2017年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用
函数的图像与性质的综合应用
专题一 函数图象与性质的综合应用1．函数的性质(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位．(2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式，再研究函数的定义域与值域． (3)中档题常考题型利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题.(4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现，它是高考中的重要题型之一，特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型． 2．函数的图象(1)函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容． (2)作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．(3)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视． (4)用图，主要是数形结合思想的应用.题型一 函数求值问题例1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2×(t ＋1)x，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________． 探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos(πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于 ( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．3 题型二 函数与不等式问题例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x ≥0的解集为( )A ．[－2,0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－2]∪(0,2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x >0时的解集即可．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 题型三 函数的图象问题例3 函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )探究提高 本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析式，需要我们根据图象的特征确定与其相应的函数解析式，并判断另一个图象是否与函数解析式对应．破解此类问题可从函数图象上的本质——点的集合入手，结合函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过一些特殊点(常用函数图象与两坐标轴的交点)排除干扰项即可找到答案．(2011·安徽)函数f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是 ( ) A ．m ＝1，n ＝1 B ．m ＝1，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝1 D ．m ＝3，n ＝1 题型四 函数的最值与不等式恒成立问题例4 定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．探究提高 对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 题型五 以形助数数形结合问题例5 已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 探究提高 本题是函数与不等式的综合题，运用数形结合的思想及函数的思想，抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时均有f (x )<12，则实数a的取值范围是____________________________________________________________．3.作图用图要规范试题：(12分)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3| (1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 审题视角 (1)化简f (x )并作出f (x )的图象，由图象确定单调区间．(2)方程f (x )－a ＝x 的根的个数等价于y ＝f (x )与y ＝x －a 的交点的个数，所以可以借助图象进行分析． 规范解答解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)，作出图象如图所示． [2分] (1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4分] (2)原方程变形为 |x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1； [6分] 当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. [8分] 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34. [10分]由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． [12分] 批阅笔记 (1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质． (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解．(4)本题比较突出的问题，是作图不规范．由于作图不规范，导致第(2)问的思路出现错误.方法与技巧1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题． 失误与防范1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2．对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3．识图要抓性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图．专题一 函数图象与性质的综合应用(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．(2011·北京)如果21log x <21log y <0，那么 ( ) A ．y <x <1 B ．x <y <1 C ．1<x <y D ．1<y <x2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等于 ( ) A ．－12 B ．－14C ．14D ．123.若函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )二、填空题4．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为_________．5．已知x 2> 31x ，则实数x 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5(x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题7．已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝aa 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．8．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上 ( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则 ( )A ．a <12且a ≠－1 B ．－1<a <0C ．a <－1或a >0D ．－1<a <23．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，34) D ．(34，2) 二、填空题4．设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，其中⎣⎡⎦⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间，将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是__________．5．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．7．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________. 三、解答题8．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1 (a >0，a ≠1)的图象关于原点对称．(1)求m 的值；(2)判断函数f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明； (3)当a >1，x ∈(t ，a )时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与t 的值． 答案题型分类·深度剖析 例1 12 变式训练1 D 例2 D 变式训练2 C 例3 C 变式训练3 B例4 (1)解 令x ＝y ＝0， 得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)证明 令y ＝－x ， 得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数． f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2， 其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.变式训练4 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是 (0，13]∪[3，＋∞)．例5 解 由x 2－log a x <0，得x 2<log a x . 设f (x )＝x 2， g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得116≤a <1. