全国高中数学联赛预赛模拟试卷第二卷
全国高中数学联赛模拟试题第二卷附答案
AA 1 1 1 图1 全国高中数学联赛模拟试题（二）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim的值为 （A ）43 （B ）45 （C ）47 （D ）494、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3 （D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C 依次成等差数列，且2icos 2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是 ． 2、点P (a ,b )在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，P A 2＋PB 2取最小值时，直线l 的斜率为 ． 3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sin A )＋arccos(sin B )＋arccos(sin C )的取值范围是 ．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为 ． 5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是 ．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，C p ：y 2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交C p 于原点和点A p ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MA p 交C p 于点A p 和B p ．求证：所有的点B p 在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m ≥－1，使a 1＝md ．五、（20分）求最大的正数λ，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．B图2第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z +）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-n n （n ≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22； 2、aab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ； 4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ．第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．。
全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
全国高二数学 联合竞赛预赛试题（湖北省）新人教版说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==⋅22222222|1|||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m m m m m m m m +⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1mmm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第一卷〔选择题 共60分〕 参考公式1．三角函数的积化与差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V 球=34πR 3〔R 为球的半径〕。
一、选择题〔每题5分，共60分〕1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。
那么集合M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ．32B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 及直线CD 的距离为2，夹角为3。
那么四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21D ．33 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
假设取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，假设(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，那么 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数与为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。
那么的最小值是A ．4abB ．(a+b)2C ．(a-b)2D ．2(a 2+b 2)7．设a,b>0，且a 2021+b 2021=a 2006+b 2006。
全国高中数学联赛模拟试题(二)(附答案)
AA 1 1 1 图1全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、 已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4，25 2、 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 分别在AB 1、BC 1AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43、 用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim的值为（A ）43 （B ）45 （C ）47 （D ）49 4、 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个5、 对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）26、 双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分） 1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i 2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C 依次成等差数列，且2icos 2cos 2C A u +=，则2z u +的取值范围是 ． 2、点P (a ,b )在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA 2＋PB 2取最小值时，直线l 的斜率为 ．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sin A )＋arccos(sin B )＋arccos(sin C )的取值范围是 ．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为 ．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是 ．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，C p ：y 2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交C p 于原点和点A p ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MA p 交C p 于点A p 和B p ．求证：所有的点B p 在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m ≥－1，使a 1＝md ．五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．B 图2第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abc c b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z +）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-n n （n ≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试一、选择题：二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、a ab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ； 4、181； 5、21312++n ；6、7n ．三、证略．四、证略．五、427max =λ．第二试 一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．。
(完整word版)4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t , 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+Y πx ,2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增,所以,221+≥y 或221-≤y , 即值域),221[]221,(+∞+--∞Y . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0, 解得(m , n )=(cbc a --,), 所以m 2+n 2最小值是1. 3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n 解：由924339242222-++=--+n n n n 知92422-++n n 可能为1,3, 11, 33,从而解得.5=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
全国高中数学联赛模拟卷(2)一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
全国高中数学联赛预赛试题及答案
全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（ ）A.16B.18C. 20D.22 2.已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ） A.[)16,12 B.[)16,8 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）A.53 B.151 C.85 D.8150４．已知a 、b 为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式-≥-M 是N 的（ ）Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中，其图象关于直线2=x 对称.其中，真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为（ ）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （ ）A.2B.1C.0D.2-二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 10.已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为 ． 11.多项式()310021x x x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后，150x的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ； （2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q .所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４． 解：设a OA =，b OB =，则b x 表示与OB-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()b a b -⊥. 选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为02818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9． 解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解； 当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ① 的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C 因此，150x的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S .又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分） 设tt t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分） 易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分） 故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分） 由t ba=，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立.…………………………………………………………………………（14分）１6． 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分） 17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（14分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分） 因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+yy x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+yy x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y yx由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分） （2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分） 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。
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……15' ……20'
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16．解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为:y＝kx＋m kx1＋m y1＝ 2 2 x 因为 A 既在椭圆上，又在直线 AB 上，从而有 1 y1 2 ＋ 2 ＝1 a b 将(1)代入(2)得：(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0 由于直线与椭圆相切，故△＝(2kma2)2－4(a2k2＋b2)a2(m2－b2)＝0 ka2 从而可得：m2＝b2＋a2k2，x1＝－ m 同理，由 B 既在圆上又在直线 AB 上， 可得：m2＝R(1＋k2)，x2＝－ kR2 m (4) ……10' (3) ……5' (1) (2)
∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线， ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE，HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分，设其交点为 G 1 1 于是：AG＝ AH＝ EF＝EG 2 2 而 OA＝OM，且 OD∥AH ∴∠OAM＝∠OMA＝∠MAG＝∠GEA 故 EG∥OA (1) ……10' ……5'
O E H A F
子集中个元素之和，Bn 表示 A 的子集个数. Sn 求 lim 2 . Bn n→∞n · x2 y2 16．已知椭圆ε ： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b 动圆Γ ：x2＋y2＝R2，其中 b＜R＜a.
