全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)附答案

CBA xyOxyOOOxy xy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。

{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（ ）A 、a b +B 、a b -C 、a b -+D 、a b -- 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、211-≤-≥m m 或C 、R m ∈D 、以上均不正确6、若关于x 的不等式062<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（ ）A 、1B 、24C 、25D 、26 7、R k ∈，则方程组⎩⎨⎧=---++-=0111618491222y x y x k kx y （ ）A 、有且仅有一组实数解B 、有且仅有两组不同的实数解C 、有两组解，但不一定都是实数解D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（ ） A 、321V V V >> B 、321V V V <<C 、231V V V >>或213V V V >>D 、321,,V V V 大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B 、至少有两条过同一个点；C 、至少有三条过同一个点；D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)5,4,3,2,1(0,51==≥∈∑=i ii i xi x R x ，则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（ ） A 、41 B 、31 C 、61 D 、41二、填空题11、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A____________________．12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是____________________． 14、已知sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()tan a ββ+的值是____________________．15、设,,,a b c d 为已知常数，且0b c d ≥≥≥，要使x a x a b -+-++x a b c x a b c x a b c d x a b c d -+-+-+++-+-++-++-为常数，则x 的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．17、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则2004++++⎢⎣ ＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．19、函数)cos (sin 32sin x x x y +-=的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。

）21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H 队与F 队之间角逐。

采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。

设比赛双方获胜是等可能的。

根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。

组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．DAEC B 1cD 1bC 1A 1答案与提示一、选择题：1、D .提示：二次函数b ax y +=2与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函数图象知，b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，相矛盾,故舍去C B ,.又由b a >知，当0>>b a 时，1->-ab，此时与A 中图形不符，与D 中图形相符. 故选 D 2、B 提示：b a a a b a a b a a a a b a b a a a ==-=-=-=-===87654321,,,,,,,由此推得：0,543216=+++++=++++++n n n n n n n n a a a a a a a a ∴0334633362004662004=⨯=-==⨯+=S S b a a a a∴b a S a -=+20042004。