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 变式训练5 ⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]课时规范训练 A 组1．D 2.A 3.C 4.(2，＋∞) 5．x <0或x >1 6.[7,8)7．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ， 且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t .∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数， 又aa 2－1>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －x 为减函数， 又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数． (3)∵f (0)＝aa 2－1(a 0－a 0)＝0， ∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．8．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4 消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0， Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)．∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)． B 组1．D 2.C 3.D 4.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 5．4 6.(－2,1) 7.38．解 (1)∵函数f (x )＝log a 1－mxx －1 (a >0，a ≠1)的图象关于原点对称，∴f (－x )＋f (x )＝0， 即log a 1＋mx －x －1＋log a 1－mx x －1＝log a (1－mx )(1＋mx )(－x －1)(x －1)＝0，由(1－mx )(1＋mx )(－x －1)(x －1)＝1，得m 2＝1，∴m ＝1或m ＝－1. 当m ＝1时，1－mxx －1＝－1<0，舍去；当m ＝－1时，1－mx x －1＝1＋x x －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1. ∴符合条件的m 的值为－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1，任取1<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝log a x 2＋1x 2－1－log a x 1＋1x 1－1＝log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1).∵1<x 1<x 2，∴(x 2＋1)(x 1－1)－(x 2－1)(x 1＋1)＝2(x 1－x 2)<0，∴0<(x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1)<1， ∴当0<a <1时，log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 2＋1)>0， 即f (x 2)－f (x 1)>0，此时f (x )为增函数；当a >1时，log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1)<0， 即f (x 2)－f (x 1)<0，此时f (x )为减函数．(3)由(2)知，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上为减函数； 同理在(－∞，－1)上也为减函数．当(t ，a )⊆(－∞，－1)时，f (a )<f (x )<f (t )<0与已知矛盾，舍去； 当(t ，a )⊆(1，＋∞)时，∵函数f (x )的值域为(1，＋∞)，∴f (a )＝1且t ＋1t －1＝0， 解得t ＝－1，a ＝1＋ 2.。
2017年高考数学(文)热点题型和提分秘籍：专题07-函数的图象doc
2017年高考数学（文）热点题型和提分秘籍：专题07-函数的图象doc1 •在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质, 解决方程解的个数与不等式的解的问题。
热点题型一作函数的图象例1、作出下列函数的图象。
1(i) y= 2凶;(2)y= |iog2(x +1)|；【解析】⑴怅出严⑨的團熟保留片凰象中总0剖分，加上尸的豳中Q0部分关于丿轴的对称邹分’即得尸£「的图象（團1〉⑵作出y= log2x的图象，将此图象向左平移胡17年高考数学（文）热点題型和提分秘籍专题”函数的图象(3)y=2x —1x —團121个单位，得到y= Iog2（x + 1）的图象，再保留其y》0部分，加上其y v0的部分关于x轴的对称部分，即得y= |Iog2（x +1）|的图象（图2）。
2x _ 1 丿1（3）由y= 737得y=x z^+2。
1 1作出y=-的图象，将y=-的图象向右平移1x x1个单位，再向上平移2个单位，即得y= -------- +x —1 2的图象（图3）。
【提分秘籍】函数图象的画法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。
（2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。
（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。
【举一反三】作出下列函数的图象:(1) y=|X|；x + 2(2) y=x - 1(3) y= |log2x —1|;【诙】⑴百越化訥曲T:心刹用二农團数的團象作出其團象，如那祈示U⑴原式赍形为尸1十占,先作出尸缶图象,再頑图象歸平移一7位,再向上平移一牛单位I艮［1碍.如團②所乔。
2017高考-专题1第3讲函数的综合应用-理科数学
变式训练 3 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的 成本为 30 元，并且每件玩具的加工费为 t 元(其中 t 为常数，且 2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂 价为 x 元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出 厂价为 40 元时，日销售量为 10 件． (1)求该工厂的日利润 y(元)与每件玩具的出厂价 x 元的函数关系式； (2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润 y 最大，并求 y 的最大值．
热点分类突破
题型一 函数的概念
例1
已知映射f:A →B，其中B⊆R，对应关系f：
x→y＝log0.5(2－x)－ 1－x 对于实数k∈B在集合A
中不存在原象，则k的取值范围是
(A )
A．k>0
B．k<1
C．k<0
D．以上都不对
解析 ∵函数 y＝log0.5(2－x)－ 1－x的定义域为 {x|x≤1}，且在其定义域内为单调增函数，
探究提高 解决函数实际应用题的关键有两点：一是 认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实 际背景；然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳 为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变 量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最 终求解数学模型使实际问题获解．
变式训练1 已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2,2])，函
数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，对于任意的x1∈[－2,2]， 总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的 取值范围是__a_≥__52_或___a_≤__－__52__．
解析 由题意知[0,4]是 g(x)值域的子集． 而 g(x)的值域为[－2|a|－1,2|a|－1]． 显然－2|a|－1<0， 故只需 2|a|－1≥4，即|a|≥52， ∴a≥52或 a≤－52.
3-5三角函数图像与应用
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数学
解：∵y＝sin x－ 3cos x＝2sinx－3π 由 y＝sin 2x 的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变． 得到 y＝sin x，再向右平移3π个单位得到 y＝sinx－3π，再将纵坐标 伸长到 2 倍，横坐标不变，得到 y＝2sinx－3π的图象．
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数学
解：①f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx
＝212sin
ωx＋
3 2 cos
ωx＝2sinωx＋3π，
又∵T＝π，∴2ωπ＝π，即 ω＝2.
∴f(x)＝2sin2x＋π3. ∴函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx 的振幅为 2，初相为π3.
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数学
2．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象， 则该函数的解析式为________．
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数学
解析：由图知 A＝5，由T2＝52π－π＝32π，得 T＝3π，∴ω＝2Tπ＝23， 此时 y＝5sin23x＋φ. 下面求初相 φ. 法一：(单调性法)： ∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴23π＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋32π(k ∈Z)．＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜π2)的部分图象如图所
示，则函数 f(x)的一个单调递增区间是( )
A.－172π，51π2
B.－172π，－1π2
C.－1π2，71π2
D.－1π2，51π2
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＝π3.
