用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
未定式极限与洛必达法则
未定式极限与洛必达法则摘要：本文介绍了型未定式极限通过变形使用洛必达法则的方法,及使用洛必达法则时的注意事项。
关键词：未定式极限洛必达法则一、引言洛必达法则是借助导数求、型未定式极限的一种简便而有效的方法。
除此之外，型未定式极限通过变形也可应用洛必达法则求，极限。
其中型变形比较简单，而型的变形较为复杂，本文着重介绍型未定式极限通过变形使用洛必达法则的方法及使用洛必达法则易犯的错误。
二、型未定式极限型未定式极限中函数的共同特征是幂指结构，不能直接用洛必达法则求解。
根据其结构特征，需先给函数用对数恒等式或取对数，然后再利用幂的对数运算性质将函数变形为乘积结构，最后利用洛必达法则求解。
例1、解：所求极限为型未定式极限，而，故例2、求解：所求极限为型未定式极限，令，因为所以，例3、求解：所求极限为型未定式极限，令，因为所以，三、使用洛必达法则注意事项1.满足法则条件，可多次使用法则例4、求（为正整数）解：所求极限为型未定式极限，连续n次施行洛必达法则，有（二）充分运用已有的方法，可使问题简单化例5、求解：所求极限为型未定式极限，可用等价无穷小量替换，再用洛必达法则，有（三）深入剖析，注意法则的局限性例6、求解：所求极限为型未定式极限，若不断地运用洛必达法则，则有如此周而复始，总也求不出极限，但不能因此得出极限不存在的结论，只是洛必达法则不适用于该题，此时应改用其他方法求解。
求解时可以在分子、分母上同除，即通过对型未定式极限变形使用洛必达法则的方法及使用洛必达法则时的注意事项的了解，引导学生在工作学习中，要善于抓住事物的本质及其内在联系，达到化繁为简，事半功倍的效果。
参考文献：[1]刘涛．慎用洛必达（L”Hospitol）法则求极限[J]．中国科技信息，2005（21）[2]窦连江．高等数学(经管类专业适用) [M]．高等教育出版社，2006（9）[3]胡农．高等数学(工科类专业适用) [M]．高等教育出版社，2006（9）作者简介：翟维红（1968—），女，天津市人，天津海运职业学院副教授，主要研究基础数学。
洛必达法则的使用方法
洛必达法则的使用方法
洛必达法则是在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限，来确定未定式值的方法。
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则应用条件：
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
洛必达法则的运用：
当分子分母都趋近于0或无穷大时，如果单纯的代入极限值是不能求出极限的，但是直观的想，不管是趋近于0或无穷大，都会有速率问题，就是说谁趋近于0或无穷大快一些，而速率可以通过求导来实现，所以就会有洛必达法则。
高数辅导之专题九：洛必达法则
专题九基础知识七种未定式极限的求解方法： （1）00型和∞∞型未定式，直接使用洛必达法则。
（2）∞⋅0型和∞-∞型未定式，先经过适当变化使其成为00型或∞∞型未定式，再使用洛必达法则。
（3）0∞型，∞1型和00型未定式，先取自然对数变形整理后使其成为00型或∞∞型未定式，再使用洛必达法则。
在使用洛必达法则求解极限时，首先应判断此极限为何种形式的未定式，对于不同形式的未定式采用不同的方法，且在解题过程中注意结合极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等方法。
例题1. 已知)0(lim0≠=-→c c x ee k xx x ，求k 和c 。
解：kxx xx kxx x x e ex ee )1(limlim0-=--→→k xx x x x e)(lim-⋅=→kx xx x xx e-⋅=→→0limlim 2101lim-→-=k x xx210lim 1-→-=k x x对于210lim -→k x x，只有以下三种情形：（1）021=-k 时，11lim lim 0210==→-→x k x x ，此时1lim 121=-→k x x。
（2）021>-k 时，0lim 210=-→k x x ，此时∞=-→21lim 1k x x。
（3）021<-k 时，∞===-→-→01lim 1lim 21210k x k x xx ，此时0lim 1210=-→k x x。
故要使)0(lim0≠=-→c c x ee kxx x ，必有021=-k ，21=k ，从而有 1lim21-=-=→xe e c xx x2. 已知)0(lim tan 0≠=-→c c x e e k xx x ，求k 和c 。
解：k x x x x k x x x x e e x e e )1(lim lim tan 0tan 0-=--→→k x x xx x e )(tan lim 0-⋅=→ kx xx x xx e -⋅=→→tan limlim 001201sec lim -→-=k x kx x1201cos 1lim -→-=k x kx xxkx x x k x 210cos )cos 1)(cos 1(lim -→+-= 12021lim 2-→=k x kx xk x x k -→=30lim 1（由题设知0≠k ）0≠=c故03=-k ，3=k ，从而31=c 。
