第2章 线性系统的能控性与能观测性

则
x(0) ( BU 0 ABU1 A2 BU 2 An1 BU n1 )
U0 U 1 A 2 B A n 1 B U n 1
B

AB

(2-19)
令
Q c B AB A 2 B A n1 B
0 AB 1 a 2
1 , A2 B a2 2 a1 a 2
故
0 0 Q c 0 1 1 a 2
a2 2 a1 a 2 1
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 a 2 , a1 取何值，其秩为3，即 rank Q c =3=n,故系统 总是能控的。
2.3
能控性和能观测性定义
2.3.1 能控性定义
线性时变连续系统的状态方程为
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ),
x(t 0 ) x 0
, t Td （2-2）
式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定 义区间,A(t)和B(t)分别为n n 和 n r 矩阵。
2.3.2 能观测性定义
分析系统能观测性问题时,只需从系统的齐次 状态方程和输出方程出发,即
x A(t ) x , x (to ) xo , y C (t ) x to , t Td
(2-10)
1.状态能观测 对于式（2-10）所示线性时变连续系统，如果 取定初始时刻 t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t f > t 0 ，对于所有的 t [t 0 , t f ] ，系统的输出 y(t )能惟 一确定一个非零的初始状态向量 x 0 ，则称此非零 状态 x 0在 t 0 时刻是能观测的。
第2章 线性系统的能控性和能观测性分析
2.1 引言 2.2 能控性与能观测性的概念与示例 2.3 能控性和能观测性定义 2.4 线性连续系统能控性判据 2.5 线性连续系统能观测性判据 2.6 能控标准型与能观测标准型 2.7 系统能控性和能观测性的对偶原理 2.8 线性系统的结构分解 2.9 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系 2.10 线性离散系统的能控性与能观测性 2.11 MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ态能控
对于式（2-2）所示线性时变连续系统，如果对 指定初始时刻 t 0 Td 的一个非零初始状态 x(t 0 ) x 0 ， 存在一个时刻 t f Td ，tf>t0 ,和一个无约束的容许控 制u(t),t [t0、t f ] ,使状态由 x(t 0 ) x 0 转移到tf 时的 x (t f ) 0 ,则称此 x 0 是在 t 时刻能控的。 0
4.状态与系统能达 对于式（2-2）所示线性时变系统,若存在能将 状态 x (t 0 ) 0 转移到 x (t f ) x f 的控制作用 u(t ) , t [t0 , t f ] ,则称状态xf是 t 0 时刻能达的。若 x f 对所 有时刻都是能达的，则称状态 x f 为完全能达或一 致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻 t 0 能达的，则称系统是 t 时刻状态能达的， 0 简称系统是时刻 t 0 能达的。 对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。
式（2-22）有解的充分必要条件是其系数矩阵 Q c 和增广矩阵 Qc x (0) 的秩相等，即 rankQc rank Qc x (0)
Q 考虑到x(0)是任意给定的，欲使上式成立， c 必须满秩即 rank Qc n ，否则不能保证上式成立。
于是式(2-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 由A,B阵构成的能控性判别阵 Qc B AB An1 B 满秩，即
3.系统不完全能控
对于式（2-2）所示线性时变连续系统，指定 初始时刻 t 0 Td ， 如果状态空间存在一个或一个 以上非零状态在时刻 t 0 是不能控的，则称系统在时 刻 t 0 是状态不完全能控的，简称系统不能控。
对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻 t 0 的选取有关, 而线性定常连续系统其能控性与初 始时刻 t 0 的选取无关。故线性定常连续系统其系统能 控性可定义为:对于任意的初始时刻 t 0 Td (一般取 t 0 0 )，存在一个有限时刻 t f Td , t f t 0 ，和一个 无约束的容许控制 u(t ), t [t 0 , t f ] ,能使状态空间的任 意非零状态 x (t 0 ) 转移到 x (t f ) 0 ，则称系统状态完 全能控，简称系统能控。
2.1 引言
