江苏省苏北四市高三数学第一次质量检测试题 理(含解析)新人教A版

江苏省苏北四市2014届高三数学第一次质量检测试题 理（含解析）新人教A
版
（本部分满分160分，时间120分钟）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ．
2.已知集合{2}A a =，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ．
3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ．
4.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ． 【答案】
13
【解析】
5.已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．
6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ．
考点：流程图和循环结构.
7.函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．
8.1，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】
16
【解析】
试题分析：记正三棱锥为P ABC -，点P 在底面ABC 内的射影为点H ，则23AH =
⨯=
在Rt APH ∆中，PH =
=
，所以111
336
P ABC ABC V S PH -∆=⋅==. 考点：正三棱锥的性质和体积的计算.
9.在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆，则BC 边长为 ．
10.已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f ≤的解集为 ．
11.已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ
=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，
上的单调增区间为 ． 【答案】13[,]44
-
【解析】
12.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435
a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k N *∈，则2k S +的值为 ．
13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，
3BC BF =，若向量AD 与DC 的夹角为060，则AB EF ⋅的值为 .
14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:1l y x =-+的距离之和为22a b +的最大值是________.
二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．
(1)若⊥a b ，求
sin cos sin cos θθ
θθ
-+的值；
(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4
θπ
+的值．
16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC
PC AC的中点．
-中，点,E F分别是棱,
(1)求证：PA//平面BEF；
(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB BC
⊥．
⊥，求证：BC PA
又PB BC ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，
所以BC ⊥平面PAB ， ……………………………………………………………12分
17.（本小题满分14分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用
为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？
18.（本小题满分16分）已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．
19.（本小题满分16分）已知函数325
()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．
（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b
的取值范围；
（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；
若不存在，请说明理由．
故当2512a =
时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512
a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．16分 考点：函数与方程、导数的综合应用.
20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和． (1)若数列{}n a 为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项n a ；
（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；
(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．
数学Ⅱ 附加题部分
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，点D 为锐角ABC ∆的内切圆圆心，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，圆D 与边AC 相切于点E ．若50C ∠=，求DEF ∠的度数．
B ．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：2
2
1x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2
214
x C y '+=：，求a b +的值．
C ．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方
程是x y ⎧⎪⎪⎨
⎪+⎪⎩
，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4
ρθπ=+．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.
D ．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,
证明：2222111
()a b c a b c
+++++≥
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某品牌汽车4S店经销,,
A B C三种排量的汽车，其中,,
A B C三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．
(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；
(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）24y x =；（2）1(,1)2Q -．
【解析】
试题分析：(1)设动点(,)P x y ，利用条件列式化简可得动点轨迹方程C ；（2）00(,)Q x y ，再求出切点弦的方程，利用其斜率为2，看方程是否有解即可.。