利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧
非 常广 泛 、 高效的方法 ， 其 通过求 分式 的分 子、 分 母 的 导 数 的 方 法达 到 消 去 未 定 因 素 的 目 的 ， 该 法整 齐划 一 ， 使 用 方 便． 但它也有局限性 ， 解 题 时 需 要 一 定 的 条 件 和 技 巧． 本文
结合学生应用此法则 时容易 忽视 的一些 问题， 给 出 利 用 该 法则 求极 限 的几 种 技 巧．
＿ 『 ｃ 。 ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ＝ 』 ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｄ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 ／ ｓ ｅ ｃ ｄ
．
解原 式 （ 百 ０ ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
＿ 一１ ｎ
：
则 ． 所 需 条 件中 较易 忽 略 的 是 极限 ｌ ｉ ａ ｒ 厂 ＇ 要 存 在 ， 若 … ｇ Ｌ Ｊ ｌ ｉ ＿ 厂 不 存 在 ， 并 不 能 得 出 原 极 限 不 存 在 的 结 论 ． 一 ｇ （ Ｊ
解先 求 极 限 ＿ ． ＋ ∞ — Ｉ ｎ （ 、 ÷ ） ， ＝ 一 （ 、 一 ） 』 ＝ 。 ， 所
例２ 求极限 ｌ ｉ ｍ ！
二 ＿ 二
以 ， 极 限 ÷ ㈩
（ ２ ） 只要 符 合 法 则 所 需 的 条 件 ， 可 连 续 多 次 使 用 该 法
用 洛 必 达 法 则求 极 限． 根 据 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的关 系 ， 数
列极限 ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ） 的特 殊 ｉ ａ ｒ ｆ （ ｎ ） 可 以作 为连 续 变 量 的极 限 ｌ
…
一１
： ｌ — ｌ ｉ （ 二
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)洛必达法则洛必达法则是微积分中的重要概念之一。
它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。
当x∈(-∞,0)时，f'(x)。
0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。
因此，a的取值范围为a≤1/2.经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。
然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x时，f(x).”这句话没有明确的意义。
最后，对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。
因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
由不等式 $e。
1+x$（$x \neq 0$）可得 $e^x - x。
1 -x$（$x \neq 0$）。
因此，当 $a。
1$ 时，有：2f'(x) < e^x - 1 + 2a(e^{-x} - 1) = e^{-x}(e^x - 1)(e^x - 2a)$$因此，当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f'(x) < 0$，而 $f(0) = 2$，因此当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f(x) < 2$。
洛必达法则的用法
洛必达法则是一种求极限的方法，主要用于解决在某些函数在特定条件下，未定式极限的问题。
它是由法国数学家洛必达在研究不定积分时发现的。
在使用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，并且要正确理解其适用范围和限制。
首先，洛必达法则适用于以下两种情况：
1. 当函数在某点处极限为0/0型或∞/∞型时；
2. 当函数在某点处的导数接近于无穷大时。
在使用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限必须是0/0型或者∞/∞型；
2. 被考察的极限的左右极限都必须存在且相等；
3. 被考察的极限中分子分母的导数必须都存在；
4. 在使用洛必达法则之后，必须要再化简，或者再将一些其他次数的函数变为最一次；
5. 最后一步仍需要进行适当的恒等式的变换；
6. 对简单的分数应该求极限进行拆分，对于三角函数、指数函数等复杂函数则需要进一步考虑使用它们各自的方法进行转化。
总的来说，洛必达法则的使用需要考虑函数的极限形式、导数情况以及能否满足洛必达法则的条件等。