在控制工程中，有两个问题经常引起设计 者的关心，其一是加入适当的控制作用后，能 否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到 希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用 随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间 内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状 态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计 状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观 测性问题。 稳定性、能控性与能观测性均是系统的重 要结构性质。
【例2-6】动态系统的状态方程如下，试判断其 是否能控。
4 5 5 x x 1 u 1 0
Qc B
解
5 25 AB 1 5
5 25 rankQc rank 1 2 1 5
tf 0 m t m 0 m 0 n 1 n 1
(2-17)
式（2-17）的第m项定积分记为
U m m ( )u( )d , m 0,1,2, n 1
tf 0
(2-18)
因为u(t)为r维向量，故Um亦为r维向量，记为 um1 u m2 Um umr
,其状态变量图如图2-1所示。
系统的 状态是完全 能控且完全 能观测的。
图2-1
【例2-2】桥式电路如图 2-2所示，选取电感L的电 流 i(t ) x(t ) 为状态变量，
u(t ) 为电桥输入，输出
量为 y (t ) 。
图2-2
从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0，则不论 u(t ) 如何 选取，对于所有 t t 0，有 x(t ) 0，即u(t)不能控制x(t) 的变化，故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电 感L上的初始电流 x(t 0 ) 取为多少， 对所有时刻 t t 0 都 恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故系统 是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能 观测系统。
3.系统不能观测
对于式（2-10）所示线性时变连续系统，如果 取定初始时刻 t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t f > t 0 ,对于所有 t [t 0 , t f ]，系统的输出y(t)不能惟 一确定 t 0 时刻的任意非零的初始状态向量 x 0 （即 至少有一个状态的初值不能被确定）,则称系统在 t 0 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。
令 t t f , x (t f ) 0 ,则式（2-14）可写成
Φ(t f ) x(0) Φ(t f )Bu( )d 0
tf 0
将上式的积分项移到方程右边且方程两边左乘 Φ(t f ) 的逆阵 Φ(t f ) 得
x(0) Φ( )Bu( )d
tf 0
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2.2 能控性与能观测性的概念与示例
【例2-1】给定系统的状态空间表达方式为
x1 2 0 x1 1 x 2 u x 2 0 3 2 y 7 6 x1 x 2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
2.4线性连续系统能控性判据
2.4.1 线性定常连续系统能控性判据 2.4.2 线性定常连续系统输出能控性 2.4.3 线性时变连续系统能控性判据
2.4.1 线性定常连续系统能控性判据
■ ■ ■ ■
秩判据 约当标准型判据 格拉姆矩阵判据 PBH判据
1. 秩判据
设线性定常连续系统的状态方程为
(2-11) x Ax Bu 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别 为 n n、 n r 常数阵。 式(2-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 能控性判别矩阵
(2-20)
U0 U U 1 U n 1
（2-21）
则式（2-19）写成
x(0) Qc U
（2-22）
Q 式中, U 为nr维向量， c 为 n nr 维矩阵，x(0)为 n维向量。
若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从式（222）中解出 U 1、U 2 U n 1 。
(2-15)
Φ(τ ) e Aτ 对于式(2-11)线性定常连续系统，有
根据凯莱-哈密顿定理，可将矩阵指数函数 e Aτ 表示为
Φ ( τ ) e
Aτ
α m ( τ ) A m
m 0
n 1
(2-16)
将式（2-16）代入式（2-15）得
x (0) m ( ) A Bu( )d A m B 0 f m ( )u( )d
2.系统能控
对于式（2-2）所示线性时变连续系统，指定 初始时刻t 0 Td ，如果状态空间的所有非零状态 都是在 t 0 时刻能控的, 则称系统在时刻 t 0 是状态 完全能控的，简称系统在时刻 t 0 能控。如果系统 对于任意的 t 0 Td 均是状态完全能控的(即系统的 能控性与初始时刻t 0 Td 的选取无关)，则称系 统是一致能控的。