1 )
d E m E m X X dX
b1
0C02
d d m 0C02 m X dX dX
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弹塑性波的相互作用
卸载时杆的运动学方程和动力学 方程和加载时相同，连同卸载应力应 变关系就可列出卸载区的控制方程组 为：
t X 0 t X m E ( m )
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弹塑性波的相互作用
弹塑性材料在经历塑性加载后的卸载 应力应变关系满足弹性卸载假定，即：从 卸载前塑性变形所达到的应力 m 和应变 m 卸载时，不论卸载后是否又重新加载，而 只要应力不再超过 m ，则应力应变间有线 性关系，且其斜率等于加载曲线弹性部分 的初始斜率。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
§4-2 卸载波的控制方程 和特征线 弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同 的应力应变关系，因而相应地有不同的控 制方程。 在处理既有加载又有卸载的弹塑性波 的传播问题时，必须区分不同的质点在不 同的时刻是处于加载过程还是卸载过程。
d b
d
b
d 0C d 0C
对于杆的左侧有 ：
d c
d
c
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弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
vd vd vd
d d d
由上述四个方程联立求解得 vd ， 和 d 。
一维应力下弹性卸载的应力应变关系
用字母上加一横来 表示卸载后的量，则一 维应力下弹性卸载的应 力应变关系可写作：
m E m （4-1）
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弹塑性波的相互作用
对卸载区而言， m 和 m 都只是X的 函数，与t无关。 上式对t和X分别求导可得：
2 E 0 C0 t t t
c
d 0C
d 0C
c a
a
c a c a
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弹塑性波的相互作用
化简合并后可得：
d c b a
d c b a
上式可改写为 ： (d a ) (c a ) (b a )
(d a ) (c a ) (b a )
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弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性波的迎面加载 ，引 入 来代替 ，就可应用叠加原理来 求解。
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弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
把特征线ab和ac分 别分成m段和n段 ，经 过ab线上诸分割点的左 行特征线和经过线ac上 诸分割点的右行特征线 将把区域划分成许多小 网格，而网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用弹塑性波在固 Nhomakorabea端的反射
带有(”)的区域 都是恒值区，在平 面上正负特征线都 是直线，在状态平 面上只对应于一点。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
带有(’)的区域都是 简单波区，它总是和 恒值区相邻出现。 在状态平面上它 对应于一线段。如果 这线段是正向的，则 平面上的负向特征线 族为直线，而另一族 特征线为曲线。
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弹塑性波的相互作用
两弹塑性波相互作用的加载过程， 可概括为两种基本类型：一种是 迎面加 载，另一种是追赶加载。 追赶加载只发生在递增硬化材料中， 本节具体讨论迎面加载问题，对材料是 递减硬化还是递增硬化并无限制。
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弹塑性波的相互作用
1．强间断弹塑性波的迎面加载
先讨论线性硬化材料的情况， 这时弹性波速 C0 ( E / 0 ) 和塑性波 速 C1 ( E1 / 0 ) 都是恒值。
即：
R d a 2 b a 2 I
弹塑性波在刚壁反射后应力 扰动值加倍。
第四章
弹塑性波的相互作用
递减硬化弹塑性材料有限长杆， 其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0 时受一突加恒速撞击。弹塑性波在 固定端和撞击端间来回反射而逐渐 增强。
第四章
第四章
弹塑性波的相互作用
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节
弹塑性加载波的相互作用
卸载波的控制方程和特征线 追赶卸载 迎面卸载 Taylor圆柱撞击试验
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弹塑性波的相互作用
§4-1
弹塑性加载波的 相互作用
弹性波的相互作用时，加载和卸载遵 循同一应力应变关系，且应力应变关系是 线性的。 弹塑性波的相互作用时，加载和卸载 遵循不同的应力应变关系。且应力应变关 系是非线性的。
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弹塑性波的相互作用
如果 c b
(c b )
，代入下式
b a b a
c a c a
可得：c b 2a ，将其代入下式
d b c a 得： d a
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弹塑性波的相互作用
由 (
d
a ) (c a ) (b a ) ，b c可得 (d a ) 2(b a )
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弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性拉伸波相互作用
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弹塑性波的相互作用
相遇前都是已知的简单波，且有：
b a c a
b
a c
a
d ， 0C d 。 0C
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