B D
C
若 A 是椭圆ε 上的动点，B 是动圆Γ 上的动点，且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆Γ 均相切， 求 A、B 两点的距离|AB|的最大值.
6． 函数 y＝cos3x＋sin2x－cosx 的最大值等于 32 A. 27 16 B. 27 C. 8 27 D. 4 27
二、填空题(每小题 5 分，6 个小题共计 30 分) 32x 1 2 100 7． 已知函数 f(x)＝ )＋f( )＋……＋f( )＝________________. 2x，则 f( 101 101 101 3＋3 8． 不等式|x2－2|≤2x＋1 的解集为__________________. 9． 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这 90000 个车牌照中数 字 9 至少出现一个，并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有____________个. 1 1 1 10．若 0＜a、b、c＜1 满足条件 ab＋bc＋ca＝1，则 ＋ ＋ 的最小值是_________. 1－a 1－b 1－c 11．已知正四棱锥 V－ABCD 的棱长都等于 a，侧棱 VB、VD 的中点分别为 H 和 K，若过 A、
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……5' ……10' ……15'
故 an＝2n－n(n≥2)， 因为 a1＝1 也适合上述式子， 所以 an＝2n－n(n≥1) 14.证明：连结 OA，OD，并延长 OD 交△ABC 的外接圆于 M ︿ ︿ 则 OD⊥BC，BM＝MC ∴A、E、M 三点共线
E A F G O B D H
……20'
C
M
……15'
∵O、H 分别是△ABC 的外心和垂心，且 OD⊥BC
3
1 ∴OD＝ AH＝AG，因此，若连结 DG，则四边形 AODG 为平行四边形 2 从而 DG∥OA (2)
由(1)和(2)知，D、E、G 三点共线，但 F 在 EG 上 故 D、E、F 三点共线. 15．解：易知 Bn＝2n 先考察数字 1 在 A 的所有非空真子集中出现的次数： 在一元子集中只出现 1 次 在二元子集中出现 Cn1－1次， 在三元子集中出现 Cn2－1次， ……
2
参考答案 一、ABCBDA 二、7、50； 8、{x| 2－1≤x≤3}； 11、 5 2 a； 6 9、4168； 12、π
3(3＋ 3) 10、 ； 2 三、
13．解：由已知可得：an＋n＝2(an－1＋n－1)(n≥2) 令 bn＝an＋n，则 b1＝a1＋1＝2，且 bn＝2bn－1(n≥2) 于是 bn＝2· 2n 1＝2n，即 an＋n＝2n
3． 已知不等式 m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4 或 x≤0 D.m≥1 或 m≤0
4． 母线长为 6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4
5． 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长 之比为 3 A. 2 4 B. 3 3 C. 4 2 D. 3
全国高中数学联赛初赛模拟试卷
一、选择题(每小题 5 分，6 个小题共计 30 分) 2x 1． 函数 f(x)＝x＋ x 4 －1 A.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是奇函数但不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
2． 已知 f(x)对任意的整数 x 都有 f(x＋2)＝f(x－2)，若 f(0)＝2003，则 f(2004)＝ A.2002 B.2003 C.2004 D.2005
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H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L，则四边形 AHLK 的面积为_______________. 12．已知 a、b、x 是实数，函数 f(x)＝x2－2ax＋1 与函数 g(x)＝2b(a－x)的图象不相交，记参 数 a、 b 所组成的点(a， b)的集合为 A， 则集合 A 所表示的平形图象的面积为___________. 三、解答题(每小题 20 分，4 个小题共计 80 分) 13．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求通项 an. 14．如图，O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心，D 是 BC 边的中点， 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线， 垂 足分别是 E 是 F.证明：D、E、F 三点共线. 15．设 A＝{1，2，……，n}，用 Sn 表示 A 的所有非空真