故选B 3、D . 提示：r r n r n r xCT 2212121⋅=-+++.由于x 的幂指数应为整数,因此,r 为奇数. 记+⋅+⋅+⋅=+++55123312112222n n n C C C S …+1212122+++⋅n n n C . 由于 +⋅+⋅+=+++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122+++⋅n n n C , -⋅+⋅-=-++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122+++⋅n n n C , 因此,将以上两式相减,即可得到 )13(2112+=+n S . 4、D .提示：由已知条件知只可能 52=a 或54=a ，且3,3,3342≤≥≥a a a . (1) 当52=a 时,则34=a 或4当34=a 时,有2!=2种排列:当44=a 时,有3!=6种排列,即共有8种排列. 同理,当52=a 时,也有8种排列. 故应选 D . 5、B .提示：原命题可变为，求方程：m mx x mx 4532-+=-，3)12(322-+-+=-m x m x mx ，32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，使得所求.即变为解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<--<+--,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222m m m m m m 得 123-<<-m ，故符合条件的m 取值范围是23-≤m 或1-≥m ， 应选 B .6、D ；提示 由⎪⎩⎪⎨⎧≤+--++>+5224224024222a a a a a a a a得25242402≤-+-<>a a a a 或 解得]1,0()24,25[ --∈a∴26)25(1=--=-a a m M ； 故选D 7、B提示：原方程组可变为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+---=-19)2(4)1()2(122y x x K y )2()1( (1)表示过点）1,2(的直线,(2)表示椭圆,中心为)2,1(Q ,短半轴长为2.由22)21()12(22<=-+-=AQ 知,A 点在椭圆内部,因此,过点A 的直线与椭圆必有两个不同的交点. 故选 B .8、A 提示：θADSin CD BD V ⋅⋅⋅=611 θS i n a b C o s C c C o s B⋅∆⋅⋅⋅=261 aS i n b c C o s B C o s C θ⋅∆=3a C o s AbcsCSin CosACosBCo ⋅∆=3θ)(2322222c b a a c b s C S i n C o s A C o s B C o ++-⋅∆=θ )(1322223222c b a a s C S i n C o s A C o s B C o c b a ++-⋅⋅∆⋅=θCA BDab c（ 以上∆表示ABC ∆面积）.记 32222θs C S i nC o s A C o s B C o c b a K ⋅∆⋅=, 同理可得,)(22232c b a b KV +-=)(22233c b a C K V -+= 由于K 为相同值,因此,要比较321,,V V V 大小,即比较)(2223c b a a ++-、 )(2223c b a b +-、)(2223c b a c -+的大小.∵ b a >、222c b a >+∴ )(2223c b a a ++--)(2223c b a b +-=)(2)())((223322233b a b a b a c b a b a ---++-- =)(2))((2222233b a b a c b a b a --+---0< ∴)(12223c b a a ++-)(12223c b a b +->, ∴ 21V V >. 同理, 32V V >.∴ 321V V V >> , 选 A . 9、C .提示：如图，设CD 为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即AP :PB =2：3，S R Q P ,,,），象P 这样的点有四个（图中且适合条件 的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点. 故选C 10、B 提示：{}{}31)(31,,,,,45151412154433221≥+≥+++≥++++∑=x x x x x x x x x ma x x x x x x x x x ma i iABPQ RS1-2取0,3142531=====x x x x x 则 {}31,,,54433221=++++x x x x x x x x x ma 故选B 二：填空题11、{}2,1-=B A . 提示：由φ≠B A 可得1=a 12、)8.3()1.8(-<f f .提示:∵)(x f 在),(+∞-∞上是偶函数,且)1()1(x f x f -=+.∴[])1()1()1(-=--=+x f x f x f ∴)()2(x f x f =+∴)(x f 是以2为周期的偶函数 ∴)1.0()1.024()1.8(f f f =+⨯=,)2.0()2.0()2.042()8.3()8.3(f f f f f =-=-⨯==-. 又∵)(x f 在(0.1)上是增函数,0.1与0.2)1,0(∈且2.01.0<, ∴)2.0()1.0(f f <. ∴)8.3()1.8(-<f f .13、0160)5()3(=-+⇒=-⋅+ （1）0160)5()3(=-+⇒=-⋅+ （2）（1）-（2）化简得221=⋅ ；（3）（1）×15+（2）×8=；（4）222)-(=+-==设a b b -与的夹角为θ，则21-==Cos θ∴0120=θ14、ββββββSin a Cos Cos a Sin n ta a n ta ).().(.)(.++=+ 213131)2(1)2(])2([21])2([21=-+=-+++=--++=Sinaa Sin Sina a Sin Sina a Sin Sina a Sin ββββ15、x 的取值范围是d c b a x b a -+-≤≤-.提示:当0≥≥≥d c b 时,有a cb a dc b a b ad c b a c b a ≤+-≤-+-≤-≤+--≤--. 因此, d c b a x b a -+-≤≤-,这时d c b a x c b c x b a x a x +-+-+-+-++-+- +c b a x d c b a x ++-+-++-=d c b a x c b a x b a x a x -+-+-+-+-+-++- +c b a x d c b a x ++-+-++- =d c b 24-+. 16、222222222222244ac c b b a b a a c c b bca Sin ++⋅++=θ.提示：设AC D 1中AC 边上的高（即1D 到AC 距离）为h ，则 ab a ac c b a S h ACD 22222212++==∆. 又求得 2222224421a c cb b a S EAC ++=∆. 设C 到平面AE D 1的距离为d , 于是,由C ED A EAC D V V 11--= 得到4131⋅22222244a c c b b a ++=b ac ⋅⋅⋅212131,∴22222244ac c b b a abcd ++=.∴222222222222244ac c b b a b a a c c b bca h d Sin ++⋅++==θ.17、2003．提示： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⨯-+)1(11n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++)1(11n n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++11n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n = 1 18、轨迹是：2)(5324x y y x --=+ )5(<-x y 提示：设动点为),(y x P ''，则过P )(x y x y '-'+=.代入椭圆方程1422=+y x , 整理得： 04)()(2522=-'-'+'-'+x y x x y x (※)若直线l 椭圆交于),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <，则21,x x 是方程(※)的两个根, 且5)(52)(21x y x y x '-'--'-'-= ①5)(52)(22x y x y x '-'-+'-'-= ②又∵2=PBAP， 21x x <. ∴3221x x x +='. 将①、②代入并整理得： 2)(5324x y y x '-'-='+' （5<'-'x y ） 19、2369max +=y . 提示:设参数λ(R ∈λ),则2222)2(1Cosx x Sin y λλλ+=①))(4(122222x Cos x Sin ++≤λλλ②222222224)1)(4()21(4λλλλλλ++=+⋅+≤由①、②知,取等号条件为:⎪⎩⎪⎨⎧-==.2,22x Cos Cosxλλλ 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.213,132Cos λ∴4369)13(4)131)(134(22+=--+-+≤y , 即 2369max +=y . 20、241提示：凸多面体的面数F ＝36，棱数E ＝60，顶点数V ＝E+2-F ＝26 将顶点记为i ＝1，2，3，···，26设凸多面体的面中以i 为顶点的三角形有i t 个，以i 为顶点的四边形有i q 个那么凸多面体的对角线总数＝∑--261)25(21i i q t2414123242132522121262521261261=⨯-⨯⨯-=⨯--⨯⨯=∑∑==i ii i q t22、0.875提示：解一：门票收入不低于500万元⇔比赛进行了5场或6场或7场。