∴该函数的解析式为 y＝5sin23x＋3π.
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数学
法四：(平移法)： 由图象知，将 y＝5sin23x的图象沿 x 轴向左平移π2个单位，就得到本 题图象，故所求函数解析式为 y＝5sin23x＋3π. 答案：y＝5sin23x＋3π
2017年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题15三角函数的图象和性质Word版含解析
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性热点题型一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 例1、 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈Z(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________。
(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________。
【答案】（1）D （2）⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z （3）⎝⎛⎭⎫－116π，－76π∪⎝⎛⎭⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎤13π6，8由余弦函数的图象，得 在一个周期－π，π]上，不等式 cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－5π6≤x ≤56π， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z 。
【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域。
(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解。
(2)利用三角函数的图象求解。
【举一反三】函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________。
【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z 【解析】要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。
函数的图像性质及应用初中
函数的图像性质及应用初中函数的图像性质指的是函数的图像在平面直角坐标系中的特点和规律。
函数的图像性质与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等相关，具有一定的规律和特殊性质。
函数的图像性质在数学中有广泛的应用，尤其在解决实际问题中起到重要的作用。
首先，函数的图像性质与函数的定义域和值域密切相关。
函数的定义域是指函数所能取得自变量的值的范围，而函数的值域是指函数所能取得因变量的值的范围。
函数的定义域和值域决定了函数图像的可观察范围。
例如，定义域和值域都是实数集的线性函数，其图像为一条直线；定义域和值域是正实数集的平方函数，其图像是一条右开口的抛物线。
其次，函数的图像性质与函数的单调性密切相关。
一个函数在定义域上的单调性描述了函数在自变量取值方向上的变化趋势。
函数可以是递增（自变量增大，函数值也增大）、递减（自变量增大，函数值减小）或者既递增又递减、既递减又递增。
根据函数的单调性，可以判断函数图像在坐标系中的走势。
例如，递增的线性函数的图像是一条上升的直线，递减的线性函数的图像是一条下降的直线。
再次，函数的图像性质与函数的奇偶性密切相关。
一个函数在定义域上的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数图像关于坐标原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数图像关于y轴对称。
根据函数的奇偶性，可以判断函数图像在坐标系中是否存在对称性。
例如，奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
最后，函数的图像性质与函数的周期性密切相关。
一个函数在定义域上的周期性描述了函数图像在横轴上的重复性。
周期函数满足f(x)=f(x+T)，其中T为正实数，表示函数图像在横轴上重复出现的距离。
根据函数的周期性，可以判断函数图像在坐标系中的周期性特点。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，其图像在坐标系中呈现出波形的重复性。
函数的图像性质在数学中有广泛的应用。
首先，在代数与几何中，函数的图像性质可以帮助我们判断函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2017年高考数学专题精讲课件：3.3三角函数的图象与性质
考点 3 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性、对称性
第二十八页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(2)y＝ksinx＋1(x∈R)的最大值为 k＋1.( × )
(3)函数 y＝tanπ4－x的定义域是xx≠kπ＋34π，k∈Z
.(
√
)
第六页，编辑于星期六：二点 四十六分。
2．函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为(
)
A．－1
B．－
2 2
2 C. 2
D．0
解析 由 0≤x≤π2得－π4≤2x－π4≤34π，结合 y＝sinx 的图象易得 B.