使用洛必达法则需要注意它的适用范围和限制，否则可能会导致错误的结果。
此外，在运用洛必达法则时还需要注意等价代换、夹逼定理等技巧的应用。
这些技巧的应用可以简化计算过程，提高解题效率。
另外，除了洛必达法则外，还有其他求极限的方法，如泰勒公式、无穷小替换、夹逼法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
同时，对于一些复杂的极限问题，可能需要结合多种方法来求解。
因此，熟练掌握各种求极限的方法对于解决数学问题来说是非常重要的。
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
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接使用 。
￣
：
－
ｌ ｉ ｍ
，
例如 ： 求极限
法是错误的。 解： 曼 ＝
故极 限不存在 ， 这 样 的解
正 确 的解 法 ： ｜ ｉ ｍ． ｘ ＋ ｓ ｍｘ：ｌ ｉ ｍ（ １ ＋
） ＝ １ ＋ ０ ＝ １
２ ． 如果 对 于 ０ 。 。 未定式 ， 一 般 要 通 过 取 倒数 化 为 或 未定 式 ， 然后 利 用 洛 必 达 法 则求 极 限 。
Ｉ ｌ 。 。
［ １ ］ 刘金舜 ， 羿旭 明． 高等数 学［ Ｍ】 ． 武汉 ： 武汉大学出版社 ， ２ ０ ０ ５ ． ［ ２ 】 孙 清华 ， 郑小姣． 高等数 学ｆ Ｍ】 ． 武汉 ： 华中科技 大学 出版社 ，
２ ００ ４．
后利用洛必达法则求极 限。 例如 ： 求极 限 １ ｉ ｍ 。 ＋ ｘ
Ｉ － ∞
、
１
一
寺）
。
—ｌ ｘ ｎ ， ￣ ￣ － ＝ ｌ ｉ ｍ 解： ｌ ｉ ｍ （１
二 一 １
５ ． 也有一些极 限存在 ， 但不能使用洛必达法则求解 。 例如 ： 求极限 ｌ ｉ ａ— ｒ Ｘ ＋ Ｓ — ｌ Ｏ Ｘ
ｘ ｘ ＋ ｓ ｉ ｎ 解： ｌ ｉ ｍ
６ ． 洛必达法则与等价无穷小代换相结合求极限。
例如 ： 求极限 （ 一
ｌ ｉ ｍ（ １
一
）
里
ｌ
） ＝ ｌ ｉ ｍ ｔ ａ ｎ ｘ － ｘ：
１ ｌ ｉ ａ ｒ ｓ ｉ ｎ ｌ ｉ ｍ １
例如： 求极限 ｘ （ — ｝一 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｘ ）
４ ・ 对于 ￣ ｏ －ｏ ｏ未定式 的极 限通过取倒数 ， 化 成 一 的形 式， 再通分化为 或 未定式 ， 然后求极限。 例如 ： 求极限 ｌ ｉ ｍ
１
用条件 以及应该注意 的一些 问题 。如果 在一个题 目中使用洛
必达法则之后 ， 发现 仍然 是未定式极限 ， 并且 满足洛必达法则 条件 ， 可以再次使用 洛必 达法 则。也就是说 ， 洛必达法则在一 个题 目里可以多次使用 。最后 ， 洛必 达法则是计算未定 式极 限 的重要方法 ， 但不是唯一 的。不能使用洛必达法则的极限不一 定就不存在 ， 可利用别的方法求极 限。本 文对洛必达法则求 未 定式极限的解 题技 巧总结如下 ： １ ． 如果对于满足洛必达法则条件的 或 未定式 ， 可直
一
一
１ ｉ ｍ １ 一 Ｃ Ｏ ｇ
—
解 ： （ 手 一 ａ ｎ ｘ ） 圭 － － ａ ｒ ｃ — ｔ ａ ｎ ｘ 一 ： 车
：
３ ｘ ￣ ． ｃ — ｏ ｓ Ｚ ｘ一 一 ３
＿ ｌ ＿ ｒ 。 ｘ — ｃ ｏ ｓ — ２ ｘ一 一 ３
本文 主要从 以上几个 方面探讨 了利用罗必塔法 则求 未定
式极 限的解题技巧 ，旨在 帮助学生在学习过程 中避免盲 目地 套用公式 ， 导致 出现解题错误 。
ｌ ｉ 十 １ ＋ｘ
：
‘
３ ． 对 于未定式 ０ ｏ ， １ ， ｏ 的极 限 ， 一 般 要 通 过 取 对 数 化 为
参考文献 ：
０ ・ 未定式来做 ， 再通过 ２中的方法 化成 或 未定式 ， 然
教 学实践
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
白云 霞 马 勇 乌 兰 李彩艳
（ 内蒙 古科 技 大 学包头 医学 院药 学院 ， 内蒙古 包头 ０ １ ４ ０ ４ ０ ）
摘
要： 本文总结了利用洛必达法则计算 未定式极 限应该 注意的一些 问题 和解题技巧。
关键词 ： 洛必达 法则 ； 极 限； 解题技
用洛必达法则求未定式极 限， 是微分学里 面的一 个重点 ， 也是一个难点 。如果只是肤浅地知道 这一法则 ， 盲 目地使用 ， 求 出的极限未必正确 。所 以使用洛必达法则 必须懂得它 的使
ｌ ｉ ｍ ４ ．！
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望 ．
一
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： பைடு நூலகம்
ｌ
参与课题 ： 参 与“ ２ ０ １ ３ — ２ ０ １ ４年度 内泉古 自治 区高等学校公共 课教 学改革科学研 究立项” 课题。 作者简介 ： 白云Ｉ Ｉ 【 （ １ ９ ８ １ 一 向： 概率论 与数理统计 。 ） ， 女， 山西原平 人 ， 硕士， 研 究方
・
１ １ ４・