第十五页，编辑于星期六：二点 四十六分。
3．已知 ω>0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围是(
)
A.21，45
B.12，34
C.0，12
D．(0,2)
解析
由π2<x<π，ω>0 得，ω2π＋4π<ωx＋π4<ωπ＋π4，又 y＝sinx 在π2，32π上递减，所以ωω2ππ＋ ＋π4π4≥ ≤2π32， π，
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十六分。
3 利用三角函数的单调性求最值(或值域)
典例4
已知函数 f(x)＝cosx·sinx＋π3－ 3cos2x＋ 43，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
解
(1)由已知，有 f(x)＝cosx12sinx＋ 23cosx－
3cos2x＋
43＝12sinxcosx－
可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
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2017年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用一、选择题1．(2016·德州)下列函数中，满足y 的值随x 的值增大而增大的是( B ) A ．y ＝－2x B ．y ＝3x －1C ．y ＝1xD ．y ＝x 22．(2016·广州)对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( B )A ．当x >0时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点3．(2016·赤峰)函数y ＝k(x －k)与y ＝kx 2，y ＝kx(k ≠0)，在同一坐标系上的图象正确的是( C )4．(2016·天津)若点A(－5，y 1)，B(－3，y 2)，C(2，y 3)在反比例函数y ＝3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 35．(2016·云南)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k ＝( B )A ．4B ．2C ．1D ．－26．(2016·广安)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac<0；②abc>0；③a －b ＋c<0；④m>－2.其中，正确的个数有( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．(2016·广安)若反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过点(1，－3)，则一次函数y ＝kx －k(k ≠0)的图象经过__一、二、四__象限．8．(2016·泰安)将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为__y ＝2(x ＋2)2－2__．9．(2016·齐齐哈尔)如图，已知点P(6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx的图象交PM 于点A ，交PN 于点B.若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝__6__．,第9题图) ,第10题图)10．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2017的坐标为__(21008，21009)__．三、解答题11．(2016·陕西)昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB 所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为：y ＝kx ＋b ，依题意有⎩⎨⎧b ＝192，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－96，b ＝192，∴y ＝－96x ＋192(0≤x ≤2) (2)12＋3－(7＋6.6)＝15－13.6＝1.4(小时)，112÷1.4＝80(千米/时)，(192－112)÷80＝80÷80＝1(小时)，3＋1＝4(时)．答：他下午4时到家．12．(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx＝0的解；(3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx<0的解集．解：(1)y ＝－x －2，y ＝－8x(2)x 1＝－4，x 2＝2(3)设y ＝kx ＋b 与y 轴交点为C ，∴当x ＝0时，y ＝－2，∴C (0，－2)，∴OC ＝2，∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋12×2×2＝6 (4)－4<x<0或x>213．(2016·乐山)如图，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B(12，n)． (1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)y ＝－4x ＋10，y ＝4x(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x有且只有一个交点，令－4x＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝1814．(2016·盐城)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求k 的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？解：(1)把B (12，20)代入y ＝kx中得k ＝12×20＝240(2)设AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把(0，10)，(2，20)代入y ＝mx ＋n 中得⎩⎨⎧n ＝10，2m ＋n ＝20，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝10，∴AD 的解析式为y ＝5x ＋10，当y ＝15时，15＝5x ＋10，x ＝1；15＝240x ，x ＝24015＝16，∴16－1＝15.答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．15．(2016·安徽)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A (2，4)与B (6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3(2)如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D (2，0)，连结CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.16．(2016·十堰)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：kg 设y 与x (1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5 kg ，∴y 与x 是一次函数关系，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝100－0.5(x －120)＝－0.5x ＋160，∵销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ，∴自变量x 的取值范围为：120≤x ≤180(2)设销售利润为w 元，则w ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝－12x 2＋200x －12 800＝－12(x －200)2＋7 200，∵a ＝－12＜0，∴当x ＜200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，销售利润最大，最大利润是：w ＝－12(180－200)2＋7 200＝7 000(元)，答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7 000元17．(2016·泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．(1)试求出y 与x 之间的一个函数关系式； (2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)设y 与x 之间的一个函数关系式为y ＝kx ＋b ，则错误!解得错误!故函数关系式为y ＝－2x ＋112 (2)依题意有w ＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2(x －38)2＋324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润(3)由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m 千克，则m－2×30＋112≤30－5，解得m ≤1300，故一次进货最多只能是1300千克．18．(2016·舟山)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v(m /s )与时间t(s )的关系如图①中的实线所示，行驶路程s(m )与时间t(s )的关系如图②所示，在加速过程中，s 与t 满足表达式s ＝at 2(1)根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值； (2)求图2中A 点的纵坐标h ，并说明它的实际意义；(3)爸爸在乙处等待了7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v(m /s )与时间t(s )的关系如图1中的折线O －B －C 所示，行驶路程s(m )与时间t(s )的关系也满足s ＝at 2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．解：(1)由图象得：小明家到乙处的路程为180 m ，∵点(8，48)在抛物线s ＝at 2上，∴48＝a ×82，解得：a ＝34(2)由图及已知得：h ＝48＋12×(17－8)＝156，故A 点的纵坐标为：156，表示小明家到甲处的路程为156 m (3)设OB 所在直线的表达式为：v ＝kt ，∵(8，12)在直线v ＝kt 上，则12＝8k ，解得：k ＝32，∴OB 所在直线的表达式为：v ＝32t ，设妈妈加速所用时间为：x 秒，由题意可得：34x 2＋32x (21＋7－x )＝156，整理得：x 2－56x ＋208＝0，解得：x 1＝4，x 2＝52(不符合题意，舍去)，∴x ＝4，∴v ＝32×4＝6(m/s )，答：此时妈妈驾车的行驶速度为6 